Ta thực hiện tô màu cho bảng như sau: hai ô của bảng được tô màu đỏ, các ô còn lại được tô màu xanh lá.. Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách này có thể thu được từ cách kia khi
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG TỈNH PHÚ THỌ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 11
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm) Cho dãy số thực x n được xác định như sau
0
2 1
1
, 0.
2016
n
n n
x
x
Chứng minh rằng 2016 2015
1
2
x x
Câu 2 (4 điểm) Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại hai điểm B C, và BC là
đường kính của đường tròn O1 Vẽ tiếp tuyến của đường tròn O1 tại điểm Ccắt đường tròn O2 tại điểm thứ hai là A Đường thẳng ABcắt đường tròn O1 tại E, EB Đường thẳng CE cắt đường tròn O2 tại F, F C Giả sử H là một điểm bất kì trên đoạn thẳng
AF Đường thẳng HE cắt đường tròn O1 tại G và đường thẳng BG cắt đường thẳng AC
tại D Chứng minh rằng AH AC
HF CD
Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn phương trình
x 1 P x x 2016 P x 1
Câu 4 (4 điểm) Xét bảng ô vuông 7 7 Ta thực hiện tô màu cho bảng như sau: hai ô của bảng được tô màu đỏ, các ô còn lại được tô màu xanh lá Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách này có thể thu được từ cách kia khi xoay vòng bảng ô vuông đó trên mặt phẳng Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu khác nhau cho một bảng ô vuông như vậy?
Câu 5 (4 điểm) Cho 0 a1 a2 a n 2n là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ
nhất của hai số bất kì trong chúng đều lớn hơn 2n Chứng minh rằng 1
2 3
n
a
( x là kí hiệu phần nguyên của số thực x)
HẾT
Người ra đề
Trần Thị Kim Diên 0983496088
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN, LỚP: 11 Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã định.
1 Cho dãy số thực n
x được xác định như sau
0
2 1
1
, 0.
2016
n
n n
x
x
Chứng minh rằng 2016 2015
1
2
x x
4.0
Trước hết, ta chứng minh 0 x n 1, n 1.
+ Với n 1 ta có 1
1
2016
x
+ Giả sử 0 x k 1 Ta đi chứng minh 0 x k1 1 Thật vậy
1
2016
0 2016
k
x vì 0 x k 1 và 1 2 0 1 1
2016
k
x
x x x x
1.0
1
x x x x x x (*)
Từ đó ta có
2015
x x
2015
x x
…
2015
x x
1
1
2015
x
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có
2015
2015
2015
2015 1
2
x
x
1.0
Cũng từ
1
2016
x x x ta có
0 1
1 2016
n i
Áp dụng bất đẳng thức
2
k
a a a a a a với a a1 , , , 2 a k 0 ta có
1.0
Trang 3
2016 0
1
0
n i
i i
Cho n 2015 ta được 2016
2016
2
2
x
x Vậy 2016 2015
1
2
x x
2 Cho hai đường tròn 1
O và O2 cắt nhau tại hai điểm B C, và BC là đường kính của đường tròn O1 Vẽ tiếp tuyến của đường tròn O1 tại điểm C cắt
đường tròn O2 tại điểm thứ hai là A Đường thẳng AB cắt đường tròn
O1 tại E , EB Đường thẳng CE cắt đường tròn O2 tại F, F C Giả
sử H là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AF Đường thẳng HE cắt đường
tròn O1 tại G và đường thẳng BG cắt đường thẳng AC tại D Chứng
minh rằng AH AC
HF CD
4.0
D E
A
B
C
F
H
G
Vì BC là đường kính của đường tròn O1 và ACD là tiếp tuyến nên
90 0
BCAD ACB Do đó AB là đường kính của O2
Ta lại có
BEC AB CF FAB CAB
1.0
Nối CG, ta có CGBD Suy ra ADB BCG BEG AEH
Xét tam giác AHE và tam giác ABD có:
+HAE BAD
+AEH ADB
Suy ra hai tam giác AHE và ABD đồng dạng Do đó
AH AB
AH AD AB AE
AE AD
1.0
Mặt khác AC là tiếp tuyến của đường tròn O1 nên AC2 AE AB.
Suy ra AH AD AE AB AC 2 AC AF.
Vì vậy AH AC
AF AD
1.0
AF AD AH HF AC CD HF CD
1.0
3
Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn phương trình
x 1 P x x 2016 P x 1 (1)
4.0
Trang 4Xét phương trình x a P x x b P x 1(*) với b a 1.
Cho x a ta có P a 1 0
Cho x b ta có P b 0
Suy ra P x x b x a 1 Q x
Thay vào phương trình (*) ta có
x a x b x a 1 Q x x b x 1 b x a Q x 1
Suy ra x a 1 Q x x b 1 Q x 1
1.0
Từ phương trình (1) ta thực hiện quy nạp ta có
2016 1 2015 1007 1009
P x x x x x x x Q x
Thay vào (1) ta thu được
x 1007 Q x x 1008 Q x 1 (2)
1.0
Từ (2) ta có Q1008 0 Q x x 1008 R x
Thay vào (1) ta có R x R x 1
1.0
+ Nếu R x là đa thức 0 thì R x thỏa mãn (3)
+ Nếu R x không phải là đa thức 0; giả sử deg ( )R x n
Từ giả thiết: R 0 R(1) R(2) R n( ) R n( 1)
Suy ra R i( ) R(0) 0; i 1;n 1
Như vậy 1, 2, ,n 1 là n 1 nghiệm của đa thức K x R x( ) R(0)
Mà degK( )x n K x( ) 0 R x( ) R(0)
Do đó R x( ) a với a const
Vậy
2016 0
k
P x a x k
1.0
4
Xét bảng ô vuông 7 7 Ta thực hiện tô màu cho bảng như sau: hai ô của
bảng được tô màu đỏ, các ô còn lại được tô màu xanh lá Hai cách tô màu
được coi là như nhau nếu cách này có thể thu được từ cách kia khi xoay
vòng bảng ô vuông đó trên mặt phẳng Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô màu
khác nhau cho một bảng ô vuông như vậy?
4.0
Trang 5Ta có 2
C cách chọn vị trí cho hai ô tô màu đỏ
Bảng có 49 ô vuông, ta coi ô vuông ở giữa là tâm của bảng
Nếu hai ô tô màu đỏ nằm ở hai vị trí không đối xứng nhau qua tâm của bảng
thì sẽ có bốn cách tô màu được coi là như nhau Ví dụ bốn cách tô màu như hình minh
họa sau được coi là một.
1.0
Nếu hai ô tô màu đỏ nằm ở hai vị trí đối xứng nhau qua tâm của bảng thì sẽ
có hai cách tô màu được coi là như nhau Ví dụ hai cách tô màu như sau
được coi là một
1.0
Ta có tất cả 49 1 24
2
cặp ô vuông đối xứng nhau qua tâm của bảng 1.0
Như vậy ta có số cách tô màu cho bảng là 1176 24 24 300
0 a a a n 2n là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ nhất
của hai số bất kì trong chúng đều lớn hơn 2n Chứng minh rằng 1
2 3
n
a
( x là kí hiệu phần nguyên của số thực x ).
4.0
Rõ ràng, trong các số trên không tồn tại cặp số nào mà số này chia hết cho số
kia (vì nếu trái lại thì bội chung nhỏ nhất của chúng nhỏ hơn hoặc bằng 2n)
Ta viết 2t k
a A với A k là số lẻ Ta thấy các giá trị A k là phân biệt Thật
1.0
Trang 6vậy, nếu tồn tại A i A j A thì lcm , 2t i 2
a a A a n hoặc
a a A a n mâu thuẫn với giả thiết
Mặt khác từ 1 đến 2n ta có n số lẻ phân biệt Do đó các giá trị A k là các số
lẻ từ 1 đến 2n theo một thứ tự nào đó
Xét 1
a A
Nếu 1
2
3
n
a thì 1
3a 2 3t A 2n 3A 2n Do đó 3A1 là một số lẻ nhỏ hơn
2n, tức là 3A1 A j nào đó
1.0
Như vậy 2 3t j 1
j
a A Khi đó 1
lcm , 2 3t 3 2
j
a a A a n mâu thuẫn với giả thiết hoặc lcm 1 , 2 3t j 1 2
a a A a n, mâu thuẫn với điều giả sử
1.0
Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có 1
2 3
n
a
