Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Ta đã học:Tính đạo hàm của hàm số Fx: Fx’ =?. Bài toán mới: Hàm số nào có đạo hàm là fx trên K với K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn của R... Tính chất của nguyên hàm... Nguyên hàm

Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a, F(x) = x2

b, F(x) = cosx

c, F(x) = C ( C là một hằng số )

d, F(x) = ex

Câu 2: Hàm số nào sau đây có đạo hàm là

d, F(x) = x2 + 3

2

1 )

(

,

x

x F

x x

x F

b , ( )  ln 

c, F(x) = lnx









F’(x) = f(x) =2x F’(x) = f(x) = -sinx F’(x) = f(x) = 0

F’(x) = f(x) = ex

x x

f ( )  1

Ta đã học:

Tính đạo hàm của hàm số F(x): (F(x))’ = ?

Bài toán mới:

Hàm số nào có đạo hàm là f(x) trên K (với K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn của R

( ? )’ = f(x)

Hãy tìm F(x) sao cho (F(x))’= f(x)

F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Trên

§2.

§3.

§ 1.

I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

2 Tính chất của nguyên hàm

I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R

Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K.

ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên

K

Hàm số F(x) được gọi là

nguyên hàm của hàm số f(x)

trên K nếu F’(x) = f(x) với

mọi x  K

Ví dụ: Hàm số nào sau đây

là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx trên R?

A, F(x) = 1 – 2sinx

B, F(x) = 2sinx

C, F(x) = cos2x

D, F(x) = sin2x

b, Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số:

d,Hàm số F(x) = 2sinx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2cosx Trên R vì (F’(x)) = (2sinx)’ = 2cosx trên R

c, Hàm số F(x) = tanx là nguyên hàm của hàm số

  1 ,  0; 

x

Ví dụ 1

a, Hàm F(x) = x2 nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R

vì F’(x) = (x2)’ = 2x trên R

Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải là

nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R?

Câu 2: Hãy tìm 3 nguyên hàm khác của hàm

số f(x) = 2x trên R.

Định lí 1:

Nếu F(x) là một nguyên hàm

của hàm số f(x) trên K thì

hàm số G(x) = F(x) + C cũng

là một nguyên hàm của f(x)

trên K

Định lí 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm

của hàm số f(x) trên K thì mọi

nguyên hàm của f(x) trên K

đều cĩ dạng F(x) + C

( với C là hằng số.)

Ví dụ: Hàm số nào sau đây khơng phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên R?

a, F(x) = x2

b, F(x) = x2 + 5

c, F(x) = x2 - 2

d, F(x) = x2 + 2x

a, F(x) = x2

b, F(x) = x2 + 5

c, F(x) = x2 - 2

•Ch ứng m inh định ly ù:

(F(x )+C )’= F’( x) + (C )’

= f(x ) + 0

= f(x )

V ậy : F(x ) + C cu õng l à m ột

ng u ye ân h àm cu ûa f(x )

F’(x )=f(x )

Ta ch ư ùn g mi n h ( F(x ) + C )’=f(x ) Địn h l í1:

Nếu F(x) là một ng uy ên hàm của h àm số f(x) trên K t hì hàm s ốG( x) = F(x) + C cũn g l à m ột ng uy ên hàm của f(x )

t rên K ( với C l àhằn g số.)

Định lí 1:

Nếu F(x) là một nguyên

hàm của hàm số f(x) trên K

thì hàm số G(x) = F(x) + C

cũng là một nguyên hàm của

f(x) trên K(với C là hằng số)

Định lí 2:

Nếu F(x) là một nguyên

hàm của hàm số f(x) trên K

thì mọi nguyên hàm của f(x)

trên K đều có dạng F(x) + C

( với C là hằng số)

Họ nguyên hàm (hay tích phân bất định) của f(x):

 f ( x ) dx  F ( x )  C

C x

xdx



C x

dx

 cos 12 tan

Ví dụ:

Chú ý:

f(x)dx = d(F(x) + C)

2 Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1

'

 f x dx = f x + C Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm

Ví dụ 3

Tính chất 2

 f x dx =  f x dx

 (cos x)' dx   (  sin x) dx  cos x  c

Chứng minh:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có :

'

'( )

Theo t/c 1 ta có :

 

'

1

( )

k f x dx k F x dx

k

1

k F x C F x kC C R k

 

      

 

 

Vì k 0 nên

 f x dx =  f x dx

Tính chất 3:

         

 f x g x dx = f x dx   g x dx

Tự chứng minh t/c này.

Ví dụ 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số:

  3sin 2 ,  0; 

f x x x

x

Giải:

Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có :



 

x

sin

3   3 cos x  2 ln x  C

Mệnh đề nào sau đây là sai

 e dx  e  C

.

A x x

 sin xdx  cos x  C

.

C

.

B

   C

2

x xdx

.

D

2

QUA BÀI HỌC CẦN NẮM ĐƯỢC

- Định nghĩa nguyên hàm của một hàm số trên K

- Phân biệt rõ một nguyên hàm và họ nguyên hàm của một hàm số (F(x) và F(x) + C )

- Nắm được 3 tính chất của nguyên hàm

Về nhà:

- Bài tập 1 sgk

- Đọc trước bài mới