Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I.. Gọi M, K lần lượt là các trung điểm các cạnh AC và AB, P là giao của các đường thẳng MK và CI.. a Chứng minh rằng các điểm D, F, P thẳng hà
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH SƠN LA
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN – KHỐI 11
Thời gian làm bài: 180 phút (Đề này có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho p∈¥*,a>0 và a1 >0 Xét dãy số ( )a được xác định bởi: n
1 ( 1)
n
a
, với mọi n ≥ 1 Chứng minh dãy số ( )a có giới hạn hữu hạn khi n n→ +∞. Hãy tìm giới hạn đó.
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các cạnh BC, CA, AB lần
lượt tiếp xúc với đường tròn (I) tại D, E, F Gọi M, K lần lượt là các trung điểm các cạnh AC và
AB, P là giao của các đường thẳng MK và CI
a) Chứng minh rằng các điểm D, F, P thẳng hàng
b) Gọi Q là điểm thỏa mãn QP ⊥MK và QM BIP Chứng minh rằng QI ⊥ AC.
Câu 3 (4,0 điểm) Cho x y z , , là các số thực dương thỏa mãn x2+ + + + + y2 z2 ( x y z )2≤ 4
3
Câu 4 (4,0 điểm) Cho một sự bố trí vòng tròn quanh ba cạnh của một tam giác, một vòng ở mỗi
góc, hai vòng ở mỗi cạnh, mỗi số từ 1 đến 9 được viết vào một trong những vòng tròn này sao cho
i Tổng của 4 số ở mỗi cạnh là bằng nhau
ii Tổng của bình phương của 4 số trên mỗi cạnh của tam giác là bằng nhau
Tìm tất cả các cách thỏa mãn yêu cầu này
Câu 5 (4,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho:
( ) (2 3) (2 3 ) (2 3 ) (2p 3 ) (2p p 3 )p
f p = + − + + + − − − + − + + chia hết cho 5
Hết
-Người ra đề
Lưu Thế Dũng Sđt liên hệ: 0915081886
HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 2MÔN: TOÁN – KHỐI 11
Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang điểm
đã định.
1
(4,0 điểm)
* Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1
1
p
−
−
1 4 4 2 4 43
, với ∀ ≥n 1 (1) 1,0
Do đó:
1 ( 1)
n p
a
n
−
1,0
Từ (1) và (2) ta có dãy số ( )a giảm và bị chặn dưới bởi n p
a ;
suy ra dãy số ( )a có giới hạn hữu hạn khi n n→ +∞ Giả sử limn a n L
→+∞ = ; ( p
Chuyển qua giới hạn hệ thức 1 1
1 ( 1)
n
a
1,0
ta có phương trình 1 ( 1) 1 p ( 1) p
p
a
⇔ L p = ⇔ =a L p a (thỏa mãn điều kiện)
Vậy limn a n p a
→+∞ = .
1,0
2
(4,0 điểm)
Hình vẽ
a) (2,0 điểm)
Kéo dài AP cắt CB tại S Vì M, K là các trung điểm AC và AB nên P là
+ Trong tam giác CAS có CP là trung tuyến và phân giác nên CA CS=
+ Đặt p= AB BC CA+ + Có AF = −p BC (1)
0,5
Trang 3+ SD CS CD CA= − = −( p AB− ) = AB AC p+ −
AB BC CA BC p= + + − − = −p BC
⇒ = − , (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AF =SD Chú ý : BD BF PA PS= , =
0,5
+ Trong tam giác ABS có FA DB PS 1
b) (2,0 điểm)
Có CI là trung trực của ED nên tam giác PDE cân tại P
+ Giả sử Q là điểm thỏa mãn 1 Q M BI Q I1 P , 1 ⊥ AC suy ra Q, I, E thẳng
hàng
0
90
2
B
⇒ = − = , (3)
0,5
,
2
B
+ Từ (3) và (4) suy ra tứ giác PMEQ nội tiếp 1
⇒QI ⊥ AC.
0,5
+ Suy ra Q1≡Q tức QI ⊥ AC. Suy ra điều phải chứng minh 0,5
3
(4,0 điểm)
Theo giả thiết ta có: 2 x ≥ +2 y2 + + z2 xy yz zx + + Khi đó:
2
2
1
xy xy x y z xy yz zx
x y z x y x z x z y
1,0
Hay ta được : 12 ( )( 2 )
Tương tự ta có: 12 ( )( 2 )
12 ( )( 2 )
0,5
Cộng tương ứng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) và áp dụng bất đẳng thức 1,0
Trang 4Côsi ta có:
2
3
z x z y x y x z y z y x
3
z x z y x y x z y z y x
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1
3
x y z = = =
1,0
4
(4,0 điểm)
- Lấy bất kỳ một sự bố trí các con số, gọi , ,x y z là số ở trong góc và S S 1, 2
lần lượt là tổng của bốn số, tổng của bình phương bốn số trên một cạnh bất
kỳ Do điều kiện đã cho ta có:
9 1
1
k
=
= + + +∑ = + + + (1)
9
2
1
k
=
1,0
- Từ đẳng thức (2) ta suy ra , ,x y z hoặc tất cả chia hết cho 3 hoặc không có
số nào chia hết cho 3 Bởi nguyên lý Pigeouhole có hai số là đồng dư mod3 Lấy phương trình (1) theo mod3 ta cũng suy ra 3 | (x y z+ + ) Do đó
(mod 3)
- Nếu ( , , ) (3,6,9)x y z = hay (1,4,7) thì S2 =137 hoặc 17.
1,0
- Nếu S2 =137 thì S2 ≡1(mod3) suy ra chỉ có một số trên 3 cạnh là lẻ Điều này không thể vì 5 3> số lẻ được viết trong mỗi khe
Vì thế ( , , ) (2,5,8)x y z = và S2 =126
- Vì 92+ >82 126 nên 9 không thể nằm cùng cạnh với 8, tức nó nằm trên cạnh chứa 2 hoặc 5
1,0
- Vì min 7{ 2 +9 ;72 2 + +52 82} >126, nên số 7 phải nằm trên cạnh chứa số 2 hoặc 8
- Như vậy 4 lần các số trên 3 cạnh phải là (2, 4,9,5); (5,1,6,8); (8,7,3,2) để cho tổng bình phương các số trên mỗi cạnh bằng 126 Cuối cùng ta thử lại các bộ số trên đều thỏa mãn
1,0
5
(4,0 điểm)
Rõ ràng với k lẻ thì:
(2k +3k) M5 (1)
0.5
Trang 5- Thật vậy (1) đúng khi k=1 vì lúc đó 21+ =31 5 5M
- Giả sử (1) đúng khi k =2n+1, tức:
(22n+ 1+32n+ 1) M5
- Xét khi k =2(n+ + =1) 1 2n+3 Ta có:
2 n+ +3 n+ =2 2 n+ +3 3 n+ =4.2 n+ +9.3 n+
=5.22n+ 1+10.32n+ 1−22n+ 1−32n+ 1
=5 2( 2n+ 1+2.32n+ 1) (− 22n+ 1+32n+ 1) (*)
Từ (*) và giả thiết quy nạp suy ra (22n+ 1+32n+ 1) M Vậy (1) cúng đúng khi5
Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng với mọi k lẻ Từ đó suy ra:
1,0
1 2
1
p
i
f p
−
=
Để ý rằng 32i ≡ −( 2)2i ≡2 (mod 5)2i Vì thế từ (2) suy ra:
f p
M M M ; (do (2,5) 1= ) (3)
1,0
Lại có 22i ≡ ≡ −4i ( 1) (mod5)i nên từ (3) ta có:
1 2 1
1
2
p
i i
p
−
=
Vậy ( )f p chia hết cho 5 khi và chỉ khi số nguyên tố p có dạng p=4k+1 0,5
