Bài giảng Hình học 12 chương 3 bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

CHƯƠNG II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIANBài 1.. Hệ toạ độ trong không gian I.. Toạ độ của điểm và của vectơ.. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.. Phương trình mặt cầu... I -

CHƯƠNG II :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1 Hệ toạ độ trong không gian

I Toạ độ của điểm và của vectơ.

II Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.

III Tích vô hướng.

IV Phương trình mặt cầu.

I - TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ

i



j



và vuông góc với nhau từng đôi một gọi là

hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz trong

không gian, hay hệ toạ độ Oxyz.( Hình vẽ)

O

x

y

z

k

* O-gọi là gốc toạ độ

* Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz)(Oxz) đôi một vuông góc, được gọi là mặt mẳng toạ độ

* Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz*

Chú ý:

1

2

2



j

i

2

=

i j = j k = k i = 0

Hệ 3 trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt chứa các véc tơ

đơn vị

i , j , k

Tiết 25

2.Toạ độ của một điểm

Trong không gian Oxyz cho điểm M bất kỳ

Khi đó tồn tai duy nhất bộ số (x;y;z) thoả mãn

OM  x i  y j  z k

OO                            i               j               k

Ta gọi bộ ba số đó là toạ độ của điểm M

Kí hiệu M(x;y;z) hay M=(x;y;z) i

j

x

y

z

M

k

O

* Toạ độ điểm

O ?

3.Toạ độ của véc tơ Trong kh«ng gian Oxyz cho vÐct¬ u

u a i b j  c k

u   a b c

Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a;b;c) sao cho :

Ta gọi bộ số (a;b;c) là toạ độ của véc tơ đối với hệ toạ độ Oxyz

Ví dụ 1: Tìm toạ độ các véc tơ sau trong không gian Oxyz biết

a     i  j  k 

b    i   j k  

c   k    j

 a   7; 3;4 





?

i 



?

j 



?

k  

Nhận xét :Trong hệ toạ độ Oxyz toạ độ của điểm M là toạ độ

của

OM 

 ; ; 

M  x y z  OM                              xi y j zk                              

 2;5;1

 0; 8;5

1;0;0

i 



 0;1;0

j 



k  

?

0  0  ( 0 ; 0 ; 0 ).

II BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP

TOÁN VÉC TƠ

1) Định lý :

Trong hệ trục Oxyz cho

),

;

; (x1 x2 y1 y2 z1 z2 v

),

;

; (x2 y2 z2

v  k  R

a) u v (x1  x2; y1  y2; z1  z2),

)

)(

;

; (kx1 ky1 kz1 k R u

b) c)

),

;

; (x1 y1 z1

u 

2) Hệ quả

1 2 1 2 1 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

; ; 0

k R x kx y ky z kz

x y z

x y z

cùng phương

c) Nếu    

A x y z B x y z

AB OB OA x x y y z z

                                                

Toạ độ M là trung điểm của AB là:

Trong hệ trục Oxyz cho u (x1; y1; z1), v (x2; y2; z2 ),k  R

a)





















2 1

2 1

2 1

z z

y y

x

x v

u

b) v  0 ;u, v

Ví dụ 3 : Cho a   2;1; 5 ;   b   1; 3;4 ;   c    3;0;1 

u   a   b   c 

2 a   4;2; 10 ; 5   b    5;15; 20 ;7  c    21;0;7

Tìm toạ độ của

Giải

Vậy u     22;17; 23  

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A=(2;1;-3);

B=(4;2;5);C=(5;-1;7)

Ví dụ 4

1) CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

2) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành

Giải

1) Ta có AB  2;1;8 ; AC 3; 2;10 

2 1 8

( )

3  2 10

mà

;

AB AC

  

không cùng phương

Suy ra A;B;C không thẳng hàng nên là 3 đỉnh của một tam giác.

2) Ta gọi D=(x;y;z)

Giải

 2; 1; 3 ;   1; 3;2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Từ giả thiết ta có

x-2=1 y-1=-3 z+3=2

hay

x=3 y=-2 z=-1



KL: Vậy toạ độ điểm D=(3;-2;-1)

A

B D

C

Dặn dò

* Về nhà làm bài tập 1;2;3 trang 68 (SGK) và bài tập sách bài tập.

* Ôn tập và đọc tiếp phần tiếp theo.