Xác định số hạng tổng quát của dãy số huỳnh thanh luân

1.2 Xác lập phương pháp Phương pháp sai phân.. Tức là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của 1.. VD: Giải lạ

1 D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè

1.1 Bµi tËp cô thÓ

( ) ( ) ( )

0

1

0

1 0

1 0

1

0

1

1;

3

2;

2

2

5;

kh¸c hÖ sè nªn ta vÉn gi÷ nguyªn bËc:

u

CSC

u

CSN

u

u

u

u

−

−

−

−

=



→





=



→





= −



→ − = − +





=





=

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1

2

1 1

0

1

1

1

1

7;

cïng hÖ sè nªn ph¶i n©ng bËc:

n

n

u

u

−

−

−

−

−

−



=







=







( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

8;

9;

11;

1

12;

n

u

−

























13;

14;

15;

n

n

n

u

=

























1.2 Xác lập phương pháp (Phương pháp sai phân)

1.2.1 Loại thuần nhất: 1 2

, , ,

k

n k n k k n

x x x

a x + a x + ư a x n







(1)

Đầu tiên giải phương trình đặc trưng:

( )

1

k

a λ +a λ ư + +a = Các trường hợp xảy ra là:

(i) Nếu ( )* có k nghiệm thực phân biệt λ λ1, , ,2 λ k thì nghiệm của (1) là

1 1n 2 2n n, 1,2,

( với c c1, , ,2 c k là các hằng số )

(ii) Nếu ( )* được viết lại như sau

1

a λ +a λ ư + +a =a λưλ λưλ λưλ λưλ = , với các λ λ λ1, 2, 3, ,λ là khác nhau đôi một Tức là q ( )* có λ1 là nghiệm bội s, và λ2 là nghiệm bội h, và

λ3, ,λ q là các nghiệm đơn, và s+ +h (qư2)= , thì (1) có nghiệm là k

3 3n n 11 12 1 s 1n

x =c λ + +c λ + c +c n+ +c nư λ +

21 22 2h h 2n, 1, 2,

( với c11,c12, ,c1s,c21,c22, ,c2h,c3, ,c là hằng số) q

(iii) Nếu ( )* có k-2 nghiệm phân biệt λ λ1, , ,2 λ kư2 và

(cos sin )

,

r=λ = a +b ϕ=Arg λ )

là nghiệm phức thì số phức liên hợp λ k = ưa bi=r(cosϕưisinϕ) cũng là nghiệm của ( )* Khi đó (1) có nghiệm là

1 1n 2 2n 2 n 2 n cos sin , 1,2,

x =c λ +c λ + cưλư +r A n ϕ+B n ϕ ∀ =n

( với c c1, , ,2 c kư2, ,A B là các hằng số )

(4i) Nếu ( )* có s nghiệm thực phân biệt λ λ1, , ,2 λ s và

(cos sin )

,

r=λ = a +b ϕ=Arg λ )

là nghiệm phức bội h, thì số phức liên hợp

(cos sin )

cũng là nghiệm phức bội h của ( )* Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là

= 1 1n+ 2 2n+ n+

+ n 1+ 2 + + h 1 cos + 1+ 2 + + h 1 sin ,∀ =1,2,

( với c c1, , ,2 c kư1, ,A A1 2, ,A B B h, ,1 2, ,B h là các hằng số )

Tức là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1)

VD: Giải lại các bài tập trong phần trước

1.2.2 Loại không thuần nhất: 1 2

, , ,

k

n k n k k n n

x x x

a x + a x + ư a x f n







(2)

B1: Tìm nghiệm của loại thuần nhất tương ứng Gs: 1 1n 2 2n n, 1,2,

x =c λ +c λ + c λ ∀ =n

1 1n 2 2n n, 1,2,

x =c n λ +c n λ + c n λ ∀ =n vào (2) để xđ các hàm c n i( )

B3: Nghiệm của (2) là: *

x = +x x

Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm the

Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm theo hướng: Làm nháp bằng phương o hướng: Làm nháp bằng phương

pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.

pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp

VD:

Tìm { }x n n+∞=1 sao cho x1=0, x n+1= +x n sinnx,∀ =n 1, 2,

Nháp: Giải phương trình đặc trưng λư =1 0 tìm được λ=1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng *

x = +x x Trong đó x n =cλn = ∀ =c, n 1, 2, ( c là hằng số

sẽ tìm sau), và *

n

x được tìm như sau:

Ta xem c là một hàm theo n và tìm *

x =c Thay *

x =c vàox n+1 = +x n sinnx,∀ =n 1, 2, , ta được

1 sin , 1, 2,

c+ = +c nx ∀ =n

1 sin , 1, 2,

Suy ra

2 1 sin

c ư =c x,

3 2 sin 2

c ư =c x,

1 sin( 1)

c ưcư = nư x

Cộng lại ta được

1 sin sin 2 sin( 1)

n

x = =c c + x+ x+ + nư x ∀ =n

Vì *

x =c thõa x n+1= +x n sinnx,∀ =n 1, 2, nên c1= =x1 0 Vậy

*

n

x = x+ x+ + nư x ∀ =n

2

x = thì *

0 0, 1, 2,

2

x ≠ thì với mọi n=1, 2, , ta có

sin 2

n

x

2 sin 2

x

=

( 2) sin sin

cos cos

ư

ư

Vậy

( 2) sin sin

4 4 , 1, 2,

sin 2

n

x

ư

Vì x1=0 nên

sin sin sin

1

2 4 sin 2 cos

x

ư

( 2) sin sin

2 4

sin 2

n

x

x

ư

Lời giải: Ta sẽ chứng minh với mọi n=1, 2, thì

( 2) sin sin

tan

2 4

sin 2

n

x x

x

ư

bằng phương pháp quy nạp

Theo giả thiết ta có

1

sin sin sin sin

2 sin cos sin

x

vậy (1) đúng khi n=1

Giả sử (1) đúng khi n=k, tức là

( 2) sin sin

tan

2 4

sin 2

k

x x

x

ư

khi đó

1

( 2) sin sin

2

x

x

+

ư

( 2) sin sin sin sin

tan

2

kx x

x

( 1) ( 1) sin sin

tan

2

x

x

Bài toán được giải xong

Giải lại các bài phần trước

1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn

Định nghĩa Dãy số { }x n n+∞=1 được gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số k∈N sao cho

x n k+ =x n,∀ =n 1,2, (1)

Số k bé nhất thỏa mãn (1) được gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn { }x n n+∞=1

Sử dụng phương trình sai phân ta sẽ xác định được các dãy số tuần hoàn

Bài toán 1 (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)

Tìm dãy số { }x n n+∞1

2

,

n n

+







Lời giải

Phương trình đặc trưng của dãy số đã cho là λ2 = ⇔ ∈ ư1 λ { }1,1 Do đó 1n ( 1) ,n 1,2,

n

x =A + ưB ∀ =n Bởi vậy từ giả thiết x1=α, x2 =β , ta có

2 2

A

A B

A B

B

α β α



⇔

Do đó

n n

Bài toán 2 (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3)

Tìm dãy số { }x n n+∞1

= biết x n+3 =x n,∀ =n 1,2, và x x x1, ,2 3 cho trước

Lời giải

Phương trình đặc trưng λ3 =1của dãy số đã cho có các nghiệm là

( hay 1, cos2 sin2 , cos2 sin2

Do đó

n

trong đó các hằng số A, B, C sẽ được xác định khi biết x x x1, ,2 3

Ta cũng có thể trình bày như sau:

Phương trình đặc trưng λ3 =1của dãy số đã cho có các nghiệm là

cos sin ,

i

0,1, 2

h=

Hay viết cụ thể là

Do đó

n

Mà cos2 cos4 , sin2 sin4

n

trong đó các hằng số A, B, C sẽ được xác định khi biết x x x1, ,2 3

Bài toán 3 (dãy số tuần hoàn chu kỳ k∈ ℕ bất kỳ)

Tìm dãy số { }x n n+∞1

= biết x n k+ =x n,∀ =n 1,2, và x x1, , ,2 x k cho trước

Lời giải

Phương trình đặc trưng λk =1của dãy số đã cho có các nghiệm là

cosh π + sinh π ,

i

k k với h=0,1, 2, ,kư1

Hay viết cụ thể là

Do đó

π π π π

n



Mà

cos cos k , cos cos k ,

và

sin sin k , sin sin k ,

nên ta có thể viết lại như sau

β

ư

=



∑1

0

k

h

trong đó các hằng số β β0, , ,1 β kư1 sẽ được xác định khi biết x x1, , ,2 x k

2 Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số

2.1 Định nghĩa. Cho a b c d , , , ∈ ℝ sao cho adưbc≠0 và c≠0 Xét dãy số ( )x n như sau: x1∈R và với mọi

1, 2,

n

n

x

+ , nếu nó tồn tại Khi đó dãy số (x n n)+∞=1 gọi là dãy phân tuyến tính

Chú ý rằng nếu cho ( )x n n+∞=1 là dãy phân tuyến tính thì ta hiểu rằng với mọi n=1,2, … luôn tồn tại x n

2.2 Nhận xét

a) Xét dãy phân tuyến tính { }x n xác định bởi

1

n

n

+

=





+





, trong đó a, b, c, d, và p là các hằng

số cho trước

n n

y x z

1

n

n

n

n

y

x

y

z

+

+

Như vậy, nếu ta xác định được hai dãy ( ) ( )y n , z n :

1 1

y p z

+ +









thì coi như đã xác định

được số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính

b)Ta xét ( ) ( )y n , z n :

1 1

y p z

+ +









Cách 1:

1

+

Tìm được y ⇒z

Cách 2:

*)

chọn

ư

*)

chọn

a

β

ư

c) Theo trên, ta có thể xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số ( )x n , với n

n n

y x z

= , y và 1 z cho trước và 1

y + =ay +bz z + =cy +dz

2.3 Bài tập

0

1 1

0

1 1

1

2

n

n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

ư

ư

ư

ư









=









=







Tuy nhiên ta có một cách khác để tìm số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính đơn giản như sau:

0

1 1

1

0

1 1

2 1 1

2

1

, 1

2

, 1

5 13

9 9 24

*)

*) : 5 22 24 0

Đặt

Chọn

n

n

n

n

n

n

n

n n

u

u

u

u

u

u

u

ư

ư

ư

ư

ư

ư

ư

=









+

=









1

2

n

n

t x

x

ư

= ư

+

Sau đây ta xét thêm một số tính chất của dãy này

2.4 Tính chất

Định lí 1 Cho , , ,a b c d∈R sao cho adưbc≠0,c≠0 Cho x1∈ℝ và với mọi n = 1, 2, , đặt n 1

n n

x

cx + =d +

nếu nó tồn tại Xét hàm số f(x) như sau:

f

ax b x

cx d

֏

ư

→

+ +

a) Chứng minh f là song ánh

b) Cho dãy số ( )t n được định nghĩa bởi: 1

1

1 ( ), 1, 2,

d t c

ư



=





 (Dãy này có thể không xác định kể từ một thứ tự nào đó.) Chứng minh rằng (x n n)+∞=1 là dãy phân tuyến tính khi và chỉ khi x1 ≠ ∀ =t n, n 1, 2,

Chứng minh

Với mọi ,x y ,x d,y a

ℝ

Vậy f là song ánh

b) { } xn n+∞=1 là dãy phân tuyến tính khi và chỉ khi

1 1

, ,

x t

x R x t

x R x t

≠









⋮

Điều này quy về x1≠t n với mọi n mà t xác định n

Cho (x n ) là dãy phân tuyến tính như sau 1 n , 1, 2,

n

n

+

+

+ Khi đó ta có các định lí sau :

Định lí 2. Nếu dãy { }x n hội tụ đến L thì 2

cL + ưd a L bư =

Chứng minh

Từ 1 n , 1, 2,

n

n

+

+

2

aL b

cL d

+

+

Định lí 3. Khi 2

(d a) 4bc

∆ = ư + <0 thì dãy phân kì (không hội tụ)

Định lí 4. Giả sử 2

(d a) 4bc

∆ = ư + >0 Gọi α β, là hai nghiệm của phương trình (ẩn là x)

2

cx + ưd a x bư = Khi đó:

a) x1 = ⇔α x n = ∀ =α, n 1, 2,

n n n

1 , 1, 2,

X + =λX ∀ =n

β

+

= < thì limx =β

Nếu c d 1

α λ β

+

→∞ =

Nếu λ = ư1 và x1 =β thì lim n

→∞ =

Nếu λ = ư1 và x1≠β thì dãy { }x n phân kỳ với các giá trị x và 1 x xen kẽ n

Trường hợp λ=1 không thể xảy ra

Chứng minh

Vì ,α β là nghiệm của phương trình L aL b

cL d

+

= + nên ,

a) Ta chỉ cần chứng minh nếu x1 =α thì x n = ∀ =α, n 1, 2, vì chiều ngược lại là hiển nhiên Ta dùng phương pháp quy nạp Giả sử x1 =α Khi đó

1 2 1

x

α

Giả sử x n =α Khi đó 1 n

n

n

x

α

+

+ + Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra nếu x1=α thì

, 1, 2,

n

x = ∀ =α n

b)Ta có

1 1 1

:

n

X

+ + +

1 n , 1, 2,

n

x

β

c) Theo kết quả câu (b) suy ra 1

1, 1, 2,

n n

X =λ ư X ∀ =n

Nếu λ <1 thì 1

n λ ư

1

n n

x X x

β α

ư

=

ư ta có lim lim

Nếu λ >1 thì 1

n λ ư

1

1

n

n

x

X

β α

ư

1 1

x X x

β α

ư

=

ư Do đó nếu x1 =β thì X1 =0 Theo kết quả câu (b) suy ra X n = ∀ =0, n 1, 2, Suy ra

lim n 0

→∞ = Tương tự như trên suy ra lim n

→∞ = Nếu λ= ư1 và x1≠β thì X1 ≠0 và X n+1= ư( 1)n X1,∀ =n 1, 2, Ta sẽ chứng minh dãy số ( )y n với

( 1)n

n

y = ư , với mọi n=1, 2,…, không hội tụ (phân kỳ)

Ta có lim 2n 1 lim( 1) 1 1 lim 2n

→∞ = →∞ ư = ư ≠ = →∞ Vậy dãy ( )y n phân kỳ Dãy ( )y n không hội tụ mà

1 1, 1, 2,

X + =y X ∀ =n nên dãy { }X n cũng không hội tụ

Từ n

n

n

x X

x

β α

ư

=

ư suy ra dãy { }x n không hội tụ ( vì nếu lim n

→∞ = ∈ℝ thì lim n

n

v X v

β α

→∞

ư

=

ư , nghĩa là dãy { }X n hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn)

α

cα + =d cβ+d ⇒cα =cβ⇒α β= Mà điều này không thể xảy ra được do 2

(d b) 4bc

Định lí 5 Giả thiết 2

(d a) 4bc 0

2

g c

ư

a) x1=g khi và chỉ khi x n = ∀ =g, n 1, 2,

b) Giả thiết x1 ≠g, đặt n 1 , 1, 2,

n

2c

à= + Khi đó

1 , 1, 2,

X + = X + ∀ =à n

c) lim n

→∞ =

Chứng minh

a) Vì ∆=0 nên phương trình 2

cL + ưd a L bư = ( tức là phương trình L aL b

cL d

+

= + ) có nghiệm kép là 2

g

c

ư

= Tiếp theo ta làm tương tự như đã làm ở định lý (4a)

b) Với mọi n = 1, 2, , ta có

1

1 1:

n

X

+ +

(d a) 4bc

2 ( ) 2

2

bc= ư ư

Do đó

2

bc adư +d = ư ư ưad+d = ư +d adư ưa ad+ d =

2 2

2 d a 2 a d a d 2 gc a d c a d g

Từ đó

1

n

X

2 ( ) 2 2 ( )( )

n

n

( )( ) ( )( )

n

X

( 2(cg+d)= +a d Vì 2(cg+d)=2cg+2d = ư +a d 2d= +a d) c) Nếu x1 =g thì theo định lý (5a) suy ra x n = ∀ =g, n 1, 2, do đó lim n

→∞ = Nếu x1≠ g thì theo định

lý (5b) ta có

1 , 1, 2,

X + = X + ∀ =à n

suy ra { }X n là cấp số cộng có công sai là à và số hạng đầu là X Do đó 1

1 ( 1) , 1, 2,

n

X = X + ưn à ∀ =n