Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.. Người ra đề... Suy ra điều phải chứng minh.
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 10 NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm)
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
Câu 2 (4.0 điểm)
Các đường tròn 1 , , 2 3 nằm trong mặt phẳng và tiếp xúc ngoài với nhau từng cặp Gọi P1, P2, P3 thứ tự là điểm tiếp xúc của 2và 3, 3và 1, 1và 2 Gọi A, B là hai điểm khác P1, P2 và nằm trên 3 sao cho AB là đường kính của 3 Đường thẳng AP2 cắt lại 1 tại X, đường thẳng BP1 cắt lại 2 tại Y, và các đường thẳng AP1, BP2 cắt nhau tại Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn: 3x 2.3y 2x y 1 1
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn :a2b2 c2 d2 Tìm giá trị lớn nhất1
2
Câu 5 (4.0 điểm)
Trong tam giác vuông cân cạnh huyền có chiều dài n lấy
2
(n 3)
1 3
Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất 1 cặp điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1
HẾT
Người ra đề
Trang 2
ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 10
1
4
điểm
Ta có (1) x3 12x y 2 3 12 y 2
Ta có x và y 2 cùng thuộc đoạn 2;2 suy ra
x x(y 2) (y 2) 12 0
Do đó (1) x y 2 Thay vào (2) ta được 3 4 x 2 4x2 m (3) Đặt t 4 x (0 t 2) 2 : (3) 4t2 3t m 16 0 (4)
t 0 2
2
6 – m
– m – 16
Do đó: hệ phương trình đã cho có nghiệm (3) có nghiệm
(4) có nghiệm x0;2 16 m 6
1,0
1,0
1.0
1,0 2
4
điểm
O
1
A O
3
B
O
3
P
1
Z
O X
P
2
Trang 3Gọi O1, O2, O3 thứ tự là tâm các đường tròn 1 , , 2 3
Gọi O là giao của các tiếp tuyến chung tại P1, P2, P3 của
1 , , 2 3
Ta có: (ZP1, ZP2) = (ZP1, AP2) + (AP2, ZP2) =
3 1 3 2
1 (O P ,O P )
(P3P1, P3P2) = (P3P1, P3O) + (P3O, P3P2)
= 1(O P , O P )2 1 2 3 1(O P , O P )1 3 1 2
= 1 (O P ,O P )3 2 3 1
2 2
=1 (O P ,O P )3 1 3 2
(ZP1, ZP2) = (P3P1, P3P2) P1, P2, P3, Z đồng viên
(P3X, P3Z) = (P3X, P3P2) +(P3P2, P3Z) =
1 1 2 1 2 1
1 (O X,O P ) (P P ,P Z)
=1(O X, O P )1 1 2 1(O P , O A)3 2 3
Vì 1 , 2tiếp xúc ngoài nên (O X, O P ) (O A, O P )1 1 2 3 3 2
(P3X, P3Z) = 0 X, Z, P3 thẳng hàng
Tương tự: Y, Z, P3 thẳng hàng ĐFCM
0,5
1,0 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 3
4
điểm
Đặt n = x + y ta có: 3x 2.3y 2n 1 1
n 1 n 1 2
(n 1)
3
x, y
+ n = 0 ;1 ;2 ; 4 : không tồn tại x, y + n = 3: x = 2, y =1
+ n = 5 : x = 2, y = 3 + n 6 : Đặt
n 1 m n 1
1 0,5
1 0,5
Trang 4(vì bậc của 2 theo mod 9 là 6) Đặt n 1 6k
k m 1
k m 1
n 1
Vậy phương trình vô nghiệm khi n 6
Kết luận: (x; y) = (2; 1), (2; 3)
0,5
0,5
4
4
điểm
2 2
2 2 2 2
1
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2 2
;
;
hoặc
;
;
2 2
2 2 2 2
1
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
Trang 52 2 2 2
;
;
hoặc
;
;
0,5
5
4
điểm
Dựng
2
(n 3)
1 3
2 có tâm là
2
(n 3)
1 3
Tổng diện tích các hình tròn là
1
Diện tích được phủ của họ tất cả các đường tròn có tâm thuộc miền tam giác vuông cân (tính cả biên), bán kính bằng 1
2 nhỏ
4
Do đó tồn tại ít nhất 2 đường tròn cắt nhau trong
2
(n 3)
1 3
đã dựng Suy ra điều phải chứng minh
1
2
1
(Họ tên, ký tên -Điện thoại liên hệ)