5 bo de kham pha tu duy bo de toan nguyen quang son

Tìm trên giao tuyến một điểm M sao cho có hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với nhau tại M.. Rồi từ hình chiếu của đỉnh dựng đường thẳng d cắt giao

Trang 1

Đặt sách Online rẻ tại http://newshop.vn – 0932.057.012

ĐỀ SỐ 01

Câu 1: Cho hàm số 1 3 2  2 

y x mx m m 1 x 13

       1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m2

b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại x1

Câu 2:

a) Giải phương trình:1sin 2 x 3 cos x2 cos x 0

b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiê ̣n: 1 3i z  là số thực và z 2 5i 1  

Câu 3: Giải phương trình: 2x 3 3x2 5x 6

Câu 7: Trong mặt phẳng với hê ̣ tru ̣c to ̣a đô ̣ Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của ΔBCD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết: M 1 1; , G 1; 5

AB và song song với CD Tìm tọa độ hình chiếu của C trên mặt phẳng (P)

Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau lập từ

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập S Tích xác suất để tích hai số được chọn là số chẵn?

Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: x + y + z = 1 Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của:

Trang 2

Khám phá tư duy giải nhanh thần tốc bộ đề thi THPT Quốc Gia môn Toán

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x1

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 1 khi m2

Trang 3

Hay 1 3i z   a3b  b 3a i  Để 1 3i z  là số thực thì phần ảo:

Trong bài giải trên, ta đã áp du ̣ng kiến thức: z a bi  là số thực  phần ảo

b0 và z a bi  là số thuần ảo  phần thực a 0

Câu 3: Giải phương trình: 2x 3 3x2 5x 6

● Tâ ̣p xác đi ̣nh: D

● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta đươ ̣c:

theo

biểu thức tích trong căn Nhận thấy chỉ có (2) tồn tại hai số a 1, b3 thỏa đồng nhất Lúc đó bất phương trình

Trang 4

S 

Bình luận: Bài toán có dạng tổng quát a f x ( )b g x ( )c f x g x ( ) ( )

Dấu hiệu nhận dạng: Phương trình có 1 căn thức và biểu thức trong căn thức

phân tích được thành tích số

Phương pháp giải: có 2 hướng xử lý

Hướng 1 Đặt 2 ẩn phụ u f x( ), v g x( ), đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai dạng: a u 2b v 2c uv

Trang 5

Hướng 2 Chia trực tiếp cho lượng dương, chẳng hạn g x( ) 0, để thu được phương trình bậc hai dạng: ( ) ( ) 0

– Thông thường, các biểu thức trong căn thức chưa phân tích thành tích số sẵn

mà ta phải phân tích với các dạng phân tích hay được sử dụng sau:

2

( )f x ax bx c a x x( ) (x x )

 Chia Hoocner đối với đa thức bậc cao khi nhẩm được nghiệm đẹp

Trang 6

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng: Bước đầu tiên xác định giao

tuyến của hai mặt phẳng Tìm trên giao tuyến một điểm M sao cho có hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với nhau tại M Từ

đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng cần tìm là

góc giữa hai đường thẳng d 1 và d 2

Bài toán cụ thể đề rất hay cho là: Xác định

góc giữa mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy:

Đầu tiên xác định giao tuyến của chúng

Rồi từ hình chiếu của đỉnh dựng đường thẳng

d cắt giao tuyến tại M, suy ra góc giữa hai

mặt phẳng cần tìm là SMH (với S là đỉnh,

còn H là hình chiếu của đỉnh trên mp đáy)

Chứng minh dựa vào định lý ba đường vuông góc

Vì ABC600 nên tam giác ABC đều suy ra

Dựng GECD,(ECD)CDSE nên:

Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc SEG600

Trong CEG có GE GC.sin 600 2a 3 a 3

Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt bên: Giả sử S là đỉnh của khối chóp, H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là (P) Tính khoảng cách từ H đến mặt bên (Q)

60 0

H F

E O

Trang 7

Bước 1: Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

Bước 2: Từ H dựng HK vuông góc với giao tuyến d tại K

Bước 3: Dựng HI vuông góc với SK tại I Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (Q) là HI

Chứng minh các bước trên dựa vào tính chất hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia

Sau đó sử dụng công thức: Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt

D A

Trang 8

Với y 1 A 1;1 , vì M trung điểm của AB nên B2;0

Gọi I là tâm của hình vuông có IA 3IGI 0; 1  , vậy C 1; 3 , D 2; 2    Với y 13 A 35 13;

Nhận xét: Những dạng bài tập tìm điểm hoặc viết phương trình một đường

thẳng nào đó liên quan đến hình vuông

 Nếu đề cho tọa độ hai điểm thì ta tính được độ dài đoạn đó và dựa vào tính chất

hệ thức lượng ta tính được độ dài cạnh của hình vuông, sau đó tìm tọa độ một đỉnh của hình vuông hoặc tọa độ tâm của hình vuông, sau đó dựa vào tính chất

1 k

y kyy

để tính tọa độ các đỉnh còn lại liên quan

 Nếu đề cho tọa độ một điểm và một đường thẳng, thì ta tính được khoảng cách

từ điểm đã cho đến đường thẳng đã biết Sau đó dựa vào khoảng cách đã tính để tính độ dài của cạnh hình vuông, và sau đó làm tương tự như trường hợp trên

Trang 9

Bài tương tự:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằngM 1; 2  và N 2; 1  .(Khối A – 2014 )

Đáp án đường thẳng CD có hai phương trình là y 2 0  hoặc 3x4y 15 0

Cách tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm M trên mặt phẳng (P):

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P)

Bước 2: Tọa độ hình chiếu là giao điểm của d và mặt phẳng (P)

Đường thẳng d qua điểm C và vuông góc với (P), d có véctơ chỉ phương

P A

n



 Do đó cần làm tốt

các bài toán đếm và nhớ rằng: công viê ̣c chia giai đoa ̣n qui tắc nhân, công viê ̣c

chia trươ ̀ ng hơ ̣p qui tắc cô ̣ng, lấy k phần tử trong n phần tử có thứ tự chỉnh

Trang 10

Trong 36 phần tử của S có 15 phần tử là số lẻ và 21phần tử là số chẵn

Tích hai số được chọn là số chẵn thì có các trường hơ ̣p sau xảy ra:

Trường hợp 1 Hai phần tử được cho ̣n đều là số chẵn, tức cho ̣n 2 phần tử trong 21 phần tử thì có 2

21

C cách cho ̣n

Trường hợp 2 Hai phần tử được cho ̣n có mô ̣t phần tử chẵn, mô ̣t phần tử lẻ, tức

giai đoa ̣n 1 cho ̣n 1 phần tử chẵn trong 21 phần tử có 1

21

C cách và giai đoa ̣n 2

cho ̣n 1 phần tử lẻ trong 15 phần tử có 1

2 36

Trang 11

Thu go ̣n và viết la ̣i:

Xét hàm số trên có:

.Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên và dấu xảy ra khi

Vâ ̣y giá tri ̣ nhỏ nhất của P là khi

Trang 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai trục Ox,

Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho 3MA2MB

Câu 2: a) Giải phương trình: 2cos5x.cos3xsin xcos8x

b) Tìm modun của số phức z thỏa z2z2 6 và z 1 i   z 2i

Câu 3: Giải bất phương trình:

x 2x

x 11

Câu 9: Một đội văn nghệ gồm 7 học sinh nam và 6 học sinh nữ lớp 10, 5 học sinh

nam và 8 học sinh nữ lớp 11 Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh Tính xác suất để trong 4 học sinh đó có cả nam và nữ, có cả học sinh lớp 10 và học sinh lớp 11

Câu 10: Cho các số không âm x, y, z thỏa 3 x 2y2z2xy yz zx 12   Tìm giá tri ̣ lớn nhất và giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức sau:

Trang 13

6 32

Trang 14

39

● Điều kiê ̣n: x 1

2x 2x x 1

2x

x 1

Phân tích Lưu ý rằng, bài toán này giống như đề trước nhưng ta sẽ không

chuyển vế và lũy thừa bởi các nguyên nhân sau: Một là khi lũy thừa thì

2

10x 50x3 sẽ phân tích thành tích số được nhưng số quá xấu và hơn nữa, biểu thức hiệu ở vế phải sau khi lũy thừa phân tích được thành tích số với số đẹp Hai là biểu thức hiệu này ta luôn chứng minh được dương do

2 2

    Từ những nguyên nhân này,

kết hợp với phương pháp giải được nêu ở đề trước, ta có lời giải chi tiết như sau:

 Lời giải Điều kiện:

2 2

Trang 15

Ta có:

2 2

2232

Trang 16

Khoảng cách từ trọng tâm G của mp(SAB) đến mp(SCD)

Muốn tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến một mặt bên, ta phải tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt bên đó, sau đó sử dụng công thức tính

tỉ lệ khoảng cách ta suy ra khoảng cách cần tìm

E H O C

B

S

I

Trang 17

M I A

A và ta ̣o với AM mô ̣t góc 300

Phương trình AB, AC có da ̣ng  : a x 4    b y 1   0; a 2  b 2  0

    là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AM

Go ̣i  là góc ta ̣o bởi AB, AC với AM  300 có

2 2

Vì AM là đường kính nên góc 0

MBA MCA 90  , phương trình các đường thẳng MB, MC qua M và vuông góc với  và ' lần lươ ̣t là y 3 0   và

Trang 18

● d // P     : vô nghiệm ● d   P   : có vô số nghiệm

● d cắt    P   : có đúng một nghiệm t Khi đó d   P  H và tìm tọa độ

thay x, y, z của d vào mặt

phẳng (P) được: 8 t 2(5 2t) 5(8 t) 1 0     590(vô lý) Từ đó suy ra d//(P)

Mặt phẳng (Q) có một cặp véc tơ chỉ phương là u , n nên có một véc tơ pháp d P

tuyến nQu , nd P12; 6;0  Phương trình của (Q) là 2x y 14 0  

5

n F C cách

Trang 19

Gọi G là biến cố chọn 4 học sinh nam có cả lớp 10 và 11, có

8

n L C cách Gọi M là biến cố chọn 4 học sinh nữ có cả lớp 10 và 11, có

Câu 10:

Trong bài toán có ba biểu thức: xyyzzx , x  2y2z2, x  y z và có mối liên hê ̣ với nhau bởi đẳng thức Khi đó cần cho ̣n mô ̣t biểu thức để biểu diễn hai biểu thức còn la ̣i theo nó và giảm biến bằng cách đă ̣t ẩn phù hợp

Ta có hằng đẳng thức:  2 2 2 2  

   Đến đây, ý tưởng đã rõ, ta sẽ

đă ̣t tx2y2z2 và đi tìm điều kiê ̣n cho biến mới t

Trang 20

 hoă ̣c hoán vi ̣ và max P 4 khi x  y z 1

Bài tâ ̣p tương tự: Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiê ̣n: x y z 3   Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2

b) Tìm các điểm M trên đường thẳng d : y 2x 19, biết rằng tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d ' : x9y 8 0?

A      

Trang 21

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Cạnh

SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi M trung điểm của đoạn

BC, N là điểm thuộc đoạn AC thỏa AN 3NC Tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C của hình vuông ABCD biết đỉnh D 5;1  đường thẳng MN có phương trình 3x  y 4 0

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;0;5  và hai đường thẳng d :1 x 1 y 3 z 1

  Xét vị tương đối của

hai đường thẳng d1 và d2 Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với mặt

phẳng Oxy Tính diện tích tam giác AMN

Câu 9: Lịch thi học kỳ I được tổ chức trong 4 ngày liên tiếp với 4 môn tự nhiên:

Toán, Lý, Hóa, Sinh và 4 môn xã hội: Văn, Ngoại ngữ, Sử, Địa Mỗi ngày thi 2 môn, gồm một môn tự nhiên được xếp thứ tự Toán – Lý – Hóa – Sinh và một môn

xã hội tùy ý Hỏi có bao nhiêu cách xếp lịch thi thỏa hai môn Toán – Văn không thi chung trong một ngày Trong số các lịch thi tạo được, tính xác suất để chọn được lịch thi có 2 môn Văn và Ngoại ngữ được xếp thi trong 2 ngày liên tiếp

Câu 10: Cho các số thực dương thỏa: Tìm giá tri ̣ nhỏ

Trang 22

● Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:   3

Hay 1: y9x 14 hoặc 2: y9x 18 là hai tiếp tuyến tại M

● Khi đó, tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng d và tiếp tuyến

1 207

207 11 11y

y5

Trang 23

Câu 3: 2 x 1

x 2x

1

22

● Vâ ̣y tâ ̣p nghiê ̣m của bất phương trình là x 2;

Câu 4: Bất phương trình có mẫu số, thông thường ta sẽ chứng minh mẫu số này

luôn dương (khi đó bỏ mẫu thì bất phương trình không đổi dấu) hoặc luôn âm (bất phương trình đổi dấu khi bỏ mẫu) Có rất nhiều công cụ để làm điều này, nhưng thường gặp là sử dụng  2

ab 0 để đánh giá hoặc phương pháp phản chứng Tức ta sẽ giả sử: x 3 2 x 210   0 x 3 2 x 210

Điều kiện: x 3 thì   2  2 

1  x   x 6 7 x 6 x 5x2 0. 2Đây là bất phương trình cơ bản PP Chuyển vế sao cho hai vế dương và bình phương: 2  x2  x 6 7 x 6 x 25x2

Trang 24

là viết: 5x218x    6 x x 2 x 6 x2       6 và đồng nhất ta được hệ:

và không tồn tại hai số , 

Nhưng nếu để ý biểu thức:

Trang 25

60°

O H A

D S

I

J N

Câu 6:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp

(ABCD) Theo đề bài thì H là trọng tâm của tam

giác ABD Gọi N trung điểm của AB HD là hình

chiếu vuông góc của SD trên mp(ABCD) nên góc

Trang 26

điểm M không thuộc đường thẳng MN, nên trường hợp này loại

Câu 8: Tóm tắt lý thuyết xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng

  nên hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

Có Md1Oxy z 0 thay vào phương trình d1được x 1 y 3 1

Trang 27

Có 3 cách xếp môn vào vị trí 1 gồm { Ngoại ngữ, Sử, Địa}

Có 3 cách xếp môn vào vị trí 2 (bỏ một môn đã thi ngày 1)

Có 2 cách xếp môn vào vị trí 3 (bỏ hai môn đã thi ngày thứ 1 và 2)

Còn một môn cuối cùng thi vào ngày thứ 4

Kết luận vậy có 3.3.2.1 = 18 cách xắp xếp môn thi thỏa yêu cầu

Có các trường hợp sau thỏa mãn 2 môn Ngữ văn và Ngoại ngữ thi trong 2 ngày liên tiếp thỏa yêu cầu đề bài:

Trường hợp 1: Ngữ văn thi ngày thứ 2, thì môn ngoại ngữ thi ngày thứ 1 hoặc thứ 3,

hai môn còn lại xếp vào 2 ngày còn lại Số cách xếp thỏa trường hợp này là: 2.2! = 4

Trường hợp 2: Ngữ văn thi ngày thứ 3, thì môn ngoại ngữ thi ngày thứ 2 hoặc thứ 4,

hai môn còn lại xếp vào 2 ngày còn lại Số cách xếp thỏa trường hợp này là: 2.2! = 4

Trường hợp 3: Ngữ văn thi ngày thứ 4, thì môn ngoại ngữ bắt buộc thi ngày thứ 3, hai

môn còn lại xếp vào 2 ngày còn lại Số cách xếp thỏa trường hợp này là: 1.2! = 2 Gọi A là biến cố "Lịch thi có 2 môn Văn và ngoại ngữ được xếp thi trong 2 ngày liên tiếp" Số trường hợp thuận lợi cho A là: n A    4 4 2 10

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	2,16 MB