Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có 3 đỉnh cùng màu.. Giải hệ 2 ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi k>0 suy ra không tồn tại n chẵn.. Vậy không tồn tại n chẵn để [xn]+3 là
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
LỚP 11 Thời gian:180 phút (Không kể thời gian giao đề)
x = x = x + = x x − − x −
Tìm n chẵn thỏa mãn n N và∈ * [ ]x n +3 là lập phương của 1 số tự nhiên.
Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC , đường tròn tâm O bàng tiếp góc A tiếp xúc
với cạnh BC , CA, AB lần lượt tại T, F, E Hai đường thẳng BE, CF cắt nhau tại I a) Chứng minh A, I, T thẳng hàng
b) Vẽ đường tròn tâm O khác đường tròn bàng tiếp góc A ở trên cắt đoạn
AB,AC tại M, N; cắt đường thẳng BC tại A , 1 A2 với A 1 thuộc tia đối BC, 2
A thuộc tia đối CB A 1M cắt A 2N tại K Chứng minh rằng K nằm trên đường thẳng AI
Câu 3 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn :
f x( ) − f y( ) ≤ − (x y) 2 ∀x y, ∈ ¤
Câu 4 (4 điểm): Trên một mặt phẳng có tất cả các điểm được tô bởi 3 màu đỏ,
trắng, vàng
Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có 3 đỉnh cùng màu
Câu 5 (4điểm): Xác định tất cả các tập S Thỏa mãn:
……… HẾT ………
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
1 Cho dãy số
n
x = x = x + = x x − − x −
TÌm n chẵn thỏa mãn n N và∈ * [ ]x n +3 là lập phương của 1 số tự nhiên
Đáp án:
Nhận xét thấy :
2 1
2 1
4
2
−
−
+
+
n
n
4
2
k k
k
+
= 22 1 2 14
2
+
+ +
k
k suy ra (1) đúng
2 1
4
2
−
−
+
+
n
n
2,0
Khi đó [ ] + =3 22n−1+1+3
n
x , giả sử tồn tại n chẵn để [ ]x n +3là lập phương của 1 số
tự nhiên:
Khi đó 22n−1+1 + =3 3
c Mặt khác n chẵn suy ra n−1 lẻ suy ra 2n−1+1 3M khi đó đặt
1
2 1 3
2 n−+ = 2k⇒23k+3=c3⇒(c-2k)(c2+c.2k+22k)=3 mà c2+c.2k+22k> c-2knên:
c-2k=1; c2+c.2k+22k=3(2) Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi
k>0 suy ra không tồn tại n chẵn
Vậy không tồn tại n chẵn để [xn]+3 là lập phương của một số tự nhiên
2,0
2 Cho tam giác ABC , đường tròn tâm O bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC , CA,
AB lần lượt tại T, F, E Hai đường thẳng BE, CF cắt nhau tại I
c) Chứng minh A, I, T thẳng hàng
d) Vẽ đường tròn tâm O khác đường tròn bàng tiếp góc A ở trên cắt đoạn
AB,AC tại M, N; cắt đường thẳng BC tại A , 1 A2 với A 1 thuộc tia đối BC, A 2 thuộc tia đối CB A 1M cắt A 2N tại K Chứng minh rằng K nằm trên đường thẳng AI
Đáp án:
Trang 3a) Cần chứng minh AT, BF ,CE đồng quy Áp dụng định lí Ceva với tam giác
ABC
TB FC EA
TC FA EB = suy ra A,I,T thẳng hàng.
2 đ
b) A 1B BM A C CN= , 2 =
+
1
Cần chứng minh AM=AN
Ta có AO vuông góc với MN suy ra tam giác AMN cân dẫn đến AM=AN
1 2
2 đ
3 Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn :
f x( ) − f y( ) ≤ − (x y) 2 ∀x y, ∈ ¤
Đáp án
Thay x bởi
2
x y+ : ta được
2
Thay y bởi
2
Khi đó f x( )− f y( ) ≤ f x( )− f(x y+ ) + f(x y+ ) f(y)− ≤ (x y− )2 .
4 đ
Trang 4Khi đó bằng phương pháp quy nap ta chứng minh được
2
2n
x y
f x − f y ≤ − → khi n→ +∞ ∀x y, ∈¤.
Suy ra f x( ) − f y( ) = ⇒ 0 f x( ) = f y x y( ) ∀ , ∈ ¤
( )
Thử lại thấy hàm f(x)=C thỏa mãn
Vậy hàm số f(x) cần tìm là f(x)=C
4 Trên một mặt phẳng có tất cả các điểm được tô bởi 3 màu đỏ, trắng, vàng
Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có 3 đỉnh cùng màu
Đáp án:
Nhận xét: Trong một ngũ giác đều, tam giác có 3 đỉnh thuôc 6 điểm gồm 5 đỉnh của ngũ giác và tâm ngũ giác đều là tam giác cân
Trở lại bài toán: Xét ngũ giác đều ABCDE có tâm O khi đó :
TH1: nếu tồn tại 3 trong 6 điểm A,B,C,D,E,O cùng màu ví dụ như A,B,C thì ta
được tam giác A,B,C có 3 đỉnh cùng màu⇒đpcm
TH2:không có 3 điểm trong 6 điểm A,B,C,D,E,O cùng màu Khi đó một màu được
tô cho 2 điểm Giả sử A và O cùng màu khi đó xét đường tròn (O;OA) :
+ nếu tồn tại một điểm F thuộc (O) mà F cùng màu với O và A thì ta có tam giác
AOF cân ⇒đpcm.
+không tồn tại điểm nào trên (O) cùng màu với A và O, khi đó xét ngũ giác đều
A’B’C’D’E’ (A≠A’,B’,C’,D’,E’) khi đó 5 đỉnh của ngũ giác trên chỉ được tô bởi 2
màu nên theo nguyên lí Đirich lê tồn tại 3 đỉnh cùng một màu, ví dụ A’,B’,C’ khi
đó ta được tam giác cân có 3 đỉnh cùng màu⇒đpcm
Vậy luôn tồn tại 1 tam giác cân trong mặt phẳng có 3 đỉnh cùng màu(đpcm)
4 đ
5 Xác định tất cả các tập S Thỏa mãn:
4 đ
.CM
Trang 5⇒ r1∈S
Xét ( ; )b r1 ∈ ⇒ = −S r2 b r q1 2∈S.Theo quy nạp suy ra r k+1∈S
Giả sử
0
Vậy S =Z
Nếu không tồn tại x S x∈ ;( ;5) 1 = ⇒
.Xét a n∈S
⇒ a n− ∈ ⇒ − 5 S a n 2.5 ∈ ⇒ ⇒ ∀S kM 5;k a≤ n ⇒ ∈k Skhi đó xét hàm f(an) như trên ta được:
Vậy S=Z và S=5k(k Z∈ ) là 2 tập S cần tìm(đpcm).
Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương.
Người ra đề thi
Nguyễn Ngọc Xuân
Số ĐT: 0978119118