Toán 11 đề thi , đáp án học sinh giỏi các trường chuyên, trường chuyên HDC hai phong

Tương tự A, D, F cũng thẳng hàng.. Tương tự suy ra điều phải chứng minh.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

Trường THPT Chuyên Trần Phú

KỲ THI HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ

Năm học 2014 – 2015

ĐÁP ÁN ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN 11

Bài 1:

Rõ ràng nếu xyz 0 thì hệ có nghiệm 0;0;0  (1)

Xét khi xyz 0

3

 

 

Khi 1

2



 

  thì

2cos3 2cos9 2cos 27

Nên

   

1 1

2 2

, 0;1; ;13 13

, 1;2; ;13 \ 7 14

k k k

k k















(2)

Ngoài ra rõ ràng hệ có tối đa 27 nghiệm nên (1) và (2) là tất cả nghiệm của hệ

Bài 2:

Ta chứng minh quy nạp

2

1

1 n

n

n    

Rõ ràng khẳng định đã đúng với u 1

Giả sử đã có

2

1

1 k

k

k     , ta chứng minh  2

1

1

2

k



Thật vậy

 2 1

1 1

2

k

k







 2 2

1 1

k k

k

k







 Vậy ta có

2

1

n

n        n 

Bài 3:

Phép vị tự tâm E biến (O) thành (O’) sẽ biến B

thành D nên B, D, E thẳng hàng

Tương tự A, D, F cũng thẳng hàng

Gọi AEBF C , do D là trực tâm tam giác

ABC nên CDAB CD d

Khi đó O’ là trung điểm DM và C D N P  , , ,  1

'

Do đó theo Menelaus cho tam giác CDM suy ra

A, O’, P thẳng hàng

Tương tự suy ra điều phải chứng minh

Bài 4:

Đặt   k  , 0,deg   deg  

P n

P x

-) Nếu k  0 Loại

M

N

C

P

D

F E

O

-) Nếu 2

2 1

1

2

k

k

n





 





-) Nếu 1 lim 12 1, lim 2 1 12 2 1 1 0 1 1 2

-) Nếu P x   1 2x

Đẳng thức 1 2  1 2n  n 1 21 2n

-) Nếu P x   1 2x

Chứng minh đẳng thức n  n 1 2n đúng với 2  2  1 0,  1

Thật vậy, xét   n n 1 2n  2 n n 1 n n 1 n 1

1

Kết luận P x   1 2x

Bài 5:

-) Rõ ràng a20151;3;5; ;2015

-) Khi a2015 2k 1,k 0,1007 thì a2015  a1 2k nên trong 2014 hiệu a n1 a n có

1007 k hiệu bằng 1, 1007 k hiệu bằng 1

Số cách chọn 1007 k hiệu bằng 1 là 1007

2014

k

-) Nếu trong dãy  a n n20151 xuất hiện số 0 thì a2015 2k 1,k 0,1006

Xét vị trí của số 0 đầu tiên, giả sử là 1, , ,a2 a n1,0,a n1, ,a2015 Xét dãy số  b n n20151



như sau 1,a2, ,a n1,0,a n1, ,a2015 Khi đó mỗi dãy 1, , ,a2 a2015 xuất hiện số 0

mà a n1 a n   1 n 1,2014 sẽ tương ứng với một dãy 1, , ,b2 b2015 bất kỳ mà

1 1 1,2014

b b   n

Do b2015  b12k 2 nên trong 2014 hiệu b n1 b n có 1008 k hiệu bằng 1,

1006 k hiệu bằng 1

Số cách chọn 1008 k hiệu bằng 1 là 1008

2014

k

-) Do đó số dãy thỏa mãn đề bài với a2015 2k 1,k 0,1006 là 1007 1008

2014 2014

với a2015 2015 là 1

-) Vậy số dãy thỏa mãn là 1006 1007 1008  1007

0

1

k



- Hết

-Người ra đề

Lê Đức Thịnh (0986 530 513)