Tuyển tập bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong các năm học vừa qua. Đề thi học sinh giỏi môn toán tỉnh Ninh Bình năm học 20152016. Đề đã được kiểm tra và đánh giá. Đề luôn đảm bảo chất lượng và nội dung.
Trang 1SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG THPT
Năm học 2015 – 2016 MÔN: TOÁN
Ngày thi 06/10/2015
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
1
(5,0
điểm)
Điều kiện xác định: x [-2;2], y [0;4] 0,5
Ta có (1) x3 12xy 2 3 12 y 2 0,5 Xét hàm số f (t) t 3 12t, t 2;2 0,5
Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên 2;2 0,25 Mặt khác x và y 2 cùng thuộc đoạn 2;2 0,25 (1) f (x) f (y 2) x y 2 0,25 Thay vào (2) ta có phương trình 3 4 x 2 4x2 m (4) 0,5
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
Đặt g(x) 3 4 x 2 4x , x [ 2;2]2 0,25
g '(x) 0 x 0
x [ 2;2]min g(x) 16; max g(x) 6x [ 2;2]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 16 m 6 0,5
2
(5,0
điểm)
+ Giả sử 2 un n 2 0 với n,n 1 Ta chứng minh n 1
n 1
2 u 2 0
n
2 2 u 2 1 2
n
2 2 u 2 0
Suy ra: 2 un n 2 0 n 0,5
Trang 2n n
2 u 2 u 1 n 1 n 1n
2
2 2
n
n 1
1
2
1 2
0,5
n
lim u 2013
3
(6,0
điểm)
-Ta có các bộ 4 điểm sau đồng viên:
(X,Y,N,B)(Y,M,T,N)(T,N,Z,C)(A,X,N,Z) 1,0 Bốn điểm X, Y, Z, T đồng viên hoặc thẳng hàng
YX,YT ZX, ZT
YX,YN YN,YT ZX, ZN ZN, ZT
BX,BN MN,MT AX,AN CN,CT
BA,BN AN,MC AB,AN CN,CM
BA,BN AN,AB AN,MC CM,CN 0
AN,BN AN,CN 0
2 AN,CN 0
AN,CN
2
4
(4,0
điểm)
sinh nào ngồi cạnh nhau có cùng loại đề thi (n N,n 2 ), ta có: S 2 = 20,
S 3 = 60.
0,5
Với n 4 , giả sử A và C là hai học sinh ngồi cạnh học sinh B Xảy ra các
trường hợp sau:
+ A và C nhận được hai đề khác nhau: Khi đó ta có 3 cách phát đề cho B,
A
Z
C N
B X
Y M T
Trang 3suy ra số cách phát đề trong trường hợp này là 4S n-2
n n n
S 4 1 4 n N,n 2
Hết
-Chú ý
1) Điểm bài thi không làm tròn
2) Học sinh có cách giải khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa