a Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.. b Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành c Chứng minh AQ vuông góc với DP d Chứng minh S ABCD 6S ABC
Trang 1UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 4
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y)
b) x2 – 12x + 35
c) x3 + 2x2 + 2x + 1
Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính
a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)
b)
3
x
c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2
Bài 3:( 2,0 điểm)
a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1 Chứng minh rằng:
A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
b) Tính B = 2 1 2 2 1 2 4 1 2 8 1 2 1006 1 1
c) Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Cho abc = 1 Rút gọn biểu thức: M = a
bc b ac c
b) Cho a +b +c0 và a3 + b3 + c3 = 3abc Tính N =
2013 2013 2013
2013
a b c
a b c
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD cóA D = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D lên AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vuông góc với DP
d) Chứng minh S ABCD 6S ABC
-H
Trang 2ẾT -UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Bài 1
(1,5 đ)
b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5)
= (x – 5)(x – 7)
0,25 0,25 c) = x3 + 1 + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1)
= (x + 1)(x2 – x + 3)
0,25 0,25
Bài 2
(1,5 đ)
a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng
Kết quả (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1
0,25 0,25
b)
2
2
4
:
.
x
x x
x
0,1 0,2
0,2
Bài 3
(2,0 đ)
a) Đặt x = a2 +a +1 a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a N và a > 1 nên a là số tự nhiên Ngoài ước là 1 và chính
A, nó còn có thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số
0,25 0,25
2
b B
0,75
c) Vì đa thức x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng
r(x) = ax + b
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2)
với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3)
Từ (2) và (3) b = 0 và a = - 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: – 4x
0,25 0,25
0,25
Bài 4
c
ac c , nhân cả tử và mẫu của
1
b
bc b với a
Trang 3ta có:
a
1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1
M
a bc b ac c abc ab
0,5 0,5 B) a3 + b3 + c3 = 3abc
a b c abc
a b ab a b c ab a b abc
a b c ab a b c
a b c a ab b ac bc c ab a b c
a b c a b c ab ac bc
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0)
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 0 a, b; (b – c)2 0 b,c; (c – a)2 0 a, c
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a, b,c
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
a = b = c
Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*)
Thay (*) vào N ta có:
3
N
a
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5
(3,0đ)
Hình vẽ
a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có A=900 nên ABMD là hình vuông
+/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
lại có BDM = 450 BMD vuông cân tại B
0,5 0,25 0,25
Trang 4b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
tứ giác DMPQ là hình bình hành
0,25 0,25 c) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP
AQDP
0,25 0,25 Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) S ABC S AMC
AMC
2AD MC 4AD
ABCD ABMD BCM
S S S AD AD AD
2
2
3
1
4
ABCD
ABCD ABC ABC
AD
S
S AD
Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm
0,25 0,25 0,25 0,25
