Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, mặt phẳng SAB vuụng gúc với đỏy, tam giỏc SAB cõn tại S và SC tạo với đỏy một gúc 600.. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết
Trang 1Ghộ thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyờn để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
Cõu 1(2,0 điểm) Cho hàm số 1 4 2 2 1
4
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trỡnh
x4 8x2 4m 4 0
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) x 1 x
b) (sinx + cosx)2 = 1 + cosx
Cõu 3 (1,0 điểm)
a) Tỡm phần thực và phần ảo của số phức: 3 4 (3 5 )(6 )
3 2
i
i
b) Tỡm hệ số của x9 trong khai triển (2 - 3x)2n, trong đú n là số nguyờn dương thỏa món:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2n 1 4096
Cõu 4 (1,0 điểm).Tớnh tớch phõn I x x dx
2
0
1 sin 3 cos
Cõu 5 (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, mặt phẳng
(SAB) vuụng gúc với đỏy, tam giỏc SAB cõn tại S và SC tạo với đỏy một gúc 600 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng BD và SA theo a
Cõu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC nội tiếp đường
trũn (T) cú phương trỡnh (x 1 )2 (y 2 )2 25 Cỏc điểm K(-1;1), H(2;5) lần lượt là chõn đường cao hạ từ A, B của tam giỏc ABC Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết rằng đỉnh C cú hoành độ dương
Cõu 7 (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;2;1),
7 10 11
B
và mặt cầu (S): x12 y22 z32 4 Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp xỳc với mặt cầu (S) Xỏc định tọa độ của tiếp điểm
Cõu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh:
Cõu 9 (1,0 điểm) Cho 3 số thực dương x y z, , thay đổi, thỏa món x y 1 z Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
14
P
x yz y xz z xy z xy x y
- Hết -
đề thi thử thpt quốc gia lần 2 năm 2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
SỞ GD & ĐT THÁI NGUYấN
TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN
Trang 2Ghộ thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyờn để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
1
Hướng dẫn chấm thi thử kỳ thpt quốc gia lần 2 năm 2015
môn Toán
Lưu ý khi chấm bài:
- Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một cỏch giải bao gồm cỏc ý bắt buộc phải cú trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thỡ khụng cho điểm bước đú
- Nếu học sinh giải cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ cỏc ý trong đỏp ỏn để cho điểm
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc phần sau cú sử dụng kết quả sai đú khụng được điểm
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau
- Trong lời giải cõu 5, nếu học sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ sai hỡnh thỡ khụng cho điểm
- Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn
Câu 1
Cho hàm số 1 4 2 2 1
4
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh
x4 8x2 4m40
a, *TXĐ: D Ă
* Giới hạn: lim ; lim
0,25
* Chiều biến thiờn:
2
x
x
- Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng 2;0 và 2;
- Hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng ; 2 và 0;2 0,25
- Hàm số đạt cực đại tại x CĐ = 0, y CĐ y 0 1
- Hàm số đạt cực tiểu tại x CT 2, y CT y 2 5
* Bảng biến thiờn
x 2 0 2
y' - 0 + 0 - 0 +
y
-1
-5 -5
0,25
a, 1,0
b, 1,0
* Đồ thị:
0,25
Sở giáo dục và đào tạo thái nguyên
Trường thpt lương ngọc quyến
Trang 3Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
2
b) Ta có: 4 8 2 4 4 0 1 4 2 2 1
4
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường
- Nếu m > -1 hoặc m = - 5 thì d cắt (C) tại 2 điểm nên phương trình (*) có 2
nghiệm
- Nếu m = - 1 thì d cắt (C) tại 3 điểm nên phương trình (*) có 3 nghiệm
- Nếu m thì d cắt (C) tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (*) có 4 ( 5; 1)
nghiệm phân biệt
- Nếu m < -5 thì d không cắt (C) nên phương trình (*) vô nghiệm 0,5
C©u 2 Giải các phương trình sau: a) x 1 x
b) (sinx cosx)2 1cosx
a) Đk: x0
Đặt t 7 , t x 0
t 2 t
( thỏa mãn t > 0 ) 0,25
Với t = 7 7 x 7 x 1
a, 0,5
b, 0,5
b) Ta có: (s inx cosx)2 1cosx 12 sin xcosx 1cosx
Trang 4Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
3
cosx 0
1
s inx=
2
2
6 5
6
Vậy: phương trình có nghiệm
2
6 5
6
0,25
C©u 3
a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 3 4 (3 5 )(6 )
3 2
i
i
b) Tìm hệ số của x 9 trong khai triển (2 - 3x)2n , trong đó n là số nguyên dương
2n 1 2n 1 2n 1 2n n 1 4096
C + + C + + C + + + C ++ =
a) Ta có
2
2 2
(3 4 )(3 2 )
18 3 30 5
3 2
298 333
13 13
i
Vậy phần thực: 298
13
, phần ảo: 333
b) Ta có
1 + x n+ = C n+ + C n+ x+C n+ x + + C n n++ x n+
0 = C n+ - C n+ + C n+ - C- n n++ (2) Lầy (1) trừ (2), ta được : 2 1 ( 1 3 5 2 1)
2 n+ = 2 C n+ + C n+ + C n+ + + C n n++
2 1 3 5 2 1
2 n = C n+ + C n+ + C n+ + + C n n++
Từ giả thiết ta có 2 2 12
a) 0,5
b) 0,5
Do đó ta có ( )
12
12 0
k
=
- = å - ( 0 ≤ k ≤ 12, k nguyên)
hệ số của x9 là : - 9 9 3
12 3 2
C©u 4 Tính tích phân I x x dx
2
0
1 sin 3 cos
.
1,0
3
2 cos
1 sin
0,25
Trang 5Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
4
2
; 1
2
1
3
1
2 3 3
2 3
2
u
Tính được
9
14
I
0,25
C©u 5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc
60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD và SA theo a.
Gọi H là trung điểm AB Do SAB cân tại S,suy ra SHAB, mặt khác
(SAB)(ABCD)
60
Ta có SH CH tan 600 CB2 BH2 tan 600 a 15
3
15 4 4 15 3
1
3
1.0
Qua A vẽ đường thẳng song song với BD Gọi E là hình chiếu vuông góc
của H lên và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó (SHE) HK suy
ra HK(S,)
Mặt khác, do BD//(S,) nên ta có
; , 2 ( ;( , )) 2
d BD SA d BD S
E
k
S
Trang 6Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
5
45
EAH DBA nên tam giác EAH vuông cân tại E, suy ra
2 2
a AH
2
15
31 15
2
a a
HE HS
a
Vậy: d BD;SA 2 15a
31
C©u 6
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) có phương trình (x 1 ) 2 (y 2 ) 2 25 Các điểm K(-1;1), H(2;5) lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B của tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hoành độ dương
(T) có tâm ( 1 ; 2 ) Gọi Cx là tiếp tuyến của (T) tại C Ta có
2
HCxABC Sđ»AC(1)
90
AHB AKB nên AHKB là tứ giác nội tiếp ·ABC·KHC(cùng bù với góc·AHK) (2)
Từ (1) và (2) ta có ·HCx·KHCHK // Cx
Do đó IC có vectơ pháp tuyến là KH ( 3 ; 4 ), IC có phương trình 3x y4 11 0
Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
25 ) 2 ( ) 1 (
0 11 4 3
2
2 y x
y x
5
3
; 1
5
y
x y
x
Do x C 0 nên C( 5 ; 1 )
0,25
1,0
Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là CH ( 3 ; 6 ) nên AC có
phương trình 2x y 9 0
Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
25 ) 2 ( ) 1 (
0 9 2
2
2 y x
y x
1
5
; 7
1
y
x y
x
(loại) Do đó A( 1 ; 7 ) 0,25
A
H
K
I
x
Trang 7Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
6
Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là CK ( 6 ; 2 ) nên BC có
phương trình x y3 2 0
Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
25 ) 2 ( ) 1 (
0 2 3
2 2
y x
y x
1
5 , 2
4
y
x y
x
(loại) Do đó B( 4 ; 2 )
C©u 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;2;1),
7 10 11
B
và mặt cầu (S): x12 y22 z32 4 Chứng minh rằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu (S) Xác định tọa độ của tiếp điểm.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), R 2
Phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB đi qua M 1; 2 7;
, có vtpt
uuur
là: 2x + 2y – z + 3=0 (P)
0,25
Ta có: d(I;(P))2R nên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB tiếp xúc
Phương trình đường thẳng d đi qua I nhận véc tơ nr(P) 2;2; 1 làm vt chỉ
phương là:
x 1 2t
y 2 2t
0,25
1,0
d(P) H hệ pt:
x 1 2t
2x 2y – z
11 H
3
; ;
0
Vậy: tọa độ tiếp điểm là H 1 2 11; ;
3 3 3
1,0 Lời giải: ĐKXĐ: x 0
Trang 8Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
7
0,25
+) Nhận thấy x 0 không thỏa mãn hệ phương trình do đó
2 2
f t t t t t f t t suy ra hàm số
+) Từ (*) và (**) nhận được 2 y 1
x
thế vào phương trình (2) trong hệ ta được
2
1
x
+) Ta thấy hàm số 3 2
g x x x x x đồng biến trên khoảng 0; 0,25
+) Lại có g 1 0 suy ra phương trình 3 2
g x x x x x có nghiệm duy nhất 1 1
2
x y
Vậy: Hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất ; 1;1
2
x y
C©u 9
Cho 3 số thực dương x y z, , thay đổi, thỏa mãn xy 1 z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
14
P
x yz y xz z xy z xy x y
Ta có: x y z , , 0 nên
Lại có: 1 xy x y1 x1 y và 2 2
2xyx y dấu = xảy ra khi x y 0,25
1,0
Nên ta được
14
1 1
14
P
Trang 9Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật những tài liệu hay, mới nhất
8
2
2 2
14
14
14
14
1
P
P
P
P
P
57
z z
0,25
Xét hàm
3 2
2
z
2
3
z
3
f z z
ta nhận được
1;
5 53 min
z f z f
Vậy GTNN của P bằng 53
8 đạt được khi 1, 5