Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt n
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NÔNG
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN – Vòng 1
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 30/10/2014
Bài 1 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình: ( )
= +
+ +
− +
= + +
10 )
1 ( 4 ) 1 9 (
1
1 1
9 1 3
2 2
3
2
x x
y x
x x
y xy
Bài 2 (5,0 điểm)
Cho dãy số (un) thỏa mãn:
1
2 1
5 2 1
2 2
u
u + u u
=
(n N∈ *)
Tìm
1
1 lim n
k
k= u
Bài 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H Tiếp tuyến tại B,
C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và
EF cắt nhau tại điểm S Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
b) Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Bài 4 (5,0 điểm).
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz= 2 2
8 8 2
2 4 4
8 8 2
2 4 4
8 8
≥ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
x z x z
x z z
y z y
z y y
x y x
y x
………… Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ……… Chữ ký của giám thị 1:……….Chữ ký của giám thị 2:
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK NÔNG
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN – Vòng 1
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 30/10/2014
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1
(5,0
điểm)
Giải hệ phương trình: ( 2 )
1
1
ĐK:x≥0
Nhận xét: x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
Xét x > 0
Phương trình (1) ⇔
x
x x
y y
1 9 3
⇔ 3 3 (3 )2 1 1 1 1 2 +1
+
= + +
x x x y
y
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0 Xét hàm số f(t)= t + t t2 +1, t > 0
Ta có: f’(t) = 1 +
1
1 2
2 2
+ + +
t
t
t >0 Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0; +∞)
Phương trình (3) ⇔f(3y)= f x
1
⇔3y =
x
1
Đặt g(x)= x3 +x2 +4(x2 +1) x −10, x > 0 Ta có: g’(x) > 0 với x > 0
⇒g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)
Ta có: g(1) = 0
Vậy phương trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
Với x =1⇒y =
3 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;
3
1 )
0,5 0,25
0,25 0,5 0,5
0,25 0,5
0,5 0,25 0,5 0,5 0,5
Bài 2
(5,0
điểm)
2
u + − u = u − u + ≥ ∀ ⇒ n Dãy không giảm
Nếu có số M: un ≤ M với mọi n, thì tồn tại lim un = L Vì un ≥ u1 ⇒L ≥ u1
Khi đó ta có: L =
2
1
L2 – L + 2 ⇔ L = 2 (Vô lý)
⇒ lim un = +∞
Ta có: u n2 −2u n +4=2u n+1
0,5 0,5
0,5 0,5
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Trang 3⇔ u n(u n −2)=2(u n+1 −2) ⇔
) 2 (
2
1 )
2 (
1
1 −
=
n
u
2
1 2
1 1
2
1 1
2
1
1
=
−
−
⇔
+
n n
1 1
=
∑
n
n
k u k u u
⇒
∑
=
n
k 1u k
1
2
1 1
=
−
u
0,5 0,5
1,0 1,0
Bài 3
(5,0
điểm)
X
Y
S
M
T
H
D
E F
O
A
a) Do các tứ giác BFHD DHEC, và CBFE nội tiếp nên
Suy ra DH là phân giác của góc EDF· Tương tự cũng được EH là phân giác
của góc ·DEF và FH là phân giác của góc EFD· Từ đó H là tâm đường tròn nội
tiếp của tam giác DEF.
Ta có:
( , ) .sin
2
a
tiếp tam giác XTY
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
b) Do tứ giác AFDC nội tiếp và TX tiếp xúc với ( )O nên
Suy ra TX DF|| Tương tự cũng có TY DE||
Từ đó, với k DF
TX
= thì phép vị tự tâm S tỷ số k biến tam giác DEF thành tam giác TYX
Và do đó biến H (tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF) thành M (tâm
đường tròn nội tiếp của tam giác TYX) suy ra S H M, , thẳng hàng
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4Bài 4
(5,0
điểm)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 2
8 8
2 2 4 4
8 8
2 2 4 4
8 8
≥ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+
x z x z
x z z
y z y
z y y
x y x
y x
Đặt a = x2, b = y2, c = z2 , từ giả thiết ta có: a>0, b>0, c>0 và a.b.c = 8
Do
2
2
2 b a
nên
2
) (
2
ab b
Dấu “=” xảy ra ⇔a=b
4 4
2 2
4 4
2
3
b a
b a ab b a
b a
+
+
≥ + +
+
Ta sẽ chứng minh: ( ) 3( )
1 2
3
2 2 2
2
4 4
b a b
a
b
+
+
(1)
Thật vậy: (1) ⇔ 2(a4 +b4) ≥(a2 +b2)2 ⇔(a2 – b2)2 ≥0 (luôn đúng)
3
2 2
4 4
b a ab b a
b
+ +
+
Dấu “=” xảy ra ⇔a2=b2⇔a=b
3
2 2
4 4
c b bc c b
c
+ +
+
Dấu “=” xảy ra ⇔b=c
( )
3
2 2
4 4
a c ca a c
a
+ +
Cộng các vế các BĐT trên ta được:
) (
3
2 2
4 4
2 2
4 4
2 2
4 4
c b a ca a c
a c bc c b
c b ab b a
b
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
(2) Dấu “=” xảy ra ⇔
a=b=c
3
2 a2 +b2 +c2 ≥ 3 a2b2c2 = Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c
Do đó ta có (ĐPCM) Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 2
1,0 0,5
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Ghi chú: Nếu thí sinh làm đúng theo cách khác đáp án vẫn cho điểm tối đa.
Giáo viên ra đề: Nguyễn Văn Dung