Bài giảng Hình học 12 chương 2 bài 2: Mặt cầu

Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp

Trường PTTH Cao Lãnh 2

Tổ Toán

r

H

R



S

I

Mặt Cầu

1.Định nghĩa:

*Thế nào là mặt cầu ?

M

I

R

I: tâm mặt cầu

R:bán kính mặt cầu

Mặt Cầu

1.Định nghĩa:

I: tâm mặt cầu R:bán kính mặt cầu

2.phương trình mặt cầu:

I

M(x;

y;z)

(a;b

;c)

x y

z

O

R

ĐỊNH LÝ 1: trong hệ trục toạ độ

(Oxyz) ,mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán

kính R ,có phương trình là:

      ( 1 )

:

)

R c

z b

y a

x

S      

 x  a    y  b    z  c   R

 2  2  2 2

R c

z b

y a

x      



2 2

2 2

: )

( S x  y  z  R

nếu tâm I trùng gốc toạ độ O thì phương

trình mặt cầu (S) có dạng ?

Mặt Cầu

1.Định nghĩa:

I: tâm mặt cầu

R:bán kính mặt cầu

2.phương trình mặt cầu:

      ( 1 ) :

)

R c

z b

y a

x

S      

ĐỊNH LÝ 1: trong hệ trục toạ độ

(Oxyz) ,mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R ,có phương trình là:

ĐỊNH LÝ2: trong hệ trục toạ độ (Oxyz)phương trình:

) 2 ( 0 2

2 2

2 2

2













 y z ax by cz d

x

với : a2  b2  c2  d  0

cm:

0 )

( )

( )

( )

2

d c

b a

c z

b y

a

 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2

Đặt: a 2  b 2  c 2  d  R 2

) 1 ( )

( )

( )

( )

2

Là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R

Là phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) ,bán kính R= a2  b2  c2  d

Thật vậy:

Vídụ: tìm tâm và bán kính mặt cầu:

0 5 6

2 4

: )

( S x2  y2  z2  x  y  z  

giải:

cách 1:phương trình mặt cầu đã cho tương đương

0 5 9 1 4 )

3 (

) 1 (

) 2

( x  2  y  2  z  2     

2 2

2

) 2 (       

vậy (S): có tâm I(2;1;-3) , bán kính R=3

cách 2: ta có:





 2 a  4



























3 1

2

c b a

ta có: a2  b2  c2  d 

3



vậy (S): có tâm I(2;1;-3) , bán kính R=3

0 9

5 )

3 ( 1

22  2   2   

3.Giao của mặt cầu và mặt phẳng:

trong hệ trục toạ độ (Oxyz):

cho mp : (  ) : Ax  By  Cz  D  0

cho mặt cầu: ( S ) :  x  a 2   y  b 2   z  c 2  R2

gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu (S) trên mp() ,thì:

IH là khỏang cách từ I đến mp ()

th1:nếu IH  R :

(S)

I

 H

R

()(S)= Khi đó () không có điểm chung với mặt cầu (S)

TH2: IH  R :

()(S)=H.Khi đó: () gọi là tiếp diện của mặt cầu



(S)

I

R

H

TH3: IH  R :

()(S) là một đường tròn tâm H và bán kính r  R2  IH2

phương trình đường tròn (C) là :



























2 2

2

) (

0 :

)

(

R c

z b

y a

x

D Cz

By

Ax C



r

H

R

I

S

Ví dụ: xét vị trí tương đối của mặt cầu và mp:

0 1

2 :

)

(

0 5

4 2

6 :

)























z y

x

z z

x z

y x

S



giải:

ta có:























2 1

3

c b

a





 2 a





 2 b





 2 c

6

 2 4

ta có: a2  b2  c2  d  32  (  1 )2  (  2 )2  5  9  0

3



 R

(S) có tâm I(3;-1;-2) ,bán kính R=3





 IH d ( I ;  ) 3 1 2 4 2 1 1  2 6











R

 3



Suy ra:() cắt mặt cầu (S)