Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK.. Chứng m
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN, TỈNH LAI CHÂU
ĐỀ THI ĐÈ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 11
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( )a ,n 1n ≥ thỏa mãn a1 1,an 2n 3a ,n 2n 1
−
i 1
=
giới hạn đó
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H Cho K là một điểm tùy ý trên cạnh BC (K khác B, C) Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK Chứng minh rằng M, H, N thẳng hàng
Câu 3 (4,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz 1= Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 4 4
P
Câu 4 (4,0 điểm) Trong một cuộc hội nghị, mỗi đại biểu bắt tay ít nhất 6 đại biểu
khác Người ta đếm được tất cả 97 lần bắt tay Hỏi hội nghị đó có tối đa bao nhiêu đại biểu
Câu 5 (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n > 1 thỏa mãn 3n −1 chia hết cho n Chứng minh rằng n là số chẵn
HẾT
Người ra đề
Lê Thành Trung
(Điện thoại liên hệ: 01642 222 400)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN, LỚP: 11 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang
điểm đã định
1
(4,0 điểm) Ta có 2nan =(2n 3 a− ) n 1− ⇔an 1− =2 n 1 a( − ) n 1− −na ,n 1n >
i 1
=
=∑ − + = − + 1,0
1
n
≤ ≥ Thật vậy:
- Với n = 1, ta có a1 =1 nên khẳng định đúng
- Giả sử khẳng định đúng với n (n 1≥ ) Ta có
+
+ − −
2n 1 n 1 2n n
−
+ ÷ ÷ + +
⇔ − + + ≤ ⇔ ≤
Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n + 1
Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh
1,0
1
− ≤ − + = ≤
Trang 3(4,0 điểm)
Gọi L là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (BKF) và (CKE)
thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (BFK) và (CEK)
Suy ra A, L, K thẳng hàng
1,0
Tương tự N, H, L thẳng hàng Từ đó suy ra M, H, N thẳng
3
(4,0 điểm) Đặt
số dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của
5 5 5 5 5 5
P
1,0
2 2
1,0
Tương tự ta có:
;
+ + + + + + + +
1,0
Trang 4(4,0 điểm) Ta xây dựng đồ thị G với đỉnh là các đại biểu, còn hai đỉnh
bất kỳ được nối với nhau bằng cạnh khi và chỉ khi hai đại biểu tương ứng của hai đỉnh đó bắt tay với nhau
Theo bổ đề bắt tay, trong một đồ thị, tổng số bậc của các
5
(4,0 điểm) Gọi p là ước nguyên tố bé nhất của n Ta có p 3
= 3 thì 1 pM vô lí) Do 3n −1 nM nên 3n −1 pM hay
n
1,0
Xét khai triển sau: n kd r= + với 0 r d 1≤ ≤ − Ta có
n r
3 ≡3 mod p ⇒ ≡3r 1 mod p( ) Suy ra r 0= Do đó n dM
1,0
Do p là số nguyên tố, nên theo định lí Fermat nhỏ, ta có
p 1
Có hai khả năng xảy ra:
a) d > 1: Gọi q là ước nguyên tố của d Vì n dM nên n qM
p 1 d
⇒ − ≥ ⇒ > ⇒ >p d p q Điều này mâu thuẫn với cách chọn p là ước số nguyên tố bé nhất của n Do vậy khả năng này không xảy ra
b) d 1= : Từ 3d ≡1 mod p( ) ⇒ ≡3 1 mod p( ) ⇒ =p 2 Do p = 2
là ước nguyên tố của n, suy ra n chẵn (đpcm)
1,0
… HẾT …