Tuyển chọn 400 bài tập Đại số và Giải tích 11 (tự luận và trắc nghiệm Phần 1

Nội dung bao gồm 5 chương: - Chương I: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác với nội dung chi tiết gồm: với hàm lượng giác sẽ có định nghĩa, tính tuần hoàn chu kỳ và đồ thị.. Với

TS NGUYEN CAM (Chu bién)

ThS NGUYEN VAN PHUGC

TS NGUYEN CAM (Chủ biên)

ThS NGUYÊN VĂN PHƯỚC

TUYEN CHON 4AOO ea TAP

DAI SO V4 GIAI TICH

Il

TU LUAN VA TRAC NGHIEM

NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI

LỜI NÓI Đầu

Cuốn “Tuyển chọn 400 Đề Toứn Đại Số uà Giải Tích lớp 11” được biên soạn theo chương trình mới nhất do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Nội dung bao gồm 5 chương:

- Chương I: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác với

nội dung chi tiết gồm: với hàm lượng giác sẽ có định nghĩa,

tính tuần hoàn (chu kỳ) và đồ thị Với phương trình lượng

giác sẽ có phương trình cơ bản, và một số phương trình

thường gặp

- Chương II: TỔ hợp và xác suất Trong chương này có các nội

dung sau: Quy tắc cộng và quy tắc nhân; chỉnh hợp; hoán vị

và tổ hợp; nhị thức Newton; xác suất của biến cố và các tính chất

~ Chuong III: Day số và cấp số Trong chương này có phương

pháp quy nạp Toán học; dãy số đơn điệu; dãy số bị chặn và sau đó là bàn về cấp số cộng và cấp số nhân

~ Chương IV: Giới hạn Chi tiết gồm giới hạn của dãy số; giới hạn

của hàm số và hàm số liên tục

~ Chương V: Đạo hàm: định nghĩa, công thức tính, quy tắc tính, ý

nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm, tiếp tuyến của đồ thị Cấu trúc trình bày mỗi chương là như sau: đầu tiên là phần tóm

tắt các kiến thức trong phần lý thuyết và sau đó là một số để toán để nghị dành cho học sinh luyện tập giải Các đề toán được xếp theo thứ

tự có độ khó tăng dần để học sinh đọc một cách dé dàng và tùy theo

trình độ cũng như mục đích theo đuổi khác nhau (theo học ban cơ bản

hoặc ban nâng cao, hoặc chỉ nâng cao môn Toán) đều có thể sử dụng

một cách hợp lý Ở cuối mỗi chương, chúng tôi giới thiệu các đề toán

dưới dạng trắc nghiệm để học sinh thực hành Đây là cách giúp học

sinh làm quen với phương cách thi mới mà thí sinh sẽ gặp trong các

kỳ thi tốt nghiệm cũng như tuyển sinh vào các trường đại học Cuối

cùng chúng tôi giới thiệu các để ôn tập toàn chương ở cả hai hình

thức là để dạng tự luận và dạng trắc nghiệm nhằm giúp các em họọc

sinh ôn tập thi cuối năm học

Dù đã nổ lực rất nhiều khi biên soạn cuốn sách này nhưng chắắc rằng không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi rất mong nhận đượợc các góp ý của quý độc giả để có thể hoàn thiện cuốn sách nhằm phuục

vụ tốt hơn nữa việc học tập các em học sinh

TP.HCM, tháng 5 năm 2007

Thay mặt các tác giả

TS Nguyễn Cam

Chương 1 HAM SO LUGNG GIAC VA

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

* Hàm số lượng giác

* Phương trình lượng giác cơ bản

* Một số phương trình lượng giác đơn giản

Một qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực

y = sinx được gọi là hàm sé sin

Một qui tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực

y = cosx được gọi là hàm số cosin

Ham s6 f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu

tồn tại một số T z 0 sao cho với mọi x e D, ta có:

ax-TeDvax+TeD

b) fz + T) = fx)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn ftx)

* Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2m

* Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu ki T = 2x

* Hàm số y = tanx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = m

* Hàm số y = cotx là hàm số tuần hoàn véi chu ki T = 72

IH Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

1 Ham số y = sinx

d) Tập xác định: D = R

b) y = sinx la hàm số lò uà tuần hoàn uới chu ki T = 22

e) Bảng biến thiên trên đoạn |—z; zÌ

b) y = cosx là hàm số chẵn uà tuần hoàn uới chu ki T = 22

c) Bảng biến thiền trên đoạn [—7; x]:

b) y = tanx la hàm số lẻ uà tuần hoàn uới chu bì T'= z

c) Bang biến thiên trên đoạn [—z; 7Ì:

1

1

1

1 '

'

' '

1

T ' '

1 ' '

!

1

1

1 '

1 '

Chú ý: Nhờ tính tuần hoàn, ta có thể suy ra đồ thị của hàm siố

y = tanx trên R

4, Ham s6 y = cotx

a) Tập xde dinh: D= 2\ tka \|k © A

b) y = cotx la hàm ló uà tuần hoàn véi chu ki T = 2

c) Bảng biến thiên trên đoạn [—z, zÌ

Vậy tập xác định: D = R \ ls + k2n < Z]

a) Vi 1 + sinx > 0; 1 — cosx > 0 với mọi x nên: > 0 vớii

moi x thỏa điều kiện 1 — cosx + 0

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi 1 — cox # 0

hay cosx #1 © x # k2m (k e Z)

Vậy tập xác dinh: D = R \ {k2x/k e Z}

v1-sinx = > 0 véi moi xx

cos?x

b) Vì 1 — sinx > 0, eos”x > 0 với mọi x nên

thỏa điều kiện cosx #0 hay x# 5 + km

a) * tanx xác định khi và chỉ khi x + : + kn (k € Z)

* cotx xác định khi và chỉ khi x # kn (k € Z)

Vậy y = tanx + cotx xác định khi và chỉ khi

xo gt kr (k eZ) hay xe kez)

eke Vậy tập xác định D = R\ ke Z}

10

b) y = tan(2x + 7) xAe dinh khi va chi khi

Deg Me™ + ten hey ee & a tee )

Theo định nghĩa trị tuyệt đối, ta có:

sinx néu sinx > 0

| sinx| = -sinx nếu sinx > 0

Như vậy, đồ thị hàm số y = | sinx | trên toàn trục số được suy ra

bằng cách như sau:

12

— Giit nguyén phan đồ thị y = sinx nằm trên trục hoành

— Bỏ đi phần đỏ thị y = sinx nằm dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị vừa bỏ đi

Đô thị hàm y = | sinxÌ được vẽ như sau:

Hướng dẫn giải

y = x) = sin2x có tập xác định D = 3%

*Wxe D, ta có: fx + m) = sin2(x + m) = sin(2x + 2m) = sin2x = Ẩ(x)

* Giả sử có số Tụ sao cho 0 < Tp < 1 va: fix + To) = fx), Vx

Điều này trái với giả thiết 0 < To < x

Nghĩa là T = z là số dương nhỏ nhất thỏa điều kiện f{x + T)

= f(x), Vx

Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn v6i chu ki T=7

13

Đề 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Vậy giá trị lớn nhất của y là ã đạt được khi

Đề 15: Dựa vào đồ thị của hàm số y = cosx, vẽ dé thị của hàm số y = Ì cosx Ì

Đề 16: Chứng minh hàm số y = tan(x + a) tuân hoàn với chu kì T = ø.:

Đề 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a)y=1+ 5 sinx C08X b) y = 2cos’x — 2

Dé 19: Tim cdc khodng déng bién va nghich bién cua ham sôố

y =ÌsinxÌ trên đoạn [0; 2z]

Đáp số: Dựa vào đồ thị của hàm số y = | sinxÌ trên đoạn [0; 2x] tea

có kết quả:

— Hàm số đồng biến trên các khoảng [0 |; (» =)

— Ham sé nghịch biến trên các khoảng | ni (= 2m ) 16

Dé 20: Tim cdc khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

y = Ì tanx trên khoảng (- J 3):

22 Đáp số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 3 0), déng bién trén

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Phương trình lượng giác cơ ban

Phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình có dạng:

sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx =a

1 Phương trình sinx = œ

a) Nếu ÍaÍ > 1: Phương trình uô nghiệm

b) Nếu (qÍ < 1: Đưa phương trình uề dạng sinx = sinơ

a) Néu /a/ > 1: Phuong trinh v6é-mghi@m—— _— _—

DATHOT GUOC GIA HA NỔI

| TRUNG TAM THÒÔNG TÍN THƯVIỆN|Ð 17

II Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác trêm

đường tròn lượng giác

Xét phương trình lượng giác cos2x=Ú se

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn

lượng giác ta được 4 cung lượng giác

Biểu diễn nghiệm của phương trình cos2x = 0 giúp ta hình dung

được cách xếp tập nghệm (gồm vô hạn phần tử) trên đường tròn

a) Ta có: sinx II 5 © sinx = aie ° 1 _ 7

b) Ta cố: cosx = 2 Sen DoEE S0, tha cá + k2n (k € Z)

19

a) Ta có: tanx = V3 © tanx = tạng exe Ÿ + km,ke Z

b) Ta có: cotx = whe cotx = — cots

v3

o cotx = cot(-F)eox= tka ke Z

Chú ý: Các đưa dấu —- vào bên trong ham lượng giác:

1) — c0sa = cos(m — a) 2) - sina = sin(-a)

3) — tana = tan(—a) 4) — cota = cot(—a)

Vi du: * — i -cos= = cos(n—=) = coset

Hướng dẫn giải

a) Ta có: sin2x = cosx © sin2x = sin(~ x)

2x=—x +k?n 2x = x—( — x) + kn

sin3x = sinx

3x =x+k2m 2x = k2m

° 8x =n-x+k2n 4x =n+k2m

x =kn

© x =-+— n kn (k € Z)

4 2

Dé 27: Gidi cdc phuong trinh: a) sinx + sin2x + sin3x = 0 b) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

Hướng dẫn giải a) Ta có: sinx + sin2x + sin3x = 0

© (sin3x + sinx) + sin2x = 0

© 2sin2x.cosx + sin2x = 0

© sin2x(2cosx + 1) = 0

sin2x = 0 sin2x = 0

© 1 ° 2m cosx = — = cosx = cos —

2 3 2x=kn x-=

keZ

«=a 3 4 kin © 4E tấu 2m eee

b) Ta có: 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

© (cos3x + cosx) + (1 + cos2x) = 0

< 2cos2x.cosx + 2cos*x = 0

<> 2cosx(cos2x + cosx) = 0 cosx = 0 cosx = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: sin”3x - eos”4x = sinf5x — cos”6x

= 1-cos6x 1+cos8x _ 1-cosl0x 1+cos12x

2 5 2 2

<= — cos6x — cos8x = — cos10x — cos12x

<= cos12x — cos6x + cos10x — cos8x = 0

tanx = 2 © tanx = tanB © x = B + km, k e Z

Chú ý: Để giải các phương trình trên, ta có thể sử dụng máy

tính bỏ túi (xem sách giáo khoa) Khi sử dụng máy tính bỏ túi, ta có:

26

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn

lượng giác ta được 4 cung lượng giác ay

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là:

x=km

x= kn (k € Z)

4

3x x=—+kn

4 Biểu diễn nghiệm trên

đường tròn lượng giác ta

được 6 cung lượng giác 0;

Đề 34: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số

y= tant — x) va y = tan2x bang nhau?

Hướng dẫn giải

—-x#c+kịm x# TT — kụ Điều kiện 4 a © : (ki, ke € Z)

T n kn

2x #—+k,n x#—+->—

Khi đó giá trị của các hàm số y = tan(T ~ x) va y = tan2x bằng

nhau khi va chi khi:

28

tan2x = tant | — x) 2% = ; —x+kn

C/ BAI TAP DE NGHI

Dap sé: a) x= =5 + kê hose x= 9 + kan (k € Z)

b) Phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

Đề 39: Giải các phương trình lượng giác

a) 2sin4x + ðcos2x = 0 b) 3cosx = 2sin2x

Đề 40: Tìm tập nghiệm x e Gs 3n) của phương trình:

sin(2x + = )— 8cos(x — =) = 1+ 2sinx 30

lồn, St, 17rì

Đáp SP ee s6: (1x; 2n; — eg gg |

Hướng dẫn: * sin(2x ee) = sin(2x + 2n tạ) = sin(2x +— 7 = cos2x

# cos(x — a ) = cos(x — 4m +5) = cos(x +5) Tm, _ my Ty age sinx

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Tương tự như trên ta có thể định nghĩa phương trình bậc

ba đối với một hàm số lượng giác

32 Cách giải

* giải (1): Đặt t = sìnx, điều kiện t e [—1; 1]

* giải (2): Đặt t = cosx, điều kiện t e [—1; 1]

* giải (3): Với điều kiện x + 5 + km, ke Z

Đặt t = tanx

+ giải (4): Với điều kiện x # km, ke Z,

Đặt t = cotx Chú ý: Các dạng đặc biệt sau:

g) qcos2x + bcosx + e = 0

* Đổi cos2x = 2cos”x — 1

31

b) acos2x + bsinx + c = 0

* Đổi cos2x = 1 —2sin®x

c) acos3x + bcos2x + ccosx + d = 0

* Đổi cos3x = 4cos” x - 3cosx

II Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là

phương trình có dạng:

asinx + beosx = c (*) Chú ý: Trong đó a, b,c e R và az0;bz0

* Trường hợp a = 0; b z 0 hoặc a #0, b = 0 thì phương trình (*)

có thể đưa-ngay về phương trình lượng giác cơ bản

Đây là phương trình lượng giác cơ bản

© sin(x + @)=

32

b) Cách 9: Phương pháp đặt an phu t = tan? Ta xét hai trường hợp:

©(b+e)£ - 2at +ce—b=0

Giải phương trình này ta được t và từ đó ta tính được x_

* Với t= V8 © tanx = V8 cox= 2 + km, ke Z

Cả hai nghiệm này đều thỏa điều kiện của phương trình

34

b) 2sin’x — 5sinx cosx — cos*x = -2 (2)

* Với cosx = 0 hay x = : + kn, thay trực tiếp vào phương trình

(2) ta được:

2—5.0-0=-2 (sai) Vậy cosx = 0 không thỏa phương trình (2)

* Với cosx # 0 hay x # s† kn, chia hai vế của phương trình (2)

cho cos*x ta được:

Với tanx = 1 xs T tke, (ke Z)

Với tanx z © tanx = tang (vdi tang = )

* Với cosx = 0 hay x = 5 + kn, thay vao phuong trinh (1), ta duge

3 - 4.0 + 0 = 0 (sai)

Vay cosx = 0 không thỏa phương trình (1)

* Với cosx # 0 hay x # 5 + kn, chia hai vế phương trình (1) cho

35

Đề 45: Giải phương trình: Qsin’x + (1 — V3) sinx cosx + (1 — v3)cos?x = 1

Hướng dẫn giải Qsin’x + (1 — V3)sinx cosx + (1 -— V3) cos*x = 1 (1)

* V6i cosx = 0 hay x = 5 + kx, thay vào phương trình (1) ta được:

2+(1- v8).0 +(1- V8).0 = 1 (sai)

Vậy cosx = 0 không thỏa phương trình (1)

* Với cosx z 0 hay x # + kn, chia hai vế của phương trình (1) cho

© cos*x — 3V3sinx cosx — 2sin’x = —2 (1)

* Với cosx = 0 hay x = ; + kn, k © Z, thay truc tiép vao phuong

trinh (1) ta duge:

0 - 3V3.0 - 2 = -2 (dung)

Vay Ke 5 + km, k e Z là nghiệm của phương trình đã cho

37

© —3V3tanx = —3 © tanx = Š Sxe=a + ke Z

Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm:

Ta có: cos3x — 4cos2x + 3cosx — 4 =0

< (4cos*x — 3cosx) — 4(2cos”x — 1) + 3eosx — 4 = 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhắc lại: Điều kiện có nghiệm của phương trình là: aŸ + bŸ > c?

b) sinx + (V3— 2)cosx = 1 ()

"Ta xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1: 5 = © + kx hay x = x + k2x Thay vao (1) ta được:

Chú ý: Nếu giải bài toán trên bằng cách chia hai vế của phương

trình cho va? + b? ta sẽ gặp nhiều phức tạp

48

Dé 53: Giải các phương trình:

a) cos7x — V3 sin7x — sinx = V3cosx

b) 2cos2x = cosx + V3sinx

Hướng dẫn giải

a) Ta có: cos7x — V3sin7x — sinx = V3cosx

© cos7x — v3sin7x = V3cosx + sinx

3

6x=—^ + k?n tn

° ° 12 2 (k € Z) 8x=— + k?n gag SE

48 4 b) 2cos2x = cosx + V3sinx

V3 sin5x + cos5x + V3cos2x = sin2x

42