SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --- LÊ THỊ NGỌC ANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH Chuyên ngà

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LÊ THỊ NGỌC ANH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC

TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ

HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI

6 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài 4

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH 6

1.2 Đặc điểm môn toán trong trường phổ thông và quan điểm

1.2.2 Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 11 1.3.1 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph 11

1.3.2 Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy

học: tiếp cận cấu trúc hệ thống 22

1.3.3 Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc áp dụng

phương pháp graph trong dạy học 22

1.3.4 Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy

1.4 Ứng dụng của phương pháp graph trong dạy học 28

1.4.1 Sử dụng phương pháp graph trong dạy học 28

1.4.2 Chuyển hoá graph thành phương pháp graph dạy

1.4.3 Những ứng dụng của graph trong dạy học 29

1.4.4 Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học 34

DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

2.1.3 Mối quan hệ giữa graph nội dung và graph hoạt

2.2 Một số ví dụ về thiết kế graph trong dạy học toán 55

2.2.1 Thiết kế một số graph của một số nội dung

2.2.2 Thiết kế graph một số chuyên đề toán học 62

2.2.3 Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập

2.3 Sử dụng graph trong dạy học toán ở trường THPT 70

2.3.1 Một số nguyên tắc khi sử dụng graph trong dạy

2.3.2 Sử dụng graph trong quá trình dạy học 71 2.3.3 Một số tình huống sử dụng graph nôi dung

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm 79

3.2 Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 79

- Đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

- Nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh không chỉ là định hướng mà còn đòi hỏi cần nghiên cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phương pháp dạy học tích cực Việc kết hợp các phương pháp truyền thống với các phương pháp dạy học đặc thù như phương pháp mô hình hoá, phương pháp graph là một giải pháp tốt

- Công nghệ dạy học hiện đại đã trở thành một xu thế chung của thế giới trong việc đổi mới giáo dục

- Graph là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học khác nhau như: khoa học, kỹ thuật, kinh tế học, hoá học… Bởi vì graph toán học là phương pháp khoa học có tính khái quát cao,

có tính ổn định vững chắc để mã hoá các mối quan hệ của các đối tượng được

nghiên cứu

- Việc vận dụng phương pháp graph trong dạy học toán học nhằm nâng

cao chất lượng dạy học môn học này ở trường THPT, được xem như là một

trong những tiếp cận mới vừa bổ sung vào hệ thống các phương pháp dạy học

truyền thống, vừa làm phong phú thêm kho tàng các phương pháp dạy học

toán học Theo hướng này, có nhiều tác giả đã thành công trong việc nghiên

cứu và vận dụng lý thuyết graph vào dạy học một số môn học ở trường phổ

thông và đã có những kết quả bước đầu Năm 1980, tác giả Trần Trọng

Dương đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phương pháp graph và algorit hoá để

nghiên cứu cấu trúc và phương pháp giải, xây dựng hệ thống về lập công thức

hoá học ở trường phổ thông” Năm 1984, Phạm Tư với sự hướng dẫn của giáo

sư Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu đề tài: “Dùng graph nội dung của bài

lên lớp để dạy và học chương Nitơ- Phôtpho ở lớp 11 trường trung học phổ

thông” Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu: “Dùng phương pháp

graph lập chương trình tối ưu để dạy môn sử” Trong dạy học sinh học ở

trường phổ thông, Nguyễn Phúc Chỉnh là người đầu tiên đi sâu nghiên cứu về

lý thuyết graph và ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu - Sinh lý

người (năm 2005)

- Đối với phương pháp graph trong dạy học toán, các chuyên gia Hoàng

Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hướng nhưng chưa có học viên cao

học nào nghiên cứu một cách chi tiết

- Xuất phát từ lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp

graph trong dạy học toán ở trường THPT nhằm tích cực hoá hoạt động

học tập của học sinh”, với mục tiêu vận dụng một phương pháp dạy học có

nhiều tiềm năng phát huy năng lực nhận thức của học sinh, góp phần thiết

thực vào việc đổi mới phương pháp dạy học Toán học ở trường phổ thông

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hướng vận dụng phương pháp graph để xây dựng một số graph nội dung và graph hoạt động vào dạy học toán ở trường THPT theo chương trình mới

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Chương trình toán THPT, học sinh THPT, GV giảng dạy Toán ở các trường THPT

- Đối tượng nghiên cứu: Dạy học Toán ở trường THPT theo phương pháp graph

- Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong một số nội dung của chương trình toán THPT như: Thống kê, xác suất…

4 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng phương pháp graph trong dạy học một số nội dung của chương trình Toán thì sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, phát triển tư duy hệ thống và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu quan điểm dạy học Toán theo tinh thần đổi mới

- Tìm hiểu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy học

- Chỉ ra nội dung môn toán trong chương trình toán THPT có thể vận dụng lý thuyết graph

- Thiết kế các graph (nội dung và hoạt động)

- Kiểm tra hiệu quả các graph đã thiết kế để dạy học Toán bằng thực nghiệm sư phạm

6 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài

- Về lý luận:

Hệ thống và làm rõ thêm việc vận dụng lý thuyết graph vào dạy học

Toán ở THPT

- Về thực tiễn:

Đưa ra một số graph nội dung và graph hoạt động môn Toán và những

hướng dẫn sư phạm trong việc áp dụng những graph này vào thực tiễn dạy

học Toán

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan

đến: đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị

dạy học toán 10, 11, 12

- SGK, phân phối chương trình, sách GV…

- Các tài liệu về lý thuyết graph và những ứng dụng của nó trong thực

tiễn cuộc sống và trong dạy học

- Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phương

pháp graph và việc đổi mới phương pháp dạy học

7.2 Thực nghiệm sư phạm

- Biên soạn giáo án có sử dụng graph hoạt động và graph nội dung về

môn Toán THPT phù hợp với chương trình lên lớp

- Tiến hành thực nghiệm

- Đánh giá kết quả thực nghiệm

8 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm:

Phần mở đầu

Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài

Chương II: Vận dụng lý thuyết graph vào dạy học toán ở trường THPT Chương III: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chương I

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH

1.1.1 Nhu cầu đổi mới PPDH

Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi phải cấp bách

nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển đổi

từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lý của nhà

nước Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống

giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần

có những thay đổi mới căn bản về phương pháp dạy học Phải thừa nhận rằng

trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn có những nhược

điểm phổ biến:

Thầy thuyết trình tràn lan;

Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;

Thầy áp đặt, trò thụ động;

Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, sáng tạo của người

học;

Không kiểm soát được việc học

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp

hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc

đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục

và Đào tạo từ một số năm nay với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu

dưới nhiều hình thức khác nhau, như “Phát huy tính tích cực”, “Phương pháp

dạy học tích cực”, “Tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá người

học”v.v… [6]

1.1.2 Định hướng đổi mới PPDH

Định hướng đổi mới PPDH đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII (12- 1996), được thể chế hoá trong luật giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4- 1999)

Luật giáo dục 2005, chương I, điều 24 đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho mỗi học sinh”

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện

về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc”; Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ - BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho từng học sinh” [10]

Đổi mới PPDH được coi là một trong những nhiệm vụ chiến lược Chính

vì vậy PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động, kết hợp tốt học với hành Đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học; tăng cường thực

hành, thực tập; ứng dụng mạnh mẽ công nghệ thông tin và các thành tựu khác

của khoa học, công nghệ vào việc dạy và học

Đổi mới và hiện đại hoá phương pháp giáo dục, chuyển từ truyền đạt tri

thức thụ động, giáo viên giảng, học sinh ghi sang hướng dẫn người học tư duy

trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho người học phương pháp tự học, tự

thu nhận thông tin một cách hệ thống và có tư duy phân tích, tổng hợp và phát

triển được năng lực của mỗi cá nhân; tăng cường tính chủ động, tính tự chủ

của học sinh…

Hiện nay, trên thế giới đã có rất nhiều chuyên gia và GV áp dụng và

chuyển hoá các phương pháp khoa học, các thành tựu của kỹ thuật tiên tiến và

công nghệ mới thành phương pháp dạy học đặc thù Trong đó, tiếp

cận - chuyển hoá lý thuyết graph toán học thành phương pháp dạy học là một

trong những hướng có nhiều triển vọng

1.2 Đặc điểm môn toán trong trường phổ thông và quan điểm đổi

mới phương pháp dạy học toán

1.2.1 Đặc điểm môn toán

Toán học nói chung và môn toán ở trường THPT nói riêng là môn học

mang tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng Tính trừu tượng của

toán học và của môn toán trong nhà trường do chính đối tượng của toán học

quy định

Toán học là khoa học nghiên cứu các quan hệ số lượng, hình dạng và

lôgic trong thế giới khách quan

Tính trừu tượng có trong mọi ngành khoa học, tuy nhiên trong toán học

tính trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ

số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi

Sự trừu tượng hoá trong toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng từ những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, khái niệm hình bình hành…

Toán học là môn học có tính phổ dụng cao, điều này là do đặc tính trừu tượng của môn học này quyết định

Ví dụ: xét tương quan y = ax (a 0), trong toán học nó thể hiện tương

quan của hàm bậc nhất Tuy nhiên nó còn thể hiện ở nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn:

+ Trong vật lí ta có tương quan sau:

- Tương quan giữa quãng đường trong một chuyển động đều với

vận tốc v cho trước tỷ lệ thuận với thời gian t là: s = vt

- Tương quan giữa hiệu điện thế U với cường độ dòng điện trong

trường hợp điện trở R không đổi: U = IR

+ Trong hoá học ta có: phân tử gam M của một chất khí tỷ lệ thuận với

tỷ khối d của chất khí đó đối với không khí: M = 29d

Ngày nay toán học đã thâm nhập vào hầu hết mọi ngành khoa học Nó là nền tảng cho các môn khoa học khác, do đó đổi mới phương pháp dạy học toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của nền giáo

mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước

mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh

Về phương pháp giáo dục, phải khuyến khích tự học, phải áp dụng

những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư

duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng

sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương

pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành

nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên

tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời

gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

Các quan điểm trên đây đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục Như

vậy quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định Cốt lõi

của việc đổi mới PPDH môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập

tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Vậy quan điểm

chung về đổi mới PPDH môn toán hiện nay ở trường THPT là tổ chức cho

học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tự giác, tích cực, chủ

động và sáng tạo

Trong những năm gần đây, đã có những công trình khoa học xét quá

trình dạy học dưới mức độ định lượng bằng những công cụ của toán học hiện

đại Việc này có tác dụng nâng cao hiệu quả của hệ dạy học cổ truyền, đồng

thời mở ra những hệ dạy học mới tăng cường tính khách quan hoá (vạch kế

hoạch chi tiết có tính algorit), cá thể hoá (nâng cao tính tích cực, tự lực và

sáng tạo)…

Trong dạy học việc truyền thông tin không chỉ theo hướng từ giáo viên

đến học sinh mà còn theo hướng từ học sinh đến giáo viên (liên hệ ngược)

hoặc giữa học sinh với các phương tiện dạy học (sách, đồ dùng dạy học…)

hoặc giữa học sinh với học sinh Như vậy, giữa giáo viên và học sinh; giữa phương tiện dạy học với học sinh; giữa học sinh với học sinh đều có các đường (kênh) để chuyển tải thông tin đó là: kênh thị giác (kênh hình); kênh thính giác (kênh tiếng)….Trong đó kênh thị giác có năng lực truyền tải thông tin nhanh nhất, hiệu quả nhất

Đối với học sinh đổi mới PPDH là: học tập một cách tích cực, chủ động,

biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo, hình thành và ổn định phương pháp tự học

Đối với giáo viên đổi mới PPDH là:

-Thay đổi quan niệm: dạy học là truyền thụ một chiều, hướng tới dạy người học phát triển và giải quyết vấn đề

- Phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học

- Nâng cao hơn việc sử dụng phương tiện dạy học, thành tựu của công nghệ thông tin, tăng cường tri thức toán gắn với thực tiễn

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 1.3.1 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph

Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc

có hướng) nối các đỉnh đó

Người ta phân loại graph tuỳ theo đặc tính và số cạnh nối các đỉnh của graph Số đỉnh của graph G được kí hiệu bằng V(G) hay V Số cạnh của graph

G được kí hiệu bằng E(G) hay E

Trong mỗi graph các cạnh của graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào, đều không phải là điều quan trọng, mà điều quan trọng là graph có bao nhiêu cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào Xét một đỉnh của graph, số cạnh tới đỉnh đó được gọi là bậc (degree) của đỉnh

Một graph được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng

mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các

cạnh) Hình vẽ như thế được gọi là một biểu diễn phẳng của graph

Mỗi graph có thể có nhiều biểu diễn phẳng khác nhau, nhưng phải chỉ rõ

được mối quan hệ giữa các đỉnh Graph có thể biểu diễn được dưới dạng sơ

đồ, dạng biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận)

Một graph vô hướng G=(V,E) gồm một tập V≠ Ø mà các phần tử của nó

gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các

cặp không có thứ tự của các đỉnh có thể chứa cạnh bội nhưng không có

V= {A, B, C, D, E, G}

E={(A, B),(B, C),(A, D),(A, E),(E, C),(B, D)}

Hai đỉnh u và v trong graph (vô hướng) được gọi là liền kề nếu (u,v) E

Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v Cạnh e cũng là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e

Bậc của đỉnh v trong graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó

Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)= 0

Ví dụ:

Deg(A)=3; deg(B)=2 Deg(C)=4; deg(D)=4 Deg(F)=1( Flà đỉnh treo)

Deg(G)=0 (G là đỉnh cô lập)

* Graph có hướng:

Một graph có hướng G= (V,E) gồm một tập V≠Ø mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp sắp thứ tự của các phần tử thuộc V

Đỉnh u được gọi là nối tới v hay v được gọi là nối tới u trong graph có

hướng nếu (u,v) là một cung của graph Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi

là đỉnh cuối của cung này

Bán bậc vào của đỉnh v trong graph có hướng G, kí hiệu deg+(v) là số

Trong dạy học, người ta thường chỉ quan tâm đến graph có hướng vì

graph có hướng cho biết cấu trúc của đối tượng nghiên cứu

* Một số dạng graph đặc biệt

Ta xét một số dạng graph đơn vô hướng đặc biệt, có thể ứng dụng được

trong thực tế

+ Graph đầy đủ

Graph đầy đủ n đỉnh, ký hiệu bởi Kn, là graph vô hướng mà giữa hai đỉnh

bất kỳ của nó luôn có cạnh nối (cạnh liền kề)

Như vậy, Kn có

2 ) 1

+ Graph lập phương

Graph lập phương n đỉnh Qn là graph với các đỉnh biểu diễn 2n xâu nhị

phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi hai xâu nhị phân tương ứng

với hai đỉnh này chỉ khác nhau một bit

+ Graph hai phía

Graph đơn G = (V, E) sao cho V = V1 V2 , V1 V2 = Ø, V1 ≠ Ø, V2 ≠ Ø

và mỗi cạnh của G được nối với một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 được

gọi là graph phân đôi

Nếu graph phân đôi G = (V, E) sao cho mọi v1 V1, v2 V2; (v1, v2) E

thì G được gọi là graph phân đôi đầy đủ Nếu V1= m, V2= n thì graph phân

đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n Vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh V1 có bậc n và

V2 có bậc m

Ví dụ: K2,3

1.3.1.2 Graph Euler và graph Hamilton:

Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dương,

trong graph G = (V, E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2,…,en của graph

Một graph (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi

cặp đỉnh phân biệt của graph

Ví dụ:

Đường đi Euler và graph Euler [11]:

Định nghĩa: Chu trình (đường đi) đơn chứa tất cả các cạnh (hoặc cung)

của graph (có hướng hoặc vô hướng) G được gọi là chu trình (đường đi) Euler

Một graph liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hướng)có chứa một chu trình (đường đi) Euler được gọi là graph Euler (nửa Euler)

Graph G1 trong hình trên là graph Euler vì nó có chu trình Euler A, E, C,

D, E, B, A Graph G3 không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler

A, C, D, E, B, D, A, B, vì thế G3 là nửa Euler Graph G2 không có chu trình

cũng như đường đi Euler

Đường đi Hamilton và graph Hamilton [11]:

Định nghĩa: Chu trình (đường đi) sơ cấp chứa tất cả các đỉnh của graph

(vô hướng hoặc có hướng) G được gọi là chu trình (đường đi) Hamilton Một

graph có chứa một chu trình (đường đi) Hamilton được gọi là graph Hamilton

(nửa Hamilton)

Ví dụ:

Trong hình trên G3 là Hamilton, G2 là nửa Haminlton, còn G1 không là

nửa Haminlton

Bài toán về đường đi có nhiều ý nghĩa thực tiễn Trong dạy học, ứng

dụng bài toán về chu trình có thể lập được các graph ở nhiều nội dung khác

nhau

1.3.1.3 Khái niệm “cây” trong lý thuyết graph

Định nghĩa: Cây (tree) là một graph vô hướng liên thông, không chứa

chu trình

Một graph vô hướng không chứa chu trình gọi là một rừng Trong một

rừng, mỗi thành phần liên thông là một cây

Khảo sát về cây là một nội dung quan trọng của lý thuyết graph và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Cây khung: Định nghĩa: Giả sử G (V, E) là đồ thị vô hướng liên thông Cây T = (V, F) với F E được gọi là cây khung của đồ thị G Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất Đây là bài toán tối ưu trên graph tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống Cho G = (V, E) là graph vô hướng liên thông có trọng số, mỗi cạnh e E có trọng số m(e) 0 Giả sử T = (VT, ET) là cây khung của đồ thị G (VT = V) Ta gọi độ dài m(T) của cây khung T là tổng trọng số các cạnh của nó Bài toán đặt ra là trong tất cả các cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất Cây khung như vậy được gọi là cây khung nhỏ nhất Ví dụ 1: Tìm cây khung cực tiểu cho graph sau theo thuật toán Kruskal

T1

T2 T3

2

V 1

V 4

V 3

V 2

8

9

5

7

Bắt đầu từ graph rỗng T có 4 đỉnh V1, V2, V3, V4

Sắp xếp các cạnh của graph theo thứ tự tăng dần của trọng số

{ (V2,V4), (V2, V3), (V3, V4), (V3, V1), (V1, V2)}

Thêm vào graph cạnh (V2, V4)

Vì số cạnh của T là 1< 4-1=3 nên ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V2, V3)

Số cạnh của T tăng thành 2 vẫn nhỏ hơn 4-1, ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V3,

V1) ( không thêm cạnh (V3, V4), vì như vậy sẽ tạo thành chu trình)

Vậy ta được cây khung cực tiểu:

Cây có gốc là một cây có hướng, trong đó có một đỉnh đặc biệt gọi là

gốc, từ gốc có đường đi đến mọi đỉnh khác của cây

Một cây có gốc thường được vẽ với gốc R ở trên cùng và cây phát triển

từ trên xuống, gốc r gọi là đỉnh mức 0 Các đỉnh kề với r được xếp ở phía dưới và gọi là đỉnh mức 1 Đỉnh ngay dưới mức 1 gọi là đỉnh mức 2,… Tổng quát trong một cây có gốc thì v là đỉnh mức k khi và chỉ khi đường

Trong toán học, cây đa phân có thể dùng để hệ thống hoá khái niệm, mô

hình hoá tài liệu giáo khoa (có thể là nội dung một phần kiến thức, một bài

hoặc một chương)

Cây nhị phân: Một cây có gốc T được gọi là cây nhị phân nếu bậc ở tất

cả các đỉnh đều không lớn hơn 2, hay mỗi đỉnh của T chỉ có tối đa hai con

Cơ sở triết học của việc chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học

là phương pháp tiếp cận theo hướng cấu trúc - hệ thống

Lý thuyết hệ thống là một luận thuyết nhằm nghiên cứu và giải quyết các

vấn đề theo quan điểm toàn vẹn tức là nghiên cứu giải quyết các vấn đề một

cách có căn cứ khoa học, có hiệu quả và thực hiện dựa trên tất cả các yếu tố

cấu thành nên đối tượng

Việc ứng dụng graph trong dạy học là tiếp cận cấu trúc - hệ thống graph

để phân tích đối tượng nghiên cứu thành các yếu tố cấu trúc, xác định các

đỉnh của graph trong một hệ thống mang tính lôgic khoa học, qua đó thiết lập

các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc trong một tổng thể

Tính đặc thù phương pháp luận của tiếp cận cấu trúc hệ thống được biểu

thị ở chỗ hướng nghiên cứu vào việc khám phá tính chỉnh thể của đối tượng

Cây nhị phân (binary tree)

và các cơ chế đảm bảo tính chỉnh thể đó Tiếp cận cấu trúc - hệ thống nhằm hướng nghiên cứu vào tính tổng thể của đối tượng, làm sáng tỏ các mối liên

hệ đa dạng, phức tạp Giúp người học có thể nắm được lý thuyết một cách tổng thể

1.3.3 Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc sử dụng phương pháp graph trong dạy học

PPDH môn toán phải dựa vào những thành tựu của tâm lý học, đặc biệt

là tâm lí học phát triển, tâm lí học sư phạm và tâm lí học tư duy để xác định mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học

Trong quá trình dạy học, hoạt động học tập của học sinh là quá trình tiếp nhận thông tin Những thông tin được giới thiệu tạo cho học sinh tri giác sẽ khái quát hóa, trừu tượng hoá và cuối cùng là mô hình hoá thông tin để ghi nhớ theo mô hình

Sử dụng graph trong dạy học thực chất là hành động mô hình hoá, tạo ra

những đối tượng nhân tạo tương tự về một mặt nào đó với đối tượng hiện thực

để tiện cho việc nghiên cứu

Rõ ràng graph giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát hơn Học sinh sẽ

dễ dàng hiểu sâu được cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất của nội dung học tập

Mô hình là vật thể được dựng lên một cách nhân tạo dưới dạng sơ đồ,

cấu trúc vật lý, dạng ký hiệu hay công thức tương ứng với đối tượng nghiên cứu (hay hiện tượng) nhằm phản ánh và tái tạo dưới dạng đơn giản và sơ lược nhất cấu trúc, tính chất, mối liên hệ và quan hệ giữa các bộ phận của đối tượng nghiên cứu Mô hình là vật đại diện thay thế cho vật gốc, có những tính chất tương tự với vật gốc, nhờ đó khi nghiên cứu mô hình người ta sẽ nhận được những thông tin về những tính chất hay quy luật của vật gốc

Mô hình hoá thực ra là đơn giản hoá thực tại bằng cách, từ một tập hợp

tự nhiên các hiện tượng, trạng thái về hệ gắn bó qua lại với nhau, ta tách ra

những yếu tố nào cần nghiên cứu, rồi dùng ký hiệu quy ước diễn tả chúng

thành những sơ đồ, đồ thị, biểu đồ và công thức để mô phỏng một mặt nào đó

của thực tại Mô hình hoá là một hành động học tập, giúp con người diễn đạt

lôgíc khái niệm một cách trực quan Qua mô hình các mối quan hệ của khái

niệm được quá độ chuyển vào trong (tinh thần) Như mô hình là “cầu nối”

giữa vật chất và tinh thần

Graph giúp HS có một điểm tựa tâm lý rất quan trọng trong sự lĩnh hội,

học tập Từ những hình ảnh trực quan hay lời nói của GV mô tả về đối tượng

nghiên cứu, bằng các thao tác tư duy học sinh sẽ chuyển những thông tin đó

sang “ngôn ngữ graph”, tức là học sinh tự thiết lập các graph trong não Học

sinh sẽ dễ dàng hiểu sâu được cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất

của nội dung học tập Theo tâm lý học nhận thức, mọi hình ảnh (kể cả âm

thanh) học sinh tri giác được đều được mô hình hoá bằng các thao tác tư duy,

do đó graph đã giúp cho học sinh thuận lợi hơn trong khâu khái quát hoá

Hình ảnh trực quan là điểm tựa quan trọng cho sự ghi nhớ và tái hiện tri

thức của học sinh về nội dung bài học Ngôn ngữ graph ngắn gọn, súc tích

chứa đựng nhiều thông tin sẽ giúp cho học sinh xử lý thông tin nhanh chóng

và chính xác hơn Đối với việc ghi nhớ, học sinh không phải thuộc lòng mà

chỉ cần ghi nhớ những dấu hiệu cơ bản của đối tượng nghiên cứu và các quy

luật về mối quan hệ của các yếu tố trong một hệ thống nhất định Còn đối với

việc vận dụng tri thức, học sinh phải thực hiện một thao tác tư duy là chuyển

từ “ngôn ngữ graph” sang ngôn ngữ “ngữ nghĩa”, việc làm này giúp cho học

sinh vận dụng kiến thức chính xác và hiệu quả hơn

Sử dụng graph trong dạy học còn có tác dụng rèn luyện cho học sinh

năng lực tư duy khái quát (tư duy hệ thống) Đây là một hoạt động có hiệu

quả lâu dài, ảnh hưởng đến khả năng tư duy và hoạt động trong suốt cuộc đời của mỗi học sinh

1.3.4 Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy học 1.3.4.1 Trên thế giới

Lý thuyết graph là một lĩnh vực nghiên cứu đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết graph được đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ XVIII bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Leonhard Euler Chính ông là người đã sử dụng graph để giải bài toán nổi tiếng “Bảy cây cầu ở Konigsburg” (công bố vào năm 1736) Trong những năm cuối thế kỷ XX, cùng với sự phát triển của toán học và nhất là toán học ứng dụng, những nghiên cứu về vận dụng lý thuyết graph đã có những bước tiến nhảy vọt Sau khi lý thuyết graph hiện đại được công bố, nhiều nhà toán học trên thế giới đã nghiên cứu làm cho môn học này ngày càng phong phú Năm 1958, tại Pháp Claude Berge đã viết cuốn “Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó” Trong cuốn sách tác giả đã trình bày những khái niệm và định lý toán học cơ bản của lý thuyết graph, đặc biệt là những ứng dụng của lý thuyết graph trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Hiện nay, nhiều trường đại học trên thế giới có những nhóm tác giả đang nghiên cứu về lý thuyết graph, về sự chuyển hoá của lý thuyết graph vào những lĩnh vực khoa học khác nhau, đơn cử:

- Trường đại học Antrep - Bỉ có nhóm nghiên cứu của giáo sư Dirk Janssens; trường Đại học kỹ thuật Beclin - Đức có nhóm nghiên cứu của giáo

sư Hartmut Ehrig; trường Đại học tổng hợp Layden - Hà Lan có giáo sư Grzegorz Rozenberg …

- Ở Hoa Kỳ có nhiều tác giả đã nghiên cứu sâu về lý thuyết graph làm cơ

sở cho lý thuyết mạng máy tính và chuyển hoá vào các ngành khoa học khác Trong đó nổi bật nhất là những công trình nghiên cứu của Jonathan L Gross

(trường Đại học Columbia, NiuYooc) và Jay Yellen (trường Rolin, Florida)

Hai tác giả này đã công bố nhiều công trình về graph…

Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó đã và đang được nghiên cứu

một cách hết sức cẩn thận ở nhiều nước trên thế giới

Năm 1965, tại Liên Xô (cũ), A.M.Xokhor là người đầu tiên vận dụng

một số quan điểm của lý thuyết graph để mô hình hoá nội dung tài liệu giáo

khoa (một khái niệm, một định luật…) Ông đã nghiên cứu sâu về lĩnh vực

phương pháp dạy học hoá học, ông đã sử dụng graph để mô hình hoá tài liệu

giáo khoa môn hoá học A.M.Xokhor đã diễn tả những khái niệm bằng những

graph, trong đó các nội dung cơ bản của khái niệm được bố trí trong các ô và

các mũi tên chỉ sự liên hệ giữa các nội dung Theo ông đặc điểm khách quan

đặc trưng nhất cho tính vừa sức của một tài liệu giáo khoa (được xây dựng

theo một logic nào đó) là số lượng các cạnh (diện) của graph

Năm 1965, V.X.Poloxin dựa theo cách làm của A.M.Xokhor đã dùng

phương pháp graph để diễn tả trực quan những diễn biến của một tình huống

dạy học, tức đã diễn tả bằng một sơ đồ trực quan trình tự những hoạt động của

giáo viên và học sinh trong việc thực hiện một thí nghiệm hoá học Ông cũng

mô tả trình tự các thao tác dạy học trong một tình huống dạy học bằng graph

Năm 1972, V.P.Grakumop đã sử dụng phương pháp graph để mô hình

hoá các tình huống của dạy học nêu vấn đề Theo ông, trong việc tạo ra các

mẫu của tình huống nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, thì việc vận dụng lý

thuyết graph có thể giúp ích rất nhiều cho các nhà lý luận dạy học

Năm 1973 cũng tại Liên Xô (cũ) tác giả Nguyễn Như Ất đã vận dụng

phương pháp graph kết hợp với phương pháp ma trận như một phương pháp

hỗ trợ để xây dựng logic cấu trúc các khái niệm “tế bào học” trong giáo trình

môn sinh học đại cương trường phổ thông của nước Việt Nam

1.3.4.2 Ở Việt Nam

Từ năm 1971, giáo sư Nguyễn Ngọc Quang là người đầu tiên nghiên cứu chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học và đã công bố nhiều công trình trong lĩnh vực này Trong các công trình đó, giáo sư đã nghiên cứu những ứng dụng cơ bản của lý thuyết graph trong khoa học giáo dục, đặc biệt trong giảng dạy hoá học Sau đó cũng đã có nhiều tác giả đi sâu nghiên cứu trong lĩnh vực này

Năm 1980, tác giả Trần Trọng Dương đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phương pháp graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phương pháp giải, xây dựng hệ thống bài toán về lập công thức hoá học ở trường phổ thông”

Năm 1983, Nguyễn Đình Bào nghiên cứu sử dụng graph để hướng dẫn

ôn tập môn toán, Nguyễn Anh Châu đã nghiên cứu sử dụng graph hướng dẫn

ôn tập môn văn Các tác giả này đã sử dụng sơ đồ graph để hệ thống hoá kiến thức mà học sinh đã học trong một chương hoặc trong một chương trình nhằm thiết lập mối liên hệ các phần kiến thức đã học, giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn Năm 1984, Phạm Tư đã nghiên cứu đề tài “Dùng graph nội dung của bài lên lớp để dạy và học chương Nitơ - Photpho ở lớp 11 trường phổ thông trung học” Với thành công của ông, lý thuyết graph đã được vận dụng như một phương pháp dạy học hoá học thực sự có hiệu quả

Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu “Dùng phương pháp

graph lập chương trình tối ưu để dạy môn sử”

Năm 1993, Hoàng Việt Anh đã nghiên cứu “Vận dụng phương pháp sơ

đồ - graph vào giảng dạy địa lý các lớp 6 và 8 ở trường trung học cơ sở” Tác giả đã sử dụng phương pháp graph để phát triển tư duy của học sinh trong học tập địa lý và rèn luyện kỹ năng khai thác sách giáo khoa cũng như các tài liệu tham khảo khác

Trong lĩnh vực dạy học sinh học ở trường phổ thông Nguyễn Phúc Chỉnh

là người đầu tiên đi sâu nghiên cứu một cách hệ thống về lý thuyết graph và

ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu – Sinh lý người (2005)

1.4 Ứng dụng của phương pháp graph trong dạy học

1.4.1 Sử dụng phương pháp graph trong dạy học

Sử dụng phương pháp graph trong dạy học đang là một hướng đi trong

việc đổi mới phương pháp dạy học

Graph có tác dụng mô hình hoá các đối tượng nghiên cứu và mã hoá các

đối tượng đó bằng một loại “ngôn ngữ” vừa trực quan, vừa cụ thể và cô đọng

Vì vậy dạy học bằng graph có tác dụng nâng cao hiệu quả truyền thông tin

nhanh chóng và chính xác hơn Giúp học sinh thu nhận kiến thức một cách

khoa học hơn, hiểu vấn đề một cách khái quát hơn

Xử lý thông tin là sử dụng các thao tác tư duy nhằm phân tích thông tin,

phân loại thông tin và sắp xếp thông tin vào những hệ thống nhất định (thiết

lập mối quan hệ giữa các thông tin) Hiệu quả những thao tác đó phụ thuộc

vào chất lượng thông tin và năng lực nhận thức của từng học sinh Tuy nhiên

nhờ các graph mã hoá các thông tin theo những hệ thống logic hợp lý đã làm

cho việc xử lý thông tin hiệu quả hơn rất nhiều

Lưu trữ thông tin là việc ghi nhớ kiến thức của học sinh Những cách dạy

học cổ truyền thường yêu cầu học sinh ghi nhớ một cách máy móc (học thuộc

lòng) vì vậy học sinh dễ quên Graph sẽ giúp học sinh ghi nhớ một cách khoa

học, tiết kiệm “bộ nhớ” trong não học sinh Hơn nữa việc ghi nhớ các kiến

thức bằng graph mang tính hệ thống sẽ giúp cho việc tái hiện và vận dụng

kiến thức một cách linh hoạt hơn

1.4.2 Chuyển hoá graph thành phương pháp graph dạy học

Trong nhận thức khoa học, có thể phân loại các phương pháp khoa học thành ba nhóm: phương pháp khái quát, phương pháp riêng rộng và phương pháp đặc thù Hệ thống các phương pháp khoa học gắn bó với nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ra nhau, chúng có thể chuyển hoá cho nhau để hình thành ra những phương pháp mới phù hợp với mục tiêu và nội dung đặc thù của từng hoạt động

Phương pháp graph toán học là phương pháp khoa học thuộc loại riêng rộng, có tính khái quát cao, tính ổn định vững chắc và có thể dùng mã hoá các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu Vì vậy trong những năm cuối thế kỷ XX, trên thế giới đã xuất hiện xu hướng chuyển hoá phương pháp graph của toán học thành phương pháp dạy học nhiều bộ môn không phải là toán học, nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp tư duy và tự học có hiệu quả

Từ năm 1971, giáo sư Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu chuyển hóa các phương pháp khoa học thành phương pháp dạy học, thông qua xử lý sư phạm là một trong những hướng của chiến lược đổi mới và hiện đại hoá phương pháp dạy học Quá trình chuyển hoá phương pháp graph toán học thành phương pháp graph dạy học thông qua xử lý sư phạm được thực hiện theo công thức sau:

1.4.3 Những ứng dụng của graph trong dạy học

* Dùng graph để hệ thống hoá khái niệm:

“Trong việc dạy học toán, cũng như ở việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách

Ψ graph dạy học Phương pháp Phương pháp graph

toán học

vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến

thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả

năng vận dụng các kiến thức đã học” (Hoàng Chúng 197, tr 116)

Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống các

khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau

trong một hệ thống khái niệm Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải

quyết các vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có

tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái

niệm

Có thể dùng graph để hệ thống hoá các khái niệm trong một tổng thể, qua

đó mở rộng hiểu biết về đối tượng cần nghiên cứu một cách khái quát Điều đó

giúp học sinh hiểu khái niệm một cách không hình thức, không máy móc

Ví dụ:

Để hình thành khái niệm trung điểm đoạn thẳng phải định nghĩa “đoạn

thẳng” Để đi đến định nghĩa đoạn thẳng phải dựa vào khái niệm “nằm giữa”

và “điểm”, hơn nữa khái niệm cách đều phải dựa vào khái niệm cơ bản là độ

dài đoạn thẳng

Để hình thành khái niệm hình vuông thì phải dựa vào khái niệm hình chữ

nhật và hình thoi, để có khái niệm hình chữ nhật phải có khái niệm hình bình

hành, khái niệm tứ giác và tứ giác lồi

Đoạn thẳng

* Dùng graph cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa:

Nếu nội dung bài học chỉ được truyền tới người học dưới dạng văn bản thì người học sẽ có thể kém hứng thú, có khi dẫn đến việc hiểu sai nội dung việc ghi nhớ rất khó khăn

Xây dựng mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức trong một hệ thống nhất định (trong một chương trình, một chương hay một bài) Cấu trúc hoá tài liệu giáo khoa cho phép tạo nên hệ thống kiến thức cho học sinh Điều này giúp cho hoạt động dạy học có hiệu quả hơn, vì nó cho biết mối quan hệ hữu cơ giữa những bộ phận kiến thức trong mối liên hệ logic với nhau Học sinh có thể định hướng được các hoạt động trí tuệ và kích thích sự tìm tòi để chiếm lĩnh hệ thống tri thức mới Những tri thức mà học sinh tự tìm tòi chiếm lĩnh được sẽ nhớ lâu hơn, tái hiện chính xác hơn

Cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa được xem như một cách làm có hiệu quả Cách làm này vừa phù hợp điều kiện hoàn cảnh nước ta hiện nay, vừa đón trước được xu thế phát triển của khoa học thế giới

Ví dụ: Với nội dung bài “Phương trình đường thẳng” ta có thể cấu trúc

hoá nội dung dưới dạng sơ đồ Việc làm này sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng thể đối với bài toán, thấy được những nội dung cơ bản và các yếu tố cấu trúc trong nội dung đó

Hình thoi

Hình vuông Hình chữ nhật

Tứ giác lồi

* Dùng graph hướng dẫn học sinh tự học:

Chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu là ghi nhớ

kiến thức, đối phó với thi cử sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chú

trọng hình thành năng lực tự học dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn tổ chức của giáo

viên Những gì mà học sinh nghĩ được, làm được, giáo viên không làm thay,

nói thay

Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học

sinh không chỉ là biện pháp nâng cao hiệu quả mà còn là mục tiêu của dạy

học Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kỹ năng, thói quen,

Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Hệ số góc của đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến

ở nhà trường, mà còn có ý nghĩa lớn trong cuộc đời của mỗi người

Thông qua hoạt động học tập bằng graph, học sinh sẽ hình thành tư duy

hệ thống Từ đó có thể phát huy tính độc lập, sáng tạo của học sinh Giáo viên

có thể hướng dẫn học sinh nghiên cứu nội dung của bài khoá trong sách giáo khoa hoặc quan sát mô hình, vật mẫu cụ thể… để đi đến các yếu tố cấu trúc của đối tượng nghiên cứu rồi lập graph để thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc đó Hình thức này giúp cho học sinh có một phương thức tự học theo sách giáo khoa một cách chủ động

Ngoài ra học sinh còn có thể tự học ở nhà, bằng graph học sinh có thể lập được dàn ý cơ bản của các nội dung học tập Từ đó tạo điểm tựa để học sinh ghi nhớ và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, có hệ thống

Ví dụ: Giáo viên có thể cho học sinh nghiên cứu nội dung của bài: “Khảo

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, yêu cầu học sinh xác định kiến thức trọng tâm của nội dung (các bước khảo sát hàm số…), tìm những yếu tố cấu trúc của các kiến thức đó rồi lập graph thể hiện các mối quan hệ của các yếu

tố cấu trúc đó

1.4.4 Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học

Trong lý luận dạy học, vận dụng lý thuyết graph đã trở thành một tiếp

cận mới thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học, cho phép GV quy hoạch được

quá trình dạy học tổng quát cũng như từng mặt của nó Dùng graph có thể

thiết kế tối ưu hoạt động dạy - học và điều khiển hợp lý quá trình này tiến tới

công nghệ hoá một cách có hiệu quả quá trình dạy học trong nhà trường theo

hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

Thay vì hỗ trợ cho môi trường dạy - học thụ động, việc lập graph khuyến

khích học sinh tham gia tích cực vào tư duy, mổ xẻ và phát triển ý tưởng Học

sinh không chỉ dừng ở việc nắm tri thức một cách đơn lẻ mà xâu chuỗi, kết

nối một cách có hệ thống các tri thức đó lại để hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa

chúng Quan trọng hơn là học sinh sẽ học được một qui trình điều tra, hình

2 Sự biến thiên

b Tìm cực trị

c Tìm giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có)

a Xét chiều biến thiên

Suy ra chiều biến thiên của hàm số

Xét dấu của đạo hàm

Tìm các điểm tại

đó đạo hàm bằng

0 hoặc không xác định Tính đạo hàm

d Lập bảng biến thiên

3 Vẽ đồ thị

Hình 1.2

dung và tổ chức thông tin Học cách tổ chức các ý tưởng là một kỹ năng học tập quan trọng trong việc giúp hiểu kiến thức cơ bản của bất kỳ bài học nào

Từ hình ảnh trực quan và các kết quả thí nghiệm có thể dùng graph để

mô hình hoá mối quan hệ về mặt cấu trúc và về mặt chức năng của các đối tượng nghiên cứu, giúp học sinh hiểu bài và hệ thống hoá kiến thức tốt hơn

Chương II

VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở

TRƯỜNG THPT 2.1 Graph dạy học toán học

Phương pháp graph toán học đã được một số nhà nghiên cứu và một số

tác giả nghiên cứu chuyển hoá thành graph dạy học Ở Việt Nam, giáo sư

Nguyễn Ngọc Quang là người đầu tiên đưa phương pháp graph vào dạy học

môn hoá học, theo ông trong mỗi hoạt động bao giờ cũng có hai mặt, đó là:

mặt “tĩnh” và mặt “động” Trong dạy học mặt tĩnh là nội dung kiến thức, còn

mặt động là các hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình hình

thành tri thức Có thể mô tả mặt “tĩnh” của hoạt động dạy học bằng “graph

nội dung” và mô tả mặt “động” của hoạt động bằng “graph hoạt động dạy

học” Như vậy, graph dạy học bao gồm: graph nội dung và graph hoạt động

(H 2.1)

2.1.1 Graph nội dung

Graph nội dung là graph phản ánh một cách khái quát, trực quan cấu trúc

lôgic phát triển bên trong của một bài học

Giáo viên cần nghiên cứu nội dung chương trình giảng dạy để lựa chọn

những bài, những tổ hợp kiến thức có khả năng lập graph nội dung Sự lựa

Ví dụ: Graph nội dung: Giải và biện luận bất phương trình dạng

2.1.1.1.Quy trình lập graph nội dung

*Bước 1: Xác định các đỉnh của graph

- Lựa chọn những kiến thức cơ bản của nội dung bài học

- Mã hoá chúng sao cho thật súc tích, khoa học (có thể dùng các kí hiệu

để quy ước)

- Đặt chúng vào các đỉnh của graph

* Bước 2: Thiết lập các cung

Ta thiết lập các mối quan hệ giữa các đỉnh của graph, nối chúng bằng

các mũi tên để diễn tả mối liên hệ giữa nội dung các đỉnh với nhau

Các mối quan hệ đó phải bảo đảm tính lôgic khoa học, tuân theo những

quy luật khách quan và tính hệ thống của nội dung kiến thức

*Bước 3: Hoàn thiện graph (bố trí các đỉnh và các cung lên mặt

phẳng)

Khi đã xác định được các đỉnh (đơn vị kiến thức) và mối quan hệ giữa

chúng, có thể xếp các đỉnh lên mặt phẳng theo một lôgic khoa học, sao cho:

- Trung thành với nội dung được mô hình hoá về cấu trúc lôgic

- Phải chú ý đến tính khoa học (phản ánh được lôgic phát triển bên trong

của tài liệu)

- Phải đảm bảo tính sư phạm (đảm bảo tính trực quan, không nên lập

những graph phức tạp, rắc rối làm cho học sinh khó hiểu)

2.1.1.2.Ví dụ về lập graph nội dung bài học

Việc xây dựng graph nội dung bài học đòi hỏi nhà sư phạm phải kết hợp hài hoà các mặt khoa học, sư phạm và hình thức bố cục trình bày

Ví dụ 1: Lập graph nội dung bài: “Phương trình lượng giác cơ bản”

- Bước 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph

+ Tìm kiến thức cơ bản của nội dung (kiến thức chốt) Các phương trình lượng giác: sinx m, cosx m, tanx m, cotx m

và công thức nghiệm của các phương trình này

+ Các công thức lượng giác và các công thức nghiệm sẽ là các đỉnh của grap

+ Xếp đỉnh: Từ nội dung bài: “Phương trình lượng giác cơ bản” có thể xác định 13 đỉnh, trong đó 4 đỉnh chính tương ứng với 4 phương trình lượng giác cơ bản và 9 đỉnh nhỏ tương ứng với các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác

- Bước 3: Bố trí các đỉnh và các cung lên mặt phẳng

Sau khi xác định được các đỉnh và các cung, ta đặt các đỉnh lên mặt

phẳng để tạo ra một graph nội dung hoàn chỉnh (H 2.4)

Ví dụ 2: Lập graph nội dung của bài: “Một số công thức lượng giác”

- Bước 1: Xác định hệ thống đỉnh của graph

+ Tìm kiến thức cơ bản của nội dung (kiến thức chốt)

Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi (công

thức góc nhân ba, công thức hạ bậc), công thức biến đổi tích thành tổng và

công thức biến đổi tổng thành tích

PTLG cơ bản

m x

cot

m x

sin

m x

tan

m x

k x

Hình 2.4

PTVN

PTVN 1

Cũng từ công thức cộng có thể suy ra các công thức biến đổi tích thành

tổng Rồi với phép đặt α + β = x , α − β = y thì từ công thức biến đổi tích

thành tổng ta suy ra được công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức góc nhân đôi cũng có thể suy ra công thức hạ bậc

- Bước 3: Bố trí các đỉnh và cung lên mặt phẳng

Sau khi xác định được các đỉnh và các cung, chúng ta đặt các đỉnh lên mặt phẳng để tạo ra một graph nội dung hoàn chỉnh (H2.5)

Công thức nhân đôi

Công thức biến tổng thành tích

Công thức biến tích thành tổng

Công thức hạ bậc Công thức cộng

Công thức nhân ba

Hình 2.5

2.1.1.3 Ý nghĩa của graph nội dung:

Graph nội dung là một công cụ đắc lực trợ giúp học sinh tiếp cận, tìm

hiểu hệ thống hoá và phát triển trí tuệ Sử dụng graph nội dung không chỉ

giúp học sinh nhớ được tốt hơn, có nhiều cơ hội hơn để xử lý thông tin ở “cấp

độ cao hơn” mà còn tạo cơ hội cho lối tư duy chia sẻ, hợp tác, vừa kích thích

tư duy, vừa hứng thú học tập Ngoài ra, sử dụng graph nội dung còn có thể

hướng cho học sinh cách sắp xếp, tổ chức và thể hiện tư duy của chúng

Graph nội dung giúp học sinh tái hiện kiến thức dưới dạng trực quan, để

thể hiện mối quan hệ giữa các nội dung, đồng thời tạo ra các kết nối thông tin

mới với những kiến thức cũ Graph nội dung có nhiều dạng và được sử dụng

Công thức nhân đôi

a a

Công thức biến tích thành tổng

b a b a b

2

1coscos

Công thức hạ bậc

22cos1

a

Công thức cộng

b a b a b

cos(

Công thức nhân ba

a a

3cos 3

Graph hoạt động là một dạng algorit hoá hoạt động dạy - học theo phương pháp đường găng (con đường tối ưu) Để xây dựng được graph hoạt động của một bài học, giáo viên phải phân tích những hoạt động sư phạm thành các yếu tố cấu trúc của bài học, đó là các “hoạt động” và tổng hợp các hoạt động đó trong một hệ thống hoàn chỉnh, thống nhất Mối liên hệ giữa các hoạt động của bài học có thể biểu diễn bằng các hoạt động dạy học

Trong mỗi bài học, các hoạt động đều mang tính hệ thống, tức là thứ tự của mỗi hoạt động đòi hỏi phải có tính lôgic khoa học Ví dụ, xây dựng graph hoạt động người ta đánh số thứ tự từ 1 đến n (bài học có n hoạt động), bắt buộc phải thực hiện xong thao tác 1 mới thực hiện thao tác 2, xong thao tác 2 rồi mới thực hiện thao tác 3…

Thực chất xây dựng graph hoạt động là xác định các phương án khác nhau để triển khai bài học, việc này phụ thuộc vào grap nội dung và quy luật nhận thức

Trong dạy học, graph hoạt động giống như một chương trình kiểm tra tin học, theo graph đó giáo viên có thể chủ động lựa chọn các cách tổ chức bài học sao cho hiệu quả nhất Mô hình graph dạy học có thể cấu trúc như sau:

2.1.2.1 Quy trình lập graph hoạt động

Quy trình lập graph hoạt động được dựa trên tư tưởng “bài toán con

đường ngắn nhất” của lý thuyết graph trong dạy học, nhằm thực hiện bài toán

theo hướng tối ưu hoá, tức là xác định các phương án khác nhau để triển khai

bài học

Graph hoạt động được lập để dạy một tổ hợp kiến thức hoặc một bài học,

theo một quy trình như sau (H 2.7):

*Bước 1 Xác định mục tiêu bài học:

Mục tiêu bài học là những yêu cầu đặt ra đối với học sinh khi thực hiện

bài học Có nhiều yếu tố tác động đến việc xác định mục tiêu bài học, trong

đó đáng chú ý nhất là các yếu tố: nội dung bài học, yếu tố nhận thức của học

sinh, năng lực của giáo viên

* Bước 2: Xác định các hoạt động:

Xác định các hoạt động trong một bài học có thể dựa trên graph nội dung

bài học hoặc dựa vào việc phân tích cấu trúc nội dung bài học Mỗi hoạt động

tương ứng với một đơn vị kiến thức

BẮT ĐẦU

Hoạt động 1

KẾT THÚC

Hoạt động 3 Hoạt động 2

Hình 2.6 Mô hình graph hoạt động dạy - học

* Bước 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động:

Trong mỗi hoạt động, chúng ta cần xác định các thao tác chính để đạt được mục tiêu

*Bước 4: Lập grap hoạt động dạy học:

Sau khi đã xác định được các hoạt động và các thao tác của một bài học, giáo viên lập graph mô tả diễn biến chính của bài học Sau đó vận dụng tư tưởng thuật toán “Con đường ngắn nhất” để lập graph hoạt động dạy học theo hướng tối ưu hoá bài học

Bước 2 Xác định các bước hoạt động

Bước 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động

Bước 4: Vận dụng tư tưởng thuật toán: “Con đường ngắn nhất” để lập graph hoạt động dạy học theo hướng tối ưu hoá bài học

2 Về kỹ năng:

Thành thạo trong việc:

- Khai triển nhị thức Niu-tơn trong trường hợp cụ thể, tìm ra một số hạng

thứ k trong khai triển

- Tìm ra hệ số của x trong khai triển k

- Biết tính tổng dựa vào công thức nhị thức Niu-tơn

- Thiết lập tam giác Paxcan có n hàng, sử dụng thành thạo tam giác

Pa-xcan để triển khai nhị thức Niu-tơn

3 Về tư duy: Học sinh biết thực hiện các thao tác tư duy như quy nạp và

khái quát

4 Về thái độ: Rèn luyện đức tính cẩn thận, chính xác

- Bước 2: Xác định các hoạt động

Bài học bao gồm các hoạt động sau:

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

Hoạt động 2: Xây dựng công thức nhị thức Niu-tơn

Hoạt động 3: Xây dựng tam giác Pa-xcan

Hoạt động 4: Kiểm tra đánh giá

- Bước 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động

+ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

T1.1 Giáo viên giao nhiệm vụ: Nhắc lại các hằng đẳng thức:

2

b

b a

T1.2 Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của tổ hợp

Học sinh nhớ lại các kiến thức trên và đưa ra câu trả lời

+ Hoạt động 2: Xây dựng công thức nhị thức Niu-tơn

T2.1 Giáo viên giao nhiệm vụ sau:

- Nhận xét về số mũ của a , b trong khai triển a b2, a b3?

(HS dựa vào số mũ của a , b trong khai triển để phát hiện ra đặc điểm chung: số mũ của a giảm dần đến 0 còn số mũ của b tăng dần đến số mũ của

- Ta có thể đưa ra công thức tổng quát nào trong khai triển trên? T2.2 Chính xác hoá và đưa ra công thức trong SGK

T2.3 Khai triển n

b

a có bao nhiêu số hạng, đặc điểm chung của các

số hạng đó?

T2.4 Số hạng C k a k b kgọi là số hạng tổng quát của khai triển

T2.5 Xem VD3 SGK và công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để làm

T2.6 Trả lời các câu hỏi sau:

- Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển 9

- Nhận xét ý nghĩa của các số hạng trong khai triển

- Từ đó suy ra số tập con của tập hợp có n phần tử

+ Hoạt động 3: Xây dựng tam giác Pa-xcan

T3.1 GV giao nhiệm vụ:

- Nhóm 1: Tính hệ số của khai triển 4

b a

- Nhóm 2: Tính hệ số của khai triển a b5

- Nhóm 3: Tính hệ số của khai triển 6

b

T3.2 Viết vào giấy dán theo hàng như sau:

(Lưu ý giấy đã kẻ ô, cách một ô một số)

T3.3 Tam giác vừa xây dựng là tam giác Pa-xcan Hãy nói cách xây

- Hiểu được các khái niệm, các phép toán về vectơ trong không gian

- Biết khái niệm đồng phẳng, không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

2 Về kĩ năng:

- Xác định được phương, hướng, độ dài của vectơ trong không gian

- Thực hiện được các phép toán vectơ trong mặt phẳng và trong không gian

- Xác định được ba vectơ đồng phẳng hay không đồng phẳng

H4

Hình 2.8 Graph hoạt động bài: “Công thức nhị thức Niu-tơn”

Hình 2.6 Grap hoạt động bài “Công thức nhị thức Niu-tơn”

3 Về tư duy:

- Phát huy trí tưởng tượng không gian; Biết quy lạ về quen; Rèn luyện tư

duy lôgic

- Liên hệ được nhiều vấn đề thực tế với vectơ trong không gian

- Có nhiều sáng tạo trong hình học

4 Thái độ:

- Tích cực tham gia vào bài học

- Hứng thú trong học tập, tích cực phát huy tính độc lập trong học tập

- Bước 2: Xác định các hoạt động

Bài có 6 hoạt động chính:

+ Hoạt động 1: Ôn tập lại kiến thức cũ

+ Hoạt động 2: Chiếm lĩnh tri thức về định nghĩa vectơ trong không

gian

+ Hoạt động 3: Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

+ Hoạt động4: Chiếm lĩnh tri thức về phép nhân vectơ với một số trong

không gian

+ Hoạt động 5: Sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

+ Hoạt động 6: Củng cố toàn bài

- Bước 3: Xác định các thao tác trong mỗi hoạt động

+ Hoạt động 1: Ôn tập lại kiến thức cũ (có thể cho học sinh hoạt động

nhóm để trả lời)

T1.1 Ôn tập phần các định nghĩa

- Cho biết định nghĩa vectơ trong mặt phẳng, phương, hướng, độ dài của

vectơ trong mặt phẳng?

- Cho biết khái niệm hai vectơ bằng nhau trong mặt phẳng?

T1.2 Ôn tập về các phép toán vectơ

- Nhắc lại phép cộng hai vectơ và quy tắc cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ và quy tắc trừ hai vectơ?

- Phép nhân vectơ với một số, điều kiện hai vectơ cùng phương?

T2.1 Giáo viên cho học sinh quan sát trên hình hộp và trả lời:

- Từ hình hộp trên hãy chỉ ra một số vectơ?

- Em hãy nêu khái niệm vectơ trong không gian?

- Giáo viên nêu định nghĩa

T2.2 Chia nhóm và yêu cầu học sinh nhóm 1, 3 làm , còn học sinh nhóm 2, 4 làm trong SGK

(Đại diện nhóm trình bày)

+ Hoạt động 3: Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

T3.1 Giáo viên giao nhiệm vụ sau:

- Yêu cầu học sinh đọc SGK trang 118, phần 2

- Yêu cầu học sinh phát biểu về phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian

T3.2 Củng cố kiến thức: Giáo viên cho học sinh thực hiện ví dụ 1, sử dụng hình 3.1 SGK và đặt ra các tình huống sau:

- Hãy phân tích vectơ AC? (GV gợi ý trả lởi)

- Hãy thực hiện cách chứng minh?