Từ một điểm O cố định ta vẽ hai tiếp tuyến đến những đường tròn thay đổi tâm C sao cho hai tiếp tuyến đó luôn vuông góc với nhau.. a Tìm tập hợp tâm của những đường tròn C đi qua một điể
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI: 11
NĂM 2015 Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này gồm có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:
Câu 2 (4 điểm) Cho dãy số a n thỏa mãn:
1
4
a
Tìm lima n
Câu 3 (4 điểm) Từ một điểm O cố định ta vẽ hai tiếp tuyến đến những đường tròn thay
đổi tâm C sao cho hai tiếp tuyến đó luôn vuông góc với nhau
a) Tìm tập hợp tâm của những đường tròn (C) đi qua một điểm A cố định khác với O b) Cho đường tròn có tâm C chạy trên một đường thẳng ∆ cố định không đi qua O Tìm tập hợp các tiếp điểm T và T’ của những đường tròn đó với các tiếp tuyến vẽ từ O
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau đây:
và
Câu 5 (4 điểm) Tồn tại hay không hai số nguyên dương phân biệt p, q sao cho q nn chia hết cho pn n
với mọi số nguyên dương n ?
Hết
-Giáo viên ra đề
Phạm Thị Lan (DĐ: 0982 217 044 )
ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 11
Trang 2Câu Nội dung chính cần đạt Điểm
4,0
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có:
2x 5xy y y xy 2y 4y xy 0
Chia cả hai vế của PT cho y2, ta có:
2
2 x 5 x 1 x 2 4 x 0
1.0
+ Đặt x t t 2; 4
y ta có phương trình:
2
2 ( 3) 2( 2 1) (1 2 1) 0
t
1.0
Với t 2; 4 thì 2 2 1 0
t t
Với t=3 suy ra x=3y thay vào PT (1): 2 2 1 1 3
y y x
1.0
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: 3 ; 1
2 2
0.5
0,
n
a n Từ giả thiết ta có
2 2 1
2
1
n n
n
Với mỗi n *, đặt n 1 14
n
y a
ta có y 1 1 và
2
n
n
1,0
Do đó
n
2 2
2 2
n
n n a
n n
Trang 3Câu 3
"
'
I
E
D
C T'
A
a)Tứ giác OTCT’ có 3 góc vuông và OT = OT’ nên nó là một hình vuông
Gọi R là bán kính của đường tròn (C), ta có CO = R 2
2 2
CO R và ,
4
OC OT
Vậy tâm C ở trên đường tròn tâm I là tập hợp những điểm có tỉ số khoảng
cách tới A và O bằng 2
2 Đường kính DE của đường tròn tâm I đi qua các điểm A và O tạo nên một hàng điểm điều hòa; ta có (OADE ) 1
0,5
0,5
Ngược lại lấy điểm C’ bất kỳ trên đường tròn tâm I, ta có ' 2
C A
C O
Từ O kẻ hai tiếp tuyến OT1 và OT’1 ta có C’T1 = C’A = OT’1 Vậy
OT1C’T’1 là hình vuông
Vậy tập hợp các điểm C là đường tròn tâm I với I là trung điểm của đoạn
DE trong đó D, E, O, A là một hàng điểm điều hòa
0,5
0,5
2
OT OC và ( , )
4
OC OT
.Vậy T là ảnh của C trong phép đồng dạng
tâm O tỉ số 2
2
k , góc quay
4
Điểm C chạy trên đường thẳng nên điểm T chạy trên đường thẳng ' là
ảnh của trong phép đồng dạng trên
0,5
0,5
Trang 4Với điểm T’ ta dùng phép đồng dạng tâm O tỉ số 2
2
k , góc quay
4
ta tìm được tập hợp các điểm T’ là đường thẳng ''ảnh của trong phép
đồng dạng , 2,
0,5
0,5
Cho thay vào (1), có:
1,0
Thay vào (1) được
1,0
Trong (2) thay y = x :
Vậy với thì
0,5
Câu 5 Giả sử tồn tại hai số p, q nguyên dương phân biệt sao cho q nn chia hết
cho pn n
với mọi số nguyên dương n, thế thì qn n
> pn n
Giả sử a là một số nguyên tố lớn hơn q và n là số tự nhiên thỏa mãn
( 1)( 1) 1
n p a Khi đó n = (p+1)a –p n p (mod a) (1)
0,5
0,5
Vì p < q < a nên (p, a) =(q, a)=1 Theo định lý nhỏ Fermat, ta có
) (mod 1 )
(mod
p a p a p(p 1 )(a 1 ) 1 p(mod a).
Do đóp n p (mod a)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra p n n a hay p n n a
0 (mod ) (4)
0,5
0,5 Chứng minh tương tự, ta được q n q a và q n n a
Từ (1) và (3) suy ra q n n q p (mod a)
Từ (4) và (5) suy ra (q p a ) Điều này không thể sảy ra vì p q a
Trang 5Vậy không tồn tại hai số nguyên dương phân biệt p, q sao cho q nn chia hết cho p nn với mọi số nguyên dương n
1