d Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho un là một CSC.. uk+1 trừ số hạng đầu và số hạng cuối.. d Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho un là một CSN.. Tìm số hạng đầu và công sai của
Trang 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 3
MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ&GIẢI TÍCH LỚP 11
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 CẤP SỐ CỘNG
a) Định nghĩa: ( )un là cấp số cộng d; n N*
n u 1 n u
đ/n
∈
∀ +
= +
b) Công thức số hạng tổng quát: un = u1+(n − 1)d; ∀ n ≥ 2.
c) Tính chất các số hạng của CSC: ; k 2
2
u u
u k 1 k 1
k = − + + ≥ (trừ số hạng đầu và số hạng cuối)
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (un) là một CSC Khi đó
2
d 1 n 1 2u n 2
n u 1 u n n u
2 u 1 u n
=
+
= + + +
2 CẤP SỐ NHÂN
a) Định nghĩa: ( )un là cấp số nhân q; n N*
n u 1 n u
đ/n
∈
∀
= +
⇔ với q là số không đổi.
b) Công thức số hạng tổng quát: un = u1qn-1; ∀ n ≥ 2
c) Tính chất các số hạng của CSC: uk2 = uk−1 uk+1; k ≥ 2 hay uk = uk−1 uk+1
(trừ số hạng đầu và số hạng cuối)
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (un) là một CSN Khi đó
1 q khi 1 nu n S
1 q
; q 1
n q
1 1 u n u
2 u 1 u n S
=
=
≠
−
−
= + + +
=
II CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1 Dạng 1 Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC:
Để chứng minh dãy số (u n) là một CSC ta xét hiệu H =u n+1 −u n
- Nếu H là hằng số thì (u n) là một CSC có công sai d =H
- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u n) không là CSC
Ví dụ: Chứng minh dãy số ( )un với un =20n−9 là một CSC Tìm số hạng đầu và công sai của CSC đó
Giải:
Ta có un+1− un =[20(n + 1)− 9] (- 20n - 9) = 20 ⇒u n+1=u n + 20 Vậy ( )un là một CSC với u1=11 và d = 20
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN:
Trang 2
Để chứng minh dãy số (u n) là một CSN ta xét thương = + 1 , ∀n≥ 1
u
u T
n n
- Nếu T là hằng số thì (u n) là một CSN có công bội q=T
- Nếu T phụ thuộc vào n thì (u n) không là CSN
Ví dụ: Xét xem dãy số ( )un với ( 1).5 1
n
u = n+ n+ có là một CSN không? Nếu là CSN tìm số hạng đầu và công bội
Giải:
Ta có ( )
2 5 1
5 1
1 1 5 1 1 1
+
+
= +
+
+ + +
+
=
+
n
n n
n
n n
n u n
u
phụ thuộc n nên ( )un không là CSN
2 Dạng 2 Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN
* Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1và d phải thỏa Giải hệ này ta được u1và d
Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của CSC ( )un biết
= +
= +
−
26
10
6 4
5 3 2
u u
u u u
(1)
Giải: Áp dụng công thức u n =u1 +(n− 1)d, ta có
=
⇔
= +
= +
⇔
= + + +
= + + +
− +
⇔
3
1 26
8 2
10 3 26
5 3
10 4
1
1 1
1
1 1
1
d
u d
u
d u d
u d u
d u d u d u
Vậy ( )un đã cho có u1 = 1 ,d = 3
* Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1và q phải thỏa Giải hệ này ta được u1và q
Ví dụ: Cho CSN ( )un có u2 = 4 ,u4 = 16 và công bội q < 0 Tìm số hạng đầu và số hạng thứ sáu của CSN đó
Giải: Ta có
−
=
−
=
⇒
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
2
2 4
4 16
.
4 16
4 16
4
1 2
1 2
1
1 3
1
1 4
2
u
q q
q u q
q u q
u q
u
q u u
u
Vậy ( )un đã cho có 2 ; 5 ( 2 ).( 2 ) 5 64
1 6
1 = − u =u q = − − =
u
3 Dạng 3 Dùng công thức u n và S n của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng
* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSC để chứng minh hay tính tổng
Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu (u n) là một CSC có công sai d thì d =u n+1 −u n
u n =u1 +(n− 1)d
( ) [ ( ) ]
2
1 2
2
1
1 u n u n d u
n
n
− +
=
+
=
để biến đổi, rút gọn và tính toán
- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC ⇔a+c= 2b
Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC Chứng minh: a2 + 2bc=c2 + 2ab
(2)
Trang 3
Giải: Ta có VT(2) = a2 +(a+c).c=a2 +ac+c2 =c2 +(a2 +ac)=c2 +a(a+c)=c2 + 2ab= VP ( 2 ) Vậy a2 + 2bc=c2 + 2ab
* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSN để chứng minh hay tính tổng
Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu (u n) là một CSN có công bội q thì = + 1 ,n≥ 1
u
u q
n n
1 ; 2
1 ≥
n
1
1
; 1 1
1
1
=
=
≠
−
−
=
q khi nu S
q q
q u S
n
n n
để biến đổi, rút gọn và tính toán
- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSN ⇔ac=b2
Ví dụ: Tính tổng 9 99 999 99 9
n
Giải: Ta có
9
9 10 10
n -10 -1
10 -1 10.
n -10
10 10
1 10
1 10 1 10 1 -10
.
99
999 99 9
1 n
n
n 2
n 3
2
n
A
n
−
−
=
=
+ + +
=
− + +
− +
− +
=
+ + + +
=
+
II BÀI TẬP TỔNG HỢP
1 Tìm u1, d, tính S50 của cấp số cộng biết:
a) 2 5
3 6
+ =
+ =
; b)
1 5 4
S 14
=
1 5 3
1 6
+ − =
+ =
6
2 2
2 4
=
+ =
2 Định x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng:10 3x; 2x− 2 +3; 7 4x−
3.Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh: a2 +2bc c= +2 2ab
4 Tìm u1, q của cấp số nhân biết:
a) u4 = 64, và u6 = 1024; b) 1 3 5
2 4
+ + = −
+ =
5 Cho ba số 2, 14, 50 Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành cấp số nhân
6 Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân Chứng minh:
2 2 2
(a b c)(a b c) a+ + − + = + +b c
7 Cho ba số b−2a,b1,b−2c lập thành một CSC Chứng minh a, b, c lập thành một CSN.
8 Ba số a, b, c lập thành một CSC và b, c, a lập thành một CSN Tính a, b, c biết:
Trang 4
a) a+b+c= 18 b) abc= 125
9 Tìm 4 số hạng của một CSN biết rằng tổng của ba số hạng đầu bằng
9
148 , đồng thời theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một CSC
10 Tính các tổng
a) 9 99 999 99 9
n
A= + + + + b) 6 66 666 66 6
n
c) C= 1002− 992+ 982 − 972 + + 22 − 2
11 Định m để phương trình x4 − 2(m+ 1)x2 + 2m+ 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một CSC