Toan 10_Phu Tho Đề thi (đề xuất) kỳ thi HSG các trường THPT Chuyên khu vực DH&ĐBBB lần thứ VIII, năm 2015

Trung trực của đoạn AH cắt các cạnh CA AB, lần lượt tại M N;.. Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác OMN... Câu 2 4,0 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và tâm đườ

HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

TỈNH PHÚ THỌ

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10

NĂM 2015

Thời gian làm bài 180 phút

Đề thi gồm có 01 trang, 5 câu

Câu 1 (4,0 điểm)

Giải phương trình 5 x32x 3 x5 2x

Câu 2 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Trung trực của đoạn AH cắt các cạnh CA AB, lần lượt tại M N; Chứng minh rằng A là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác OMN.

Câu 3 (4,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có dạng 4k 1 thì có một số tự nhiên a nhỏ hơn p sao cho a 2 1 chia hết cho p.

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho các số thực không âm a b c, , thoả mãn a2b2c2 2 Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2 2 2 2

3 3 3

2

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

 

Câu 5 (4,0 điểm)

Xác định tất cả các tập con A B C, , khác rỗng của tập các số nguyên dương *

 thoả mãn các điều kiện sau

1) A B B C C    A;







B C

3) Với mọi a A b B ,  và c C , ta có c a A c b B  ,   và a b C  .

………… HẾT………

Người ra đề: Kiều Đình Minh ĐT: 0989 848 965

ĐÁP ÁN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC

BỘ

NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10

Câu 1 (4,0) Giải phương trình 5 x32x3 x5 2x

x32x3 x5 2x5  x x3 223x x5 4 25  x223x x2 4 25

Đặt y x 2 2 y2(do x0) và

x   x    x  x   y y 

Ta có

3 2

y

    thì f t 1  f t 2 nếu 2 t 1t2 Vì vậy y  là4

phương trình đã cho

Câu 2 (4,0) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Trung trực của đoạn AH cắt các cạnh CA AB lần lượt tại ;, M N Chứng minh rằng A là

tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác OMN

Từ  1 và  2 suy ra AONAOM , hay OA là phân giác của góc MON Lại có

0

180

Câu 3 (4,0) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có dạng 4k 1 thì có một số tự nhiên a nhỏ hơn p sao cho a  chia hết cho 2 1 p

p k k  thì 4 ! 1k  p(1) Mặt khác 2k i 2k i 1 mod p với i1,2, ,2k Do đó

2k1 2  k2 4  k  2 ! modk  p

Suy ra 4 !k 2 !k 2modp (2)

Từ  1 và  2 ta có 2 !k 21p Gọi a là dư của phép chia 2 !k cho  p thì

a p và 2 !k amodp, do đó a2 1 p (đpcm).■

Câu 4 (4,0) Cho các số thực không âm , ,a b c thoả mãn 2 2 2

2

a b c  Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2 2 2 2

3 3 3

2

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

 

Do tính đối xứng của bất đẳng thức nên không mất tổng quát giả sử a b c  0

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

 

a b c  abc a b  ab ab

Và

a b c  2a2b2c22ab2bc2ca 2 2ab4 ab  2

Từ  1 và  2 suy ra

 3 3 3   2 2 2  2 2 2 2 2 2

a b c  abc a b c   a b  max a b b c c a

Hay

2 2 2 2 2 2

3 3 3

2

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b 1;c0

Tóm lại :

2 2 2 2 2 2

3 3 3

2

3 max a b b c c a

a b c abc

a b c

  Dấu đẳng thức khi a b 1;c0 và các hoán vị.■

Câu 5 (4,0) Xác định tất cả các tập con , ,A B C khác rỗng của tập các số nguyên dương

*

 thoả mãn các điều kiện sau :

1) A B B C C    A;







B C

3) Với mọi a A b B ,  và c C , ta có c a A c b B  ,   và a b C 

Giả sử phần tử nhỏ nhất của C là x Thế thì 1,2, ,x1 A B , do với  a A b B,  ,

ta có a x A b x B  ,   Vậy tất cả các số không chia hết cho x là thuộc A B Do đó

c C

  là bội của x Từ  3 , tổng của  a A b B,  là bội của x.

Giả sử x 1 Thì a A b B ,  suy ra a 1 A b,  1 B a b A B   , mâu thuẫn với  1 Giả sử x 2 Ta có thể giả sử 1 A Thì do  3 , tất cả các số nguyên dương lẻ nằm trong A

Với b B , ta có 1 b C  Do đó b lẻ, dẫn tới b A B  , mâu thuẫn với  1

Giả sử x 4 Thì 1, 2,3 A B , gọi y z, 1, 2,3 A Lấy b B , ta có y b z b C ,  

do  3 o đó y b   z b   y z là một bội của x Nhưng y z x, dẫn đến mâu thuẫn

Vì vậy x 3 Ta chỉ ra 1 và 2 không thể cùng nằm trong A (hay cả hai cùng nằm trong B)

 Nếu 1,2 A , thì  3 suy ra 3k 1 , 3k 2 A, k  * Lấy b B , ta có 1 b C  , điều này suy ra b3k 2 A Do đó b A B  , mâu thuẫn với  1

 Do đó hoặc 1A,2B, suy ra A1,4,7, , B2,5,8, , C3,6,9,  hoặc

2A,1B và B1, 4,7, , A2,5,8, , C3,6,9,  ■