Ôn tập toán 11 - Phương trình lượng giác

1Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác... I/ Phương trình cơ bản.. Giải các phương trình sau.. Giải phương trình... Giải các phương trình... 20.Giải các phương trình.

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I/Các hàm số lượng giác:

1/Các hàm số lượng giác và tính chất

-Tập giá trị là1;1 -Tập giá trị là1;1

-Tuần hoàn với chu kỳ 2 -Tuần hoàn với chu kỳ 2

-Đồng biến trên mỗi khoảng

    

Và nghịch biến trên mỗi khoảng

    

-Đồng biến trên mỗi khoảng

  k2 ; 2 k 

Và nghịch biến trên mỗi khoảng

k2 ;  k2 , k 

-Có đồ thị là đường hình Sin -Có đồ thị là đường hình Sin

-Tập xác định là \

2 k k



     

1

-Tuần hoàn với chu kỳ  -Tuần hoàn với chu kỳ 

-Đồng biến trên mỗi khoảng

     

-Và nghịch biến trên mỗi khoảng

k   ; k ,k 

-Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng ,

2

x   k k 

làm đường tiệm cận

-Có đồ thị nhận mỗi đường thẳngx k k ,  làm đường tiệm cận

2.Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Cung đối nhau và  

 

 

 

tan( ) tan

   

   

   

   

Cung bù nhau: và  

    

    

    

     

Cung hơn kém:và  

    

    

    

Cung phụ nhau: và

2



 

II/Các công thức:

1/ Các công thức lượng giác cơ bản:

sin cos 1; tan ;cot

   

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

tan tan tan

1 tan tan

tan tan tan

1 tan tan

        

        

        

        

  

   

  

  

   

  

3 3

2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 sin sin 2 2sin cos

sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

2 tan tan 2

1 tan



 

2

2

2

1 cos 2

cos

2

1 cos 2

sin

2

1 cos 2

tan

1 cos 2

 

 

 

 

 

Nếu đặt tan

2

t  thì

2 2

2

2

1 cos

1 2 sin

1 2 tan

1

t t t t t t



 



 



 



c)Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2 1

2 1 cos sin sin sin(

2

           

           

           

          

d)Công thức biến đổi tổng thành tích:

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos ;sin sin 2cos sin

     

   

     

   

           

       

     

       

   

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I/Phương trình lượng giác cơ bản:

) cosu = cosv u = v + k2

2 ) sinu = sinv u = ,k

2 c) tanu = tanv u = v + k ,k

d) cotu = cotv u = v + k ,k

a

v k b

v k

   

 



   











*Phương trình bậc nhất đối với sin ,cosu u : Asinx B cosx C

Điều kiện có nghiệmA2B2C2

Phương pháp: đưa phương trình về dạng

sin( )

cos( )

C x

C x



  









  







II/Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác.

1Phương trình chỉ chứa 1 hàm số lượng giác.

Dạng: F(sinx) = 0 hoặcF(cosx) = 0 hoặc F(tanx) = 0 hoặc F(cotx) = 0

Cách giải: Đặt t = sinx, cosx, tanx, cotx tùy từng dạng; đưa phương trình về dạng F(t)=0 Chú ý với t = sinx hoặc t = cosx thì t  1

2.Phương trình đẳng cấp cấp n của sinx, cosx:

Dạng: 0sinn 1sinn 1 cos cosn 0

n

Cách giải:

cos sinn sinn cos cosn 0

n

n

    phương trình đẳng cấp cấp n-1

*Khi a 0 0 cosx 0không là nghiệm; chia cả 2 vế phương trình chocos x, sau đó đặt

tan

t xrồi đưa về phương trình đạn số theo biến t.

3.Một số phương trình đưa về đẳng cấp:

*Dạng:asin2 x b sin cosx x c cos2x d

Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 2 bằng cách thay d d sin2xcos2x

*Dạng:asin3x b sin cos2x x c sin cosx 2x d cos3x e sinx f cosx g

Cách giải: chuyển về phương trình đẳng cấp cấp 3 bằng cách thay

sin cos

 

Cách giải: Đặt  

sin cos ; 2 2 sin cos

2

t

t x x   t  x x  .Đưa phương trình về

phương trình đại số theo t:

0 2

n

At B   C

IV/Phương pháp đánh giá.

Nếu

A B

C D

E F











 



Thì phương trìnhA C E B D F     tương đương với phương trình

A B

C D

E F











 



C.BÀI TẬP.

I/ Phương trình cơ bản.

1 Giải các phương trình sau:

1)sin 2 3

2

x  2)cos 2 25  2

2

x    3)cot 4 x 2  3 4)tan 15  3

3

x   

5)sin 2 15  2

2

x    với 120 x90 6)cos 2 1 1

2

x   với  x 

7)tan 3 x 2  3 với

2 x 2

 

8)sin 2 x1 sinx3 9)sin 3x cos 2x 10)tan 3 x2cot 2x0 11)sin 4x cos 5x=0

12) 2sinx 2 sin 2x0 13)sin 22 xcos 32 x1 14)tan tan 5x x 1

15)sin 52 2 cos2

x

   

3

 

  17)sin 2 x1 sin 3 x1

   

    19)sin 8 x20sin 2x0 20)tan sin 1 1



 

21) tan cot 2

4

x  x

2

3

x 

24) tan 3 1 0

3

x 

  

6

  

4

x  x

27)cos 22 sin2 0

6

 

  

30)tanx2 xtan x 0

2 Giải các phương trình sau.

a)tan 3xtan 72  x b)tan 4 tanx x 1 c) 3 tan 2 x2;(0x 2 )

d) tan tan 1 tan tan tan tan ;( 2 2 )

x       x    x  e)tan 22 12 7;(0 360 )

cos 2

x

2

1

cos

x

         

3.Tính sin ;cos

10 10

sau đó giải phương trình 10 2 5 tan x 5 1;     x 

4 Giải phương trình.

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

a)cos 3 sin  x cossinx b)sin4 cos4 5

8

x x

c)cos6x sin6xcos 2x d)cos4 x cos 2x2sin6 x0

cos cos3 sin sin 3

8

x x x x f)cos cos33x xsin sin 33 x xcos 43 x

g)cos cos33 sin sin 33 1

8

x x

5.Giải và biện luận các phương trình sau.

a)sin 3x m m  sin 3x b)m2 m1 cos3 x m 2 m 2 c)2 cos 3 cos2 2

2

x

m x m m

6.Tìm m để phương trình có nghiệm.

a)2m2m 2 cos 2 x m m 2 cos 2xmcos 2x

b)2sin3 cos3 3 2 1

m m

  

7.Tìm m để phương trình m2cosx cos 2x2m24 cos 2x m 3m24 cos 2 x cosx1có nghiệm thuộc khoảng ;

2





8.Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.

3cos 4x 2 cos 2m x m  9

II/Phương trình mẫu mực.

9 Giải các phương trình.

1)2cos2 x 3cosx 1 0 2)cos2 xsinx 1 0 3)3sinx4cosx5

sin 2 sin

2

x x 6)5cos 2x12sin 2x13

7) sin 6x 3 cos 6x2 8)2 sin xcosx 4sin cosx x1 9)sin 2x12 sin xcosx12 0

10)sin 2x12 sin x cosx12 0 11)sin2x3sin cosx x2cos2x0

12)2cos2 x3sin 2x8sin2x0 13)2sin2x 5sin cosx x 8cos2 x2

14)3 sin xcosx2sin 2x 3 0 15)sinx cosx4sin cosx x 1 0

16) sin 2x12(sinx cos ) 12 0x   17)sin3xcos3x1

18)3sin2x8sin cosx x8 3 9 cos  2x0 19)4sin2x3 3 sin 2x 2cos2x4

sin sin 2 2cos

2

x x x 21)2sin2x3 3 sin cos x x 3 1 cos  2 x1

22)16sin2x 6sinx 7 0 23)9sin2 x9cosx 5 0 24)sin 22 cos2 3 0

4

x x 

25) cos 8 cos 0

2

x

x

   

28)11 14sin 6x 52 3cos 2 6 x 52 29)tan2 x 5 tanx 6 0 30) 12 3cot 1 0

sin x x 

31) 12 _ tan 3 0

cos x x  32)

2

2

5

3 12sin 2cos 4

1 tan

x

 33)cos12 2cos 62 2 3 0

12 8

x



   

a)cos 4 10 tan2 3; 3

x

x

   b)1 tan x 1 sin 2 x 1 tanx

c)sin 2 4 tan 9 3

2

2

x x x 

e)tan tan 3

tan 3

x

x

x





4

x x

11.Giải và biện luận.

a)2m1 cos 2x 2 cosm x m 1 0 b) 2

m x x m   12.Tìm m để phương trình có nghiệm.

a)msin2x 2m 2 sin x m  2 0 b)mcos4x4 cos2x 9 5m0

13 a)Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm 2 sinm 2x2m1 sin x m 1 0

b)Tìm m để phương trình sau vô nghiệm msin2x2m1 sin x 2m 3 0

14 a)Tìm m để phương trìnhm 4 cos 2 x 4 cosm x3m 4 0 có đúng 2 nghiệm thuộc0; 

b)Tìm m để phương trìnhsin2x4 cosm x 3m2 2m có đúng 1 nghiệm thuộc 0 4

; 3





c)Tìm m để phương trình 2 tanm 4 x 2m1 tan 2 x m 1 0 có nghiệm thuộc ;

4 4

  

15.Giải các phương trình sau.

a) 2sinx 3 cosx1 b) 3 cosxsinx 2 c) 3 sin 3x cos3x1

d)5sin2 x 4sin cosx x cos2 x4 e) 2 2

3cos x4sin cosx x sin x 2 3

f) 3 sin 7 cos 7 2sin 5

6

x x  x 

  g)cosx 3 sinx 2 4sin 52 x

h)sin 2 3 cos 2 2 5 cos 2

6

x x    x 

  i)sin 2 3 cos 2 2 3cos 2

x x   x

16.Tìm m để phương trình sau có nghiệm.

a)m mcosx 5 sinxm1 6 b)m2 1 cos x m sinx 1 2m

sin sin 2 3 cos 1

m x x m x có nghiệm b)Tìm m để phương trình2sin2x m sin 2x2 2  mcos2 x4 có nghiệm thuộc ;

4 2

 

18.Giải phương trình.

a)2sin 2x 3 6 sin xcosx 8 b) sin 2 2 cos 1

4

x x 

c)1 sin 2 x cosx sinx  1 2sin2x

19.Giải phương trình.

a)sin3xcos3x 1  2 2 sin cos  x x b)sin cos cos 2

1 sin 2

x

x

 



III/Phương trình không mẫu mực.

20.Giải các phương trình.

1)sin17 cos3x xsin11 cos 9x x 2)sin 5 sin 4x x cox x 3 sin 2x

3)sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2x cox x 3 4)sin 3xsin 5xsin 7x0

5)tanxtan 2xtan 3x 6) sinx 2 sin 5x cosx

7)3 2sin sin 3 x x3cos 2x 8)2sin cos3x x 1 2cos 2x sinx0

sin xsin 2xsin 3xsin 4x2 10) 4 4 3 cos 6

sin cos

4

x

x x 

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

11)2cos 42 xsin10x1 12)1 tan x 1 sin 2 x 1 tanx

13)tanxtan 2xsin 3 cosx x 14)tanx2cot 2x 2cot 4x

15) sin sin 4 2cos 3 cos sin 4

6

  16)sinxsin 2xsin 3x 1 cosxcos 2x

17)sin2 1sin 32 sin sin 3

4

x x x x 18)2cos 2x sin 2x2 sin 2 xcosx

19)cos10x cos8x cos 6x 1 0 20)cotx tanxsinxcosx

21)sin 3 cosx x 2sin 3xcos3 1 sinx  x 2cos 3x 0

22)sin 2 32  cos2 2 cos 2 52  sin2 6

         

23)9 cos3 cos 5x x 7 9 cos3 cosx x12cos 4x

24)2cos13x3 cos5 xcos3x 8cos cos 4x 3 x

21.Giải các phương trình sau.

sin 2xcosx sin 4x b)

2

2sin 3 2 sin sin 2 1

1 0 sin 2 1

x

 



c) 3 2 cot 2 2cot 4 3

sin 2xsin 4x  x x d)  

2 2 sin

x x

e)

tan

sin cos 1 sin sin cos

x

22.Giải các phương trình sau.

2cos 1 3cos

x   b)sin2007xcos2007x1 c)cos 2x cos 4x2  4 cos 32 x

23.Giải các phương trình sau.

a)4sin2x 2 3 tanx3tan2x 4sinx 2 0 b)3tan 2x 4 tan 3xtan 3 tan 22 x x

24.Giải các phương trình sau.

a)2sinxcotx2sin 2x1 b)1 3 tan x2sin 2x c)5sin 3x3sin 5x

d)cos6 sin6 13cos 22

8

tan cot

x



 

f)2sin 3 1 8sin 2 cos 22

4

  

25.Giải các phương trình sau.

a)37 tan x32 tan x 3 b)3sin2x3cos2x 3 4

sinx 2 sin xsinx 2 sin x3 d)410 8sin 2x 48cos2x1 1

cos 2 cos 2 1

2 x 2 x  f)

2

sinxsinxsin xcosx1

- 

 -hết