Đường tròn nội tiếp trong tứ giác ABCD tiếp xúc với các cạnh DA, AB, BC, CD lần lượt tại các điểm K, P, Q, R.. Chứng minh tứ giác được lập bởi 4 tiếp tuyến trên là hình thoi.. Trong mặt
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT Thời gian làm bài 180 phút
TỈNH QUẢNG NGÃI (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Câu 1(4 điểm)
Giải hệ phương trình:
Câu 2 (4 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2
3
S a b b c c a
với a, b, c là các số dương có tổng không lớn hơn 3
2 Câu 3 (4 điểm)
Đường tròn nội tiếp trong tứ giác ABCD tiếp xúc với các cạnh DA, AB, BC, CD lần lượt tại các điểm K, P, Q, R Giả sử O1 , O2 , O3 , O là các đường tròn nội 4
tiếp trong các tam giác AKP, BPQ, CQR, DRK Với các cặp đường tròn
O1 & O2 ; O2 & O3 ; O3 & O4 ; O4 & O ta dựng các tiếp tuyến chung ngoài 1
khác cạnh của tứ giác ABCD Chứng minh tứ giác được lập bởi 4 tiếp tuyến trên là
hình thoi
Câu 4 (4 điểm)
Cho p là số nguyên tố khác 2 và a, b là 2 số tự nhiên lẻ sao cho a b p và
1
a b p Chứng minh rằng a bb p a
Câu 5 (4 điểm)
Trong mặt phẳng cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Một số điểm được nối với nhau bởi các đoạn thẳng Khi đó, ta được một đồ thị G với k cạnh Chứng minh rằng nếu G không chứa tam giác nào có đỉnh là các điểm đã cho thì
2
4
n
k
( là kí hiệu phần nguyên)
HẾT
Người ra đề
Phạm Viết Huy SĐT: 0905564921
Trang 2ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
Câu 1.
(4đ)
Hệ đã cho tương đương với:
1 (1 ) (1 ) (1)
1 ( ) (2 ) (2)
Lấy (1) trừ (2), ta được: 1 (1 x y2 2 2) 1 ( x y )2 (x y 3 2)
Ta có:
0 ( x y 3 2) 1 (1 x y2 2 2) 1 ( x y )2 0
Do đó
3
=0
x y
có 2 nghiệm x=1, y=-1 hoặc x=-1, y=1
Thử lại hệ đã cho có nghiệm là x=1, y=-1
1đ 1đ
1đ
1đ
Câu 2.
(4đ)
Áp dụng bất đẳng thức Holder cho hai dãy số dương a b2 21,b c2 21,c a2 21 và
1 1 1
, ,
b c a , được
2
S a b b c c a
Xét
2 2
'
1 1 1
S
a b c
a b c
Xét
1đ
1đ
Trang 3
2 2
2
2
1 1 1
"
1 1 1
9
2 16.9 15
4
a b c
a b c
Do đó, ' 2 " 153
4
S S S và tồn tại 1
3
a b c để đẳng thức xảy ra nên 153
4
minS
1đ
1đ
Câu 3.
(4đ)
A
O1
O2
M
N I
L
K
Ta chứng minh bổ đề sau:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), O là trung điểm cung BC không chứa1
A, O là trung điểm cung CA không chứa B Dựng đường tròn tâm 2 O tiếp xúc với1
BC và đường tròn tâm O tiếp xúc với AC Khi đó, tâm I của đường tròn nội tiếp2
tam giác ABC nằm trên một trong các tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn O1
Trang 4Thật vậy, từ I kẻ các tiếp tuyến IK, IL với các đường tròn O và 1 O Gọi M, N2
lần lượt là trung điểm của BC, CA
Ta có IKO1CMO1, suy ra IK / /AB và 1
2
IK BC Tương tự IL/ /AB và
1 2
IL CA Từ đó ta suy ra được đpcm hơn nữa 1( )
2
KL CA CB
B
C D
Q
R
K
U V
Trở lại bài toán, dễ thấy rằng O , 1 O , 2 O , 3 O lần lượt là trung điểm các cung KP,4
PQ, QR, RK của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD
Gọi STUV là tứ giác được tạo thành từ các tiếp tuyến chung ngoài của các cặp
đường tròn O1 & O2 ; O2 & O3 ; O3 & O4 ; O4 & O 1
Từ bổ đề trên ta dễ dàng chứng minh được ST UV/ / / /KQ SV; / /TU / /PR
Hơn nữa, tổng độ dài 2 tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn O1 , O ;2
O3 , O bằng tổng độ dài 2 tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn 4 O1 , O ;4
O2 , O vì đều bằng nửa chu vi tứ giác KPQR Từ đó suy ra ST+UV=SV+TU 3
nên STUV là hình thoi.
1đ
1đ
1đ
Câu 4
(4đ) Giả sử a b Ta có a b p nên ab(mod )p Suy ra
(mod ) ( 1)(mod )
Nếu b p thì a p , do đó a b b p a
Nếu ( , ) 1b p thì 1
a b p
, do đó b a
a b p
1đ 1d 1đ 1đ
Trang 5Câu 5
(4đ) Gọi P là điểm được nối với nhiều điểm khác nhất trong số các điểm của đồ thị G.
Giả sử P được nối với m điểm P P1, , ,2 P m
Khi đó ta chia n điểm của G thành hai tập:
1, , ,2 m ; , ,1 2, , n m 1
A P P P B P Q Q Q
Tập A gồm các điểm nối với P, tập B gồm điểm P và các điểm không nối với P.
Bất kỳ hai điểm nào trong A cũng không nối với nhau vì G không chứa tam giác
nào
Do đó, ta có tổng số cạnh
2
4
n
k m n m Suy ra
2
4
n
k
1đ
1đ
1đ
1đ Người ra đề
Phạm Viết Huy SĐT: 0905564921