TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNGTRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - KHỐI:11 Thời gian làm bài:180 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Câu 1
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - KHỐI:11
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( )x xác định bởi : n 1 1
4
1
n
n
x
+
Chứng minh dãy ( )x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó n
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân tại A nội tiếp đường tròn ( )O Gọi
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn ( )O tiếp xúc với các cạnh1 ,
BA BC và tiếp xúc trong với ( )O tại B Đường tròn 1 ( )O tiếp xúc với các cạnh2 ,
CA BC và tiếp xúc trong với ( )O tại C 1
1 Gọi M N lần lượt là tiếp điểm của BC với các đường tròn , ( ) ( )O1 , O và2
J là giao điểm của B M , 1 C N Chứng minh rằng AJ là tiếp tuyến của các đường1 tròn ngoại tiếp các tam giác B CM C BN 1 , 1
2 Gọi S là giao điểm của BC và B C Chứng minh rằng ·1 1 AIS =900
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm : f ¥ →¥ thỏa mãn:
( )
f f n + f n =n + n+ ∀ ∈n ¥
Câu 4 (4,0 điểm) Chứng minh 1| a
a j j
b
b − + C với a, b là các số nguyên lớn hơn 1,
1
j a≤ + .
Câu 5 (4,0 điểm) Cho 10 người ngồi thành một hàng ngang Có bao nhiêu cách chia
những người này thành 3 nhóm sao cho không có 2 người ngồi cạnh nhau thuộc cùng một nhóm
HẾT
-• Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
• Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ DỮ LIỆU
Trang 2Lời giải
Câu 1 Ta có 2 1 4 3; 3 1 4 2 1; 4 1 4 2
1
f x
x
= +
+ liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1< f x( ) 5≤
4
1
n
x
suy ra dãy(x2n+1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n+1),(x2n) là các dãy hội tụ.
Giả sử limx2n =a;limx2n+1=b a b ( , ≥1)
Từ x2n+1 = f x( 2n)⇒limx2n+1 =lim (f x2n)⇒ =b f a( )
Từ x2n+2 = f x( 2 1n+ )⇒limx2n+2 =lim (f x2 1n+ )⇒ =a f b( )
Giải hệ phương trình
4 1
4 1 1
b
a
b
= +
= +
Vậy limx n =2
Câu 2
S
Q
P
I
J
C 1
N
B 1
M O A
O 1
O 2
1 Gọi J J lần lượt là giao điểm thứ 2 của 1, 2 B M C N với 1 , 1 ( )O
Ta có ∆O B M1 1 , ∆OB J1 1 là các tam giác cân tại O O , mà 1, O O B thẳng hàng nên , 1, 1 suy ra OJ1||O M Do đó 1 OJ1 ⊥BC
Chứng minh tương tự ta có OJ2 ⊥BC
Trang 3Mà J J cùng phía đối với BC nên suy ra 1, 2 J1≡J2 ≡J Suy ra J là điểm chính giữa của cung BC nên , , A I J thẳng hàng và JB JC JI= =
1
BIN =BAI =BC N suy ra tứ giác BC IN nội tiếp1 Chứng minh tương tự ta có tứ giác CB IM nội tiếp.1
Mặt khác ta có JM JB 1 =JB2 =JC2 =JN JC 1 =JI2
Vậy AJ là tiếp tuyến của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác B CM C BN 1 , 1
2 Gọi ,P Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác B CM C BN thì1 , 1
PQ⊥ AJ tại I
JM JB =JB =JC =JN JC =JI nên tứ giác MNC B nội tiếp.1 1
Gọi S1 =PQ∩BC Do PBN∆ và QCM∆ là các tam giác cân có các góc ở đỉnh bằng ·2BAJ nên chúng đồng dạng Suy ra · PBN =PNB QCM· =· =QMC· Do đó
PB QN PN QC
S B S C S M S N
đường tròn (MNC B1 1) (, ABC ) ⇒ ∈S1 B C1 1 hay PQ B C BC đồng quy tại , 1 1, S 1 S1 ≡S
Vậy ·AIS =900
Câu 3 Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài
Chứng minh được f là đơn ánh, vì vậy nếu tồn tại thì đó là hàm duy nhất.
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh f n( ) = +n 1
Nhận thấy, với n=1, đặt f ( )1 =a thì ta có: f a( ) +a2 =7 hay a=2 (do 1≤ ≤a 2
mà a=1 không thỏa mãn), suy ra f ( )1 = +1 1 và f ( )2 = +2 1
Giả sử rằng f k( ) = +k 1 với một số k∈¥ *
Theo giả thiết quy nạp suy ra f n( ) = +n 1
Thử lại thấy thỏa mãn
Câu 4 Chứng minh 1| a
a j j
b
b − + C với a, b là các số nguyên lớn hơn 1, j a≤ +1 + Chứng minh quy nạp được b n ≥ + ∀n 1, n nguyên dương
Suy ra b a ≥ + ≥a 1 j
1
0
!
a
a b
i
b
j
−
=
Với số i=0, j−1, đặt i b m= r với |b m , r là số tự nhiên.
Do j a≤ +1 nên i a≤ , suy ra r nhỏ hơn a
Trang 4Khi đó b a − = −i b a b m b b r = r( a r− −m) , hay số mũ của b trong i bằng số mũ của b
trong b a −i
Với mỗi i=1, j−1 thì số mũ của b ở tử và mẫu trong (*) là bằng nhau, vậy số mũ của b trong a
j b
C bằng a trừ số mũ của b trong j.
Do b j− 1 ≥ j nên số mũ của b trong j không vượt quá j−1, hay số mũ của b trong a
j b
C
không nhỏ hơn a− +j 1, ta có điều phải chứng minh
Câu 5 Đặt S n k là số cách chia nhóm n người thành k nhóm mà trong mỗi nhóm( ), không có 2 người liên tiếp
Sử dụng truy hồi ta được: S n k( ), =S n( −1,k − + −1) (k 1) (S n−1,k) ( )*
(Xét nhóm có n – 1 người trước đó, với S n( −1,k) và S n( −1,k −1) tương ứng là số cách phân chia thành k và k – 1 nhóm thỏa mãn, ta thêm 1 người, sẽ được nhóm n người.
Xét cách chia nhóm này thành k nhóm thỏa mãn.
Người này có thể đứng 1 mình 1 nhóm, số cách là S n( −1,k −1)
Người này có thể thêm vào nhóm không có người thứ n – 1, có k – 1 nhóm như vậy, trong trường hợp này có (k −1) (S n−1,k) cách)
Áp dụng (*) với n=10,k =3 ,vào bài toán ta được:
(10,3) ( )9,2 2 9,3( ) 1 2 ( )8,2 2 8,3( ) 1 2 4 ( )7,2 2 7,3( )
=1 2 4 8 7,3+ + + S( ) = + + + +1 2 4 8 16 6,3S( ) = + + + + +1 2 4 8 16 32 5,3S( )
8
(Chú ý rằng: S n( ),2 =1 , do chỉ có 1 cách chia 2 nhóm xen kẽ nhau)