Gọi X là giao điểm của MN và PQ; E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn O.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của X trên BD.. Chứng minh rằng: 4 điểm... 3 Cho tứ giác ABCD ngoại ti
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 2 (4 điểm): Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng:
3 2
ab b bc c ca a
Câu 3 (4 điểm): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần
lượt là các tiếp điểm của đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA Gọi X là giao điểm của MN và PQ; E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn (O) Gọi H là hình chiếu vuông góc của X trên BD Chứng minh rằng · AHE =CHF· .
Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương a< < <b c d sao cho mỗi số trong chúng là ước của tổng ba số còn lại
Câu 5 (4 điểm): Cho 2016 cái kẹo vào 1008 cái hộp sao cho không có hộp nào có
nhiều hơn 1008 cái kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 1008 cái kẹo
……… HẾT ………
Người ra đề
Nguyễn Thị Giang SĐT:0976138529
Trang 2ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
1
Giải hệ phương trình:
4 điểm
Phương trình (2) của hệ viết lại như sau
3x +3x y- 3x + -1 x y+ = Û0 x y+ - 3x x y+ = -1 3x 3 1,0
Ta thấy x =0 không thỏa mãn hệ phương trình Chia 2 vế của (3) cho x ta có3
phương trình
3
3
ç + ÷- ç + =÷
0,5
2
2
PT (1) của hệ được viết lại như sau
2
2
æ ö÷
çè ø
0,5
ç + - ÷= Û + =
2
3
3
x
0,5
TH2:
2
2
æ ö÷ æ ö÷
ç + ÷+ç + ÷ + - =
è ø è ø kết hợp với (4) ta có
2
æ ö÷
çè ø
0,5
Thay vào (4) ta cũng được hai nghiệm trùng với hai nghiệm ở trên
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( ) ( ) (x y =; 1;0 ; 1;2- ) 0,5
2 Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng: 4 điểm
Trang 32 2 2
3 2
ab b bc c ca a
Ta có
2
³
1,0
Đặt x a,y b,z c xyz 1
Ta có
2
2
1,0
Suy ra
3
3 6 3
S
S
ç
1,0
Trang 4Suy ra 3 3
S S
+
³ Bất đẳng thức được chứng minh.
3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp
điểm của đường tròn (O) với AB, BC, CD, DA Gọi X là giao điểm của MN và PQ;
E, F lần lượt là giao điểm của AC với đường tròn (O) Gọi H là hình chiếu vuông
góc của X trên BD Chứng minh rằng · AHE =CHF· .
4 điểm
Trang 5Trước hết ta chứng minh kết quả sau: Gọi J là giao điểm của AC và BD Khi đó ta
có MP, NQ, BD, AC đồng quy tại điểm J, X A C, , thẳng hàng và
(ACJ X) = - 1,(FEJ X) = - 1
Thật vậy
+ Kẻ hai tiếp tuyến XS, XR tới đường tròn (O) Khi đó tứ giác MSNR là tứ giác điều hòa, suy ra tiếp tuyến của (O) tại M, N và SR đồng quy, hay B, S, R thẳng hàng Tương tự D, S, R thẳng hàng Suy ra (FEJ X = -) 1
+ Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với MN và PQ Ta có
(XIMN) (= XKPQ) = - Suy ra IK, MP, NQ đồng quy hay BD, MP, NQ đồng1 quy
+ Nếu AC qua O dễ chứng minh AC, MP, NQ đồng quy Nếu AC không qua O thì tiếp tuyến tại E và F cắt nhau tai một điểm Tương tự trường hợp trên ta có AC,
MP, NQ đồng quy Suy ra MP, NQ, BD, AC đồng quy tại điểm J.
+ Ta có B XDAC( ) =B XIMN( ) = - =1 D XKQP( ) =D XBAC( ) Suy ra A,
X, C thẳng hàng.
1,0
0,5
0,5
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC ta có
XC NB MA = Þ XC =NC .
Qua C ta kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường MP tại G.
Dễ dàng chứng minh được tam giác CPG cân tại C nên CP=CG
Từ đó theo định lí Thales: J A MA MA MA
J C =CG =CP =CN
X nằm ngoài và J nằm trong đoạn AC nên (ACJ X = - ) 1
0,5
0,5
Trang 6Theo kết quả trên ta có (ACJ X = - kéo theo ) 1 H ACJ X = - Nhưng vì ( ) 1
HJ ^HX Theo định lí về chùm điều hòa ta có HJ là phân giác của góc AHC
Dễ thấy (FEJ X = - suy ra HJ là phân giác của góc EHF) 1
Từ đó dễ dàng thấy được điều cần chứng minh ·AHE =CHF· .
0,5
0,5
4 Tìm tất cả các số nguyên dương a< < <b c d sao cho mỗi số trong chúng là ước
của tổng ba số còn lại
4 điểm
Do d a b c|( + + ) và 3
2
é + + = ê
TH1: a b c+ + =d Do a b c d|( + + ) nên a d| 2 Tương tự b d c d| 2 , | 2
Đặt 2d=ax=by=cz, khi đó 2 z< < <y x và 1 1 1 1
a b c
+ +
0,5
Trang 7+) Nếu z =3 thì 1 1 1 ( 6) ( 6) 36.
x + = Þy - - = Ta có các nghiệm
( ) (x y Î; { 42;7 , 24;8 , 18;9 , 15;10) ( ) ( ) ( ) }
Vì vậy
(a b c d; ; ; ) (Î { k k;6 ;14 ;21 , ;3 ;8 ;12 , ;2 ;6 ;9 , 2 ;3 ;10 ;15k k k k k k k k k k) ( ) ( ) ( k k k k) }
Với k là số nguyên dương
1,0
+) Nếu z =4 thì 1 1 1 ( 4) ( 4) 16
x + = Þy - - = Ta có các nghiệm
( ) (x y Î; { 20;5 , 12;6) ( ) }
Vì vậy (a b c d; ; ; ) (Î { k k k k k k k k;4 ;5 ;10 , ;2 ;3 ;6) ( ) }
Với k là số nguyên dương
0,5
+) Nếu z =5 thì 1 1 3
10
x + =y Suy ra (3x- 10 3) ( y- 10) =100
4
x
x
y x
y
=
êíï - = êïîë
: vô lý
+) Nếu z ³ 6 thì 1 1 1 1 1 1 1
x + + < + + = : không thỏa mãn y z 1 1 1 1
2
x + + = y z
0,5
TH2: a b c+ + =2d Khi đó a d b d c d| 3 , | 3 , | 3
Đặt 3d=ax=by=cz, khi đó 3 z< < <y x và 1 1 1 2
3
x + + = y z
Suy ra z³ 4,y³ 5,x³ 6 Do đó 1 1 1 1 1 1 37 2
x+ + £y z + + = < : vô lý
Vậy các số (a b c d thỏa mãn đề bài là; ; ; )
(k k;6 ;14 ;21 , ;3 ;8 ;12 , ;2 ;6 ;9 , 2 ;3 ;10 ;15 , ;4 ;5 ;10 , ;2 ;3 ;6k k k k k k k k k k) ( ) ( ) ( k k k k k k k) ( k k k k k) ( )
Với k là số nguyên dương
1,0
5
Cho 2016 cái kẹo vào 1008 cái hộp sao cho không có hộp nào có nhiều hơn 1008 cái
kẹo và mỗi hộp có ít nhất một cái kẹo Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp
mà tổng số kẹo trong các hộp đó đúng bằng 1008 cái kẹo
4 điểm
Trang 8+) Nếu tất cả các hộp có số kẹo bằng nhau và bằng 2 thì lấy 504 cái hộp bất kì đều
có tổng số kẹo bằng 1008
0,5
+) Nếu tồn tại hai hộp có số kẹo khác nhau, sắp xếp các hộp thành một hàng ngang sao cho hai hộp đầu tiên không có cùng số kẹo Kí hiệu a i là số kẹo trong hộp thứ
, 1,2, ,1008
i i = Xét các số sau
1 1, 2 1 2, , 1008 1 2 1008
Nếu hai số trong chúng có cùng số dư khi chia cho 1008, giả sử đó là S S j i, j( > i)
Khi đó S j - S i =a i+1+ + M a j 1008.
Rõ ràng 1£ S j - S i <2016 , mà S j - S iM1008Þ S j - S i =1008 Hay
a+ + +a =
1,0
Giả sử trong dãy S S1, , ,2 S1008 không có 2 số nào có cùng số dư khi chia cho 1008 Xét 1009 số sau S S1, , ,2 S1008,a2 Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số có cùng
số dư khi chia cho 1008
0,5
Lại có S1=a1¹ a2,1£ a a1, 2 £ 1008, nên a a1, 2 không cùng số dư khi chia cho
1008 Suy ra tồn tại k =2,3, ,1008 thỏa mãn S a k, 2 có cùng số dư khi chia cho
1008
0,5
Khi đó S k- a2=a1+a3+ + M a k 1008 Lại có 1£ a1+a3+ + a k <2016,
Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương.
Người ra đề
Nguyễn Thị Giang
SĐT: 0976138529