Các tiếp tuyến AD, AE của O’ cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C D, E là các tiếp điểm.. Biết rằng cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sin
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM NĂM 2015
TỈNH QUẢNG NAM Thời gian làm bài 180 phút
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề này có 01 trang gồm 5 câu)
Câu 1 : (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
2
2
z y x
Câu 2 : (4,0 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại điểm K, ((O’) nằm trong (O)).Điểm A nằm trên (O) sao cho A, O, O’ không thẳng hàng Các tiếp tuyến AD, AE của (O’) cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C ( D, E là các tiếp điểm ) Đường thẳng AO’ cắt (O) tại điểm thứ hai là F Chứng minh rằng BC, DE, FK đồng quy
Câu 3: (4,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương m, n (m, n > 1 ) thỏa mn 1 | n3 1
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho ba số a b c, , 1 thoả 32abc 18a b c 27.
Chứng minh rằng: bc a2 1ac b2 1ab c2 1 5abc
Câu 5: (4,0 điểm)
Trong một đợt giao lưu học sinh gồm 2m m 1học sinh Biết rằng cứ 3 học sinh bất
kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau Kí hiệu f m là số các cặp đôi như thế Chứng minh rằng: 2 f m2 m m 1
……… HẾT……… Người ra đề: Nguyễn Thanh Thiên - ĐT liên hệ: 0905662875
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
1
Câu 1 : (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:
2
2
2 ( ) 8
x y
z z x y
z y x
Ta có hệ phương trình
2
2 (1)
2 ( ) 8 (2) ( ) 48 (3)
x y
z z x y
z y x
Từ (1) và (2) ta suy ra
x y z zx zy x y
Từ (1) ta suy ra (2 )y 2 ( 2 )x 2 8 (5)
1,0
ux y
, suy ra u 6 ( do (4) )
2 ; 2
v y x
, từ (5) suy ra v 8 ( do (5) )
Ta có u v yz zx z y x ( ) 48
Mặt khác, ta có u v u v 48
Dấu bằng xảy ra khi u và v cùng hướng, suy ra
Suy ra z x y( ) 4, từ (2) suy ra z2 16 z 4
1,0
1,0
+ với z 4 thay vào hệ ta đươc 1
3
x y
y x
2
2
x y
+ với z 4 thay vào hệ ta đươc 1
3
x y
y x
2
2
x y
Thử lại, ta thấy các giá trị trên đều thỏa mãn
Vậy hệ phương trình có hai bộ nghiệm ( ; ; )x y z là (4; 1 3; 1 3)
, ( 4;1 3 1; 3)
1,0
Trang 32 Câu 2: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại điểm K, ((O’)
nằm trong (O)).Điểm A nằm trên (O) sao cho A, O, O’ không thẳng hàng Các tiếp tuyến AD, AE của (O’) cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là B và C ( D,
E là các tiếp điểm ) Đường thẳng AO’ cắt (O) tại điểm thứ hai là F Chứng minh rằng
BC, DE, FK đồng quy
Hình vẽ:
O'
T
S S'
K
E
C A
F B
M
Gọi M là giao điểm của KD với (O); T là giao điểm của BF và KC Dễ thấy O’D//OM
Suy ra OM vuông góc AB Suy ra M là điểm chính giữa của cung AB
Gọi S là giao điểm của BC và ED; S’ là giao điểm của BC và KF
Ta chứng minh S trùng với S’
1,0
Xét tam giác ABC, áp dụng định lý Menelaus với cát tuyến DES’, có:
Xét tam giác TBC, với cát tuyến SKF, có:
SC KT FB SC KC FT FT KC
Mặt khác, tam giác BKT đồng dạng với tam giác CFT nên ta có:
1,0
Trang 4 2
Do KE và KD lần lượt là hai đường phân giác của góc AK C và góc BK A, nên ta có:
3
'
SB S B suyra
SC S C
Hay S S'
1,0
3 Câu 3: (4,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương m, n m, n 1 thỏa mn 1 | n3 1
1,0
Từ giả thiết, suy ra:
2
Tương tự,
2
1,0
Từ 2 , có n m 2 mn 1
* Nếu n m 2 thì n 1n m 2 mn 1 Điều này vô lý
* Nếu n m 2 thì m n, k k, 2 Điều này thỏa mãn
* Nếu n m 2 thì m2 1 m2 n mn 1
Suy ra m n
Từ 1 , ta có: m n 2 mn 1
+ Khi m n 2 thì m 1m n 2 mn 1 Điều này vô lý
+ Khi m n 2 thì n m n 2 n2 n n 2 m mn 1 suy ra n 1 Vô lý
+ Khi m n 2 thì m n, k k2, thỏa mãn
Kết luận : Vậy, m n, k k, 2 hoặc k k Với 2, k nguyên dương
1,0
1,0
4 Câu 4: Cho ba số a b c , , 1 thoả 32abc 18a b c 27 Chứng minh rằng:
Trang 52 1 2 1 2 1 5
+ Với x y z , , 0 ta luôn có x y z 3(x y z )
+ Từ bất đẳng thức đã cho ta có:
VT
Suy ra:
2
1 1 1 9
VT
1,0
Từ giả thiết 32abc 18a b c 27
ab bc ca abc
Ta có:
2
3
ab bc ca a b c
3
27
1,0
Đặt t 1 1 1
a b c
Từ (*) ta suy ra:
t t
t 2 t 42 0 t 2
Vậy
2
1 1 1 9
VT
2
VT 5abc
Dấu ‘=’ xảy ra khi chỉ khi 3
2
a b c
1,0
1,0
5 Câu 5 (4,0 điểm)
Trong một đợt giao lưu học sinh gồm 2m m 1học sinh Biết rằng cứ 3 học sinh bất
kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với
nhau Kí hiệu f m2 là số các cặp đôi như thế Chứng minh rằng: f m2 m m 1
Ta xây dựng mô hình biểu diễn (K) gồm n n 2m điểm như sau: Mỗi học sinh được biểu diễn bởi 1 điểm ( không có 3 điểm nào thảng hàng ) Hai học sinh có trao đổi học tập được biểu diễn bởi một đường liền nét, hai học sinh không có trao đổi học tập biểu diễn bởi một đường không liền nét
Kí hiệu P là tập hợp n điểm, f n là số đoạn nối liền nét của một biểu diễn (K) 1,0
Trang 6Từ giả thiết, ta suy ra bất kỳ 3 điểm nào của P cũng đều có ít nhât một đường liền nét.
Ta luôn giả thiết rằng, trong biểu diễn K tồn tại hai điểm A, B mà đoạn nối AB không
liền nét Đặt Q P \ A B, Như vậy, Q có n-2 điểm, trong biểu diễn K ta bỏ đi đoạn
AB và tất cả các đoạn nối với A, nối với B và ta được biểu diễn K’ của tập Q thỏa bài
toán Gọi f n 2là số các đoạn thẳng liền nét trong (K’)
Lấy điểm C thuộc tập Q suy ra trong các đoạn CA, CB phải có ít nhất một đoạn liền
nét (vì AB không liền nét)
Vì Q có n 2 điểm nên suy ra f n n 2 f n 2 (*)
1,0
Công thức truy hồi (*) cho ta: f n n 2 n 4 4 f(4) vì n chẵn
Suy ra f n n 2 n 4 4 2 do f(4) 2
Suy ra f n n n 4 2
Thay n 2m, ta thu được kết quả
1,0
Trường hợp dấu bằng xảy ra như sau: Chia học sinh thành hai nhóm
Nhóm X gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một, Nhóm Y gồm m học sinh
có trao đổi học tập từng đôi một Mỗi học sinh của nhóm này đều không có trao đổi
học tập với bất kỳ một học sinh nào của nhóm kia Cách chọn như trên thỏa giả thiết
bài toán
Số đoạn nối liền nét giữa mđiểm trong tập X và tập Y đều bằng
1 2 1 1
2
m m
m m Suy ra f m m m 1
1,0
Nguyễn Thanh Thiên - ĐT liên hệ: 0905662875
Lưu ý:
- Thí sinh làm khác đáp án nhưng hợp lý vẫn đạt điểm tối đa.
- Khuyến khích những cách giải sáng tạo.
