PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN
Năm học 2013-2014 Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu1(5điểm)
a)Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 − 3x3 + 3x2 +ax b+ chia hết cho đa thức B x( ) =x2 − + 3x 4
b)Cho đa thức Q= + (x 3)(x+ 5)(x+ 7)(x+ + 9) 2014 Tìm số dư trong phép chia đa thức Q
cho đa thức 2
x + x+
Câu2 (2điểm)
Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ Với a b; là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2
M
xy x y
+ với x y; dương và x+ =y 1.
Câu 3 (6 điểm)
Giải phương trình : a)
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
+ +
+ + +
+ +
x
b) x− − 1 2 x− + 2 3x− = 3 4
Câu 4 (7điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Chứng minh :
a) BD.CE =
4
2
BC
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED
Trang 2
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Năm học 2013-2014
Môn: Toán 8
Câu1 (5điểm)
a)(3điểm)
Ta cú: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 (2điểm)
ĐểA x B x( ) ( ) M thì { 3 0 { 3
b− = b= + = ⇔ =− (1điểm)
b)(2điểm)
Ta có Q= (x2 + 12x+ 27)(x2 + 12x+ 35) 2014 +
(0,5điểm)
Đặt 2
t =x + x+ ta có Q= − (t 5)(t+ + 3) 2014
(0,5điểm)
Lập luận để tìm số dư: chính là số dư trong phép chia :
2
Q= −t t+ + = − +t t cho t.⇒dư 1999 (1điểm)
Câu 2 :(mỗi ý 1 điểm)
Ta có: 2 2
2
a + ≥b ab với mọi a,b ⇔ a2 + +b2 2ab≥ 4ab⇔ + (a b) 2 ≥ 4ab(1)
(0,5điểm)
Vì a,b dương ⇒ a b+ > 0; a b> 0 nên từ (1) suy ra: 4
.
a b
a b+ ≥a b
+ hay
a b+ ≥ a b
+ Dấu “=” xẩy ra ⇔ a = b (0,5điểm)
2 2
M
xy xy x y
+
Do x; y dương và x + y =1 ⇒ 1 = (x y+ ) 2 ≥ 4xy ( được suy ra từ (x – y)2 ≥0)
xy
xy
⇔ ≤ ⇔ ≥ Dấu “=” xẩy ra ⇔ x = y = 1
2 (1)
Trang 3Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên: 2 2 2 2 2
(0,5điểm)
2
2
xy x= +y ⇔ = =x y
Vậy từ (1) và (2) ta có : M ≥ + = 2 12 14
Giá trị nhỏ nhất MinM = 14 đạt được khi x = y = 1
2 (0,5điểm)
Câu 3 : (2điểm)
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5);
x2+11x+30 =(x+6)(x+5);
ĐKXĐ : x≠ − 4 ;x≠ − 5 ;x≠ − 6 ;x≠ − 7 (0,5điểm)
Phương trình trở thành :
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
+ +
+ + +
+ +
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
= +
− +
+ +
− +
+ +
−
x
18
1 7
1 4
+
−
x
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Vậy x=-13; x=2 (0,5điểm)
b) x− − 1 2 x− + 2 3x− = 3 4 (II)
+ Nếu x <1 ta có (II) ⇔ - 2x + 6 = 4 ⇔x =1 (loại)
+ Nếu 1≤x<2 ta có (II) ⇔0.x +4 = 4 Phương trình nghiệm đúng với 1≤x<2 (0,5điểm) +Nếu 2≤x<3 ta có (II) ⇔ - 4x = - 8 ⇔ x = 2 ( thỏa mãn)
+ Nếu 3≤x ta có (II) ⇔2x = 10 ⇔ x = 5 ( thỏa mãn)
Vậy nghiệm của (II) là x =5 hoặc 1≤x≤2
(0,5điểm)
Câu 4 (7 điểm)
3 2 1
2 1
x
y
E D
B
A
Trang 4(0,5điểm) a)
Trong tam giác BDM ta có: 0 1
1 120 ˆ
D = −
Vì Mˆ2=600 nên : 0 1
3 120 ˆ
M = − (1 điểm) Suy ra Dˆ 1 =Mˆ 3 (0,5điểm) Chứng minh ∆BMD : ∆CEM (1) (1 điểm)
Suy ra
CE
CM BM
BD = hay BD.CE=BM.CM (0,5 điểm)
Vì BM=CM=
2
BC
nên BD.CE=
4
2
BC
(0,5 điểm)
b) Từ (1) suy ra
EM
MD CM
BD = mà BM=CM
nên
EM
MD BM
BD = (0,5 điểm) Chứng minh ∆BMD : ∆MED (c.g.c) (1 điểm) suy ra Dˆ1 =Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE (0,5 điểm) Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED (1 điểm)