MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Biên soạn: Đoàn Trí Dũng Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE.. c Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính
Trang 1MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE I là tâm ngoại tiếp Chứng minh rằng:
a) BDEC là tứ giác nội tiếp.
b) IA ⊥ DE
c) IA là trung trực của MN.
d) A M = A N
e) A M A N A E A B A D A C A H A K
a) Học sinh tự chứng minh
b)
IA DE
A BC A DE
0
90
∠ = ∠
c) Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính chất giữa dây cung và tâm, ta có IA đi qua trung điểm của MN Do đó IA
là trung trực của MN.
d) Vì câu c) nên ta có câu d)
e)
A ME 1sdA N, A BM 1sdA M
mà A M = A N
Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên A E A B. = A D A C.
Vì BEHK là tứ giác nội tiếp nên A E A B. = A H A K.
Kiến thức cần nhớ:
• Khái niệm góc dưới đáy ở tâm phụ với góc nội tiếp chắn cung: IA C A BC
0
90
• Tam giác đồng dạng chung góc với tỷ số bình phương: A ME A BM A M A E A B
Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AE E trung điểm BD Đường tròn cắt AC tại G.
a) EA =EG
b) EG
là tiếp tuyến của đường tròn tâm F.
c) EC A D = EG A C
Trang 2
a) AGDE nội tiếp nên ∠A GE = ∠A DE
Mà
A DE A BE EA G EA EG
b) ∠EGD = ∠EA D = ∠EA B = ∠DCG
Mà
DCG FGC 900 DGF
do đó
EGD 900 DGF EG GF
c)
Ta có điều phải chứng minh
Bài 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Các đường cao hạ vuông góc là AD, BK, BE, CF
M N P, ,
là các trung điểm Chứng minh rằng:
a)
DE ⊥ A C DF, ⊥ A B
b)
MP MN,
là các trung trực của
DE DF,
c) M là tâm ngoại tiếp tam giác DEF
d) ∆DEF ∽ ∆A BC
e)
K E M, ,
thẳng hàng
0
90
mà
A CD 900 DA C DE A C
Tương tự ta có DF ⊥ A B
b) MP // AC nên MP ⊥ DE
Mặt khác P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB nên P nằm trên trung trực của DE Vậy MP là trung trực của DE Tương tự cho MN.
c) Vì câu b) nên có câu c)
d) Ta có
( )
DEF A BC, DFE A CB DEF A BC g g
e)
MEF 900 EDF 900 BA C A BK A EK 1800 KEF
đpcm
Bài 4: MD và ME vuông góc với AC và BC P và Q lần lượt là trung điểm của AB và DE.
a) BM DE = BA EM
b)
A PM DQM
Trang 3
PQ ⊥QM
a)
EMD DCB A MB
do đó ta suy ra BM DE =BA EM
b) Từ câu a) ta suy ra
A PM DQM
c)
Vậy
PQ ⊥QM
Kiến thức cần nhớ: Kỹ thuật co dãn tam giác đồng dạng và kỹ thuật đổi
đỉnh chéo tam giác đồng dạng
Bài 5: Hình vuông ABCD E là điểm bất kỳ trên đoạn BC Đường tròn đường kính AE cắt BD tại F Tiếp
tuyến tại A của đường tròn cắt CD tại G Chứng minh rằng:
a) ∆FA E
vuông cân
b) FA =FE =FC
c) ·FAG = 450
đồng thời A GDF
nội tiếp
d)
G F E, ,
thẳng hàng
e) F
là trung điểm GE
a) FABE nội tiếp đường tròn đường kính AE do
đó tam giác FAE vuông Lại có FEA FBA 450
do vậy tam giác FAE
vuông cân
b) Vì F nằm trên trung trực của AC nên
FA =FE = FC
c) ∆EA B = ∆GA D ⇒GA E
là tam giác vuông
nên
A GDF
nội tiếp
d) A GDF
nội tiếp nên GFA GDA
0
90
Do đó ta có
G F E, ,
thẳng hàng
e) GAE vuông cân nên ta có đpcm.
Bài 6: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD là đường kính AE kéo dài cắt đường tròn tại K, J là trung điểm BC
Trang 4G là trọng tâm tam giác ABC.
a) BHCD là hình bình hành.
b) A Huuuur=2IJuur
c) EH =EK
d) KA
là phân giác góc ·BKM
e) IHuuur= 3IGuuur
a)
BH ⊥ A C CD, ⊥A C ⇒BH
// CD Tương tự BD // CH do đó BHCD là hình bình hành.
b) BHCD là hình bình hành cho nên J là trung điểm của HD Do
đó ta có điều phải chứng minh
c) ∠EBH = ∠EA C = ∠EBK
Ta có điều phải chứng minh d) ∠BKA = ∠BCA = ∠A KM
Ta có điều phải chứng minh
e) Ta có:
A G
A J
2 3
=
mà J là trung điểm của HD do đó G là trọng tâm tam giác AHD Ta có điều phải chứng minh.
Bài 7: Tam giác OAB vuông cân tại O Kẻ đường thẳng bất kỳ qua A cắt OB tại M Kẻ đường thẳng qua B
vuông góc AM tại H cắt đường tròn đường kính OB tại K và cắt OA tại I.
a) IM ⊥ A B
b) OMI là tam giác vuông cân.
c) HO là phân giác góc ·MHI
d) OKH là tam giác vuông cân.
a) M là trực tâm tam giác ABI do đó ta có điều phải chứng minh.
b) IM ⊥ A B
Ta có điều phải chứng minh
c) OMHI nội tiếp có OM =OI
nên HO là phân giác góc ·MHI
0
45
và OKH
0
90
do đó ta có điều phải chứng minh
Bài 8: Tam giác vuông ABC có I là trung điểm của BC Phân giác góc A cắt đường tròn tại D, hạ DE và DF
vuông góc với các cạnh của tam giác
Trang 5a) FA ED
là hình vuông
b)
E I F, ,
thẳng hàng
a) Vì có ba góc vuông nên DEAF là hình chữ nhật Mặt khác vì
AD là phân giác nên DE =DF
vì vậy FA ED
là hình vuông
CIF
= ∠
do đó ta có điều phải chứng minh
Bài 9: Tam giác ABC cân
A D BF CE, ,
là các đường cao I là trung điểm AH và điểm J thỏa mãn DJ = DB
Hạ JK
vuông góc với BF G là trung điểm AB.
a)
IG ⊥GD IE, ⊥ED
b) IGED
nội tiếp
c) JKF là tam giác vuông cân.
d) DK là phân giác góc ·JDF
a) IG // BH và GD // AC mặt khác BH ⊥A C ⇒GI ⊥GD
IEH IHE DHC 900 ECD 900 DEC
do đó
ta có IE ⊥ ED
b) Từ câu a) ta có câu b)
c)
B E J F C, , , ,
cùng nằm trên đường tròn tâm D đường kính BC do
0
45
Ta có điều phải chứng minh
d) K và D cùng thuộc trung trực của JF nên ta có điều phải chứng
minh
Bài 10: Hình vuông ABCD N là trung điểm CD Đường tròn đường kính BN cắt AC tại E BE cắt AD tại M,
MN cắt đường tròn tại I.
a) MDNE nội tiếp.
b) BEN là tam giác vuông cân.
c)
MF NE BI, ,
đồng quy tại H.
d) BI = BC
e) FEI là tam giác vuông.
Trang 6a) Học sinh tự chứng minh.
b) EBCN là tứ giác nội tiếp nên EBN ECN
0
45
vậy
ta có điều phải chứng minh
c)
MF NE BI, ,
là ba đường cao nên đồng quy
d) ∠IBN = ∠NEC = ∠NBC
do đó ∆IBN = ∆CBN
do
đó ta có điều phải chứng minh
0
45
0
45
do đó ta có điều phải chứng minh
Bài 11: Tam giác vuông ABC có đường cao AH Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC tại D và E
Gọi M là trung điểm BC.
a)
D H E, ,
thẳng hàng
b) A M ⊥ DE
a)
D H E
0 0
180 2
, ,
180 2
thẳng hàng
b)
A EH 1 A HD 0 HA B A BH
90 2
A EH 900 MCA 900 MA C
Ta có điều phải chứng minh
Bài 12: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I
Hạ các đường
DG DM DJ DK, , ,
vuông góc với các cạnh tương ứng
Chứng minh rằng:
a)
G M J K, , ,
thẳng hàng
b) JM // EF.
c) IA ⊥ JM
a)
DMJ DHJ A DG A BD
0
90
do đó
G M J, ,
thẳng hàng Tương tự, ta có được điều phải chứng minh
b) ∠HJM = ∠HDM = ∠HA E = ∠HFE
do đó JM // EF.
Trang 7FE ⊥IA ⇒IA ⊥JM
Bài 13: Trực tâm H Gọi M và N là các điểm đối xứng của D qua AB và AC.
a)
M F E N, , ,
thẳng hàng
b) GI // EF.
c)
A F D C N, , , ,
cùng thuộc một đường tròn
d) H là tâm nội tiếp của tam giác DEF.
a)
CFE CBE 900 BCA
ta có điều phải chứng minh
b) Học sinh tự chứng minh
c) ∠DA N = ∠2 DA I = ∠2 DFC = ∠DFN
ta có điều phải chứng minh
d) Học sinh tự chứng minh
Bài 14: Hình vuông ABCD E bất kỳ trên BC Dựng
AF vuông góc AE I là trung điểm EF Kẻ EG // CD
EF cắt AD tại J.
a) AECF nội tiếp.
b) AEF là tam giác vuông cân.
c) FA FK FC
d) EGFK là hình thoi.
e) EK =BE +DK
f) Tam giác CKE có chu vi bằng nửa chu vi
ABCD.
g) GJK
là tam giác vuông cân
a) Học sinh tự chứng minh
b) ∆A BE = ∆A DF
do đó ta có điều phải chứng minh
c)
FA2 =FI FE =FK FC
d) ∠GEI = ∠KFE = ∠KEI
do đó ta có điều phải chứng minh
Trang 8e) EK = EG =FK = FD DK+ = BE +DK
f)
2
g) Học sinh tự chứng minh
Bài 15: Tâm nội tiếp là I Đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh tại D và E Đường thẳng qua I vuông góc AI
cắt các cạnh tại F và G BI cắt DE tại H M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) ∆FIB ∽ ∆GCI
b) BF CG IF IG
c) IHEC
nội tiếp
d) BH ⊥ HC
e) MH // AB.
a)
GIC A IC 900 1800 900
Ta có điều phải chứng minh
b) Từ câu a) ta có câu b)
c)
ta có điều phải chứng minh
d) Từ câu c) ta có câu d)
e) ∠MHB = ∠MBH = RHBA
do đó ta có điều phải chứng minh
