mục tiêu: - Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS - tạo niề
Trang 1Buổi 3 : đường trung bình của tam giác, hình thang
a mục tiêu:
- Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang
- Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS
- tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao
b hoạt động dạy học:
I Nhắc lại một số kiến thức bài học:
1 Đường trung bình của tam giác
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
gọi là đường trung bình của tam giác
- E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung
bình của ABC
- Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung
điểm AC
- EF là đường trung bình của ABC thì EF // BC và EF = 1
2 BC
4 Đường trung bình của hình thang:
* Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình
thang gọi là đường trung bình của hình thang
+ Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm
AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình
của hình thang ABCD
+ Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC
+ MN là đường trung bình của hình thang ABCD
thì MN // AB // CD và MN = 1
2 (AB + CD)
II Bài tập áp dụng:
Bài 1:
Cho ABC đều cạnh a Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của AB và AC
a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao?
b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a
Cho HS tìm lời giải ít phút
Dự đoán dạng của tứ giác BCNM?
Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân
ta cần c/m gì?
Vì sao MN // BC
HS ghi đề bài Viết GT, KL, vẽ hình
HS suy nghĩ, tìm lời giải
HS dự đoán c/m: MN // BC và B = C
Từ GT MN là đường trung bình của ABC
A
Trang 2Vì sao B = C?
Từ đó ta có KL gì?
Chu vi hình thang cân BCNM tính như thế
nào?
Hãy tính cạnh BM, NC theo a
BC = ? vì sao?
Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh
theo a là bao nhiêu?
Bài 2:
Cho ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
AB, AC, BC Vẽ đường cao AH
a) C/m: MP = NH
b) Giả sử: MH PN
C/m: MN + PH = AH
Để C/m MP = NH ta cần C/m gì?
Từ GT suy ra MP có tính chất gì?
Ta cần C/m gì?
Gọi I = MN AH thì ta có điều gì? Vì
sao?
Hoàn thành lời giải?
MN // BC (1) và
MN = 1
2 BC (2)
ABC đều nên
0
B = C 60 (3)
Từ (1) và (3) suy ra
tứ giác BCNM là hình thang cân Chu vi hình thang cân BCNM là
PBCNM = BC +BM + MN + NC (4)
BM = NC = 1
2AB = 1
2 BC = 1
2a
BC = a, MN = 1
2 BC = 1
2a Vậy : PBCNM = BC +BM + MN + NC = a + 1
2a + 1
2a + 1
2a = 5
2a
Vẽ hình
H
N M
P
A
Tứ giác MPHN là hình thang cân hoặc C/m:
MP và NH cùng bằng một đoạn nào đó
MP là đường Tb của ABC nên MP // AC và
MP = 1
2AC
Ta cần C/m NH = 1
2AC
M là trung điểm AB và MI // BH ( do MN là
đường trung bình của ABC) nên I là trung
điểm AH và AI MN (Do AH BC )
ANH cân tại N NH = NA = 1
2AC Vậy: MP = NH
HS hoàn thành lời giải câu a
C
N M
B
A
Trang 3Khi MH PN thì MH AB? Vì sao?
AMH là tam giác gì? vì sao?
ABH là tam giác gì? vì sao?
Từ đó suy ra điều gì?
Bài 3:
Cho ABC Gọi I là giao điểm của các tia
phân giác trong kẻ IM AB; IN BC
và IK AC Qua A vẽ đường thẳng a //
MN; đường thẳng b // NK A cắt NK tại
E, b cắt NM tại D, ED lần lượt cắt AC,
AB tại P, Q Cmr: PQ // BC
Gọi giao điểm của BC và AD là L, của BC
và AE là H
Để c/m: AM = AK ta c/m gì?,
Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK
MNHA là hình gì? Vì sao
Ta suy ra điều gì?
KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có
điều gì?
Ta có thể KL gì về Mqh giữa ND, NE
trong ALH
DE có tính chất gì?
Bài 4:
Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt các tia phân giác của góc B và góc C
Khi MH PN thì MH AB vì NP // AB
AMH là tam giác vuông cân tại M vì có
0
AMH 90 và có MI vừa là trung tuyến vừa là
đường cao MAH = AHM 450
AHB 90 mà 0
AHM 45 nên 0
HBM 45 ABH vuông cân tại H
Suy ra BH = AH
Mà BH = BP + PH = MN + PH Vậy: MN + PH = AH
HS ghi đề, Vẽ hình,
H
K I
N
M
E Q
P D
A
AMI = AKI (C huyền – g nhọn)
AM = AK (1)
BMI = BNI (C huyền – g nhọn)
BM = BN (2)
CNI = CKI (C huyền – g nhọn)
CN = CK (3) MNHA là hình thang cân( vì có: MN//AH,
MAH = BMN = NHA = BNM )
NH = AM (4) KNLA là hình thang cân NL = AK (5)
Từ (1), (4), (5) NL = NH (6)
NE, ND là đường trung bình của ALH nên:
EA = EH (7) và DA = DL (8)
Từ (7) và (8) suy ra: DE là đường trung bình của ALH DE // LH PQ // BC
HS vẽ hình
Trang 4tại D và E Từ A vẽ AP BD; AQ CE
PQ lần lượt cắt BE, CD tại M và N
Tính MN, PQ theo a, b, c
Dự đoán xem MN có tính chất gì?
Hãy C/m BCDE là hình thang
Dự đoán và c/m dạng của BAD
Từ đó ta có điều gì?
PQ có tính chất gì?
Suy ra tính chất của MN
Hãy tính MN và PQ theo a, b, c
2 1
1
2 1
1
N M
E
Q P
D
A
Dự đoán: MN là đường trung bình của hình thang BCDE
Từ gt BCDE là hình thang vì có DE // BC
1 2
B = B mà B = D2 1 (so le trong – do BC // DE) B = D1 1 BAD cân tại A
mà AP BD PB = PD; AB = AD = c Tương tự CAE cân tại A Và AQ CE
QC = QE và AC = AE = b
PQ là đoạn thẳng nối trung điểm của hai
đường chéo hình thang BCDE nên PQ // AB
MN là đường trung bình của hình thang BCDE nên:
MN = BC + DE BC + AE + AD
2 2 = a + b + c
2
PQ = MN–(MQ + NP) = BC + DE
2 - BC
= AD + AE - BC
b + c - a 2
III Bài tập về nhà:
Bài 1:
Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, A = 900); AB = CD = 1
2AB
kẻ CH AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH
là F
a) Tứ giác ADCH là hình gì?
b) C/m : AC BC
c) EF = 1
2DC = 1
4AB
Bài 2:
Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình
thang thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy