Mục đích nghiên cứu Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau từ đó chọn được một phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phù hợp nhất đối
Trang 1RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
A M Ở ĐẦ U
1 Lý do chọn đề tài
Những kiến thức lượng giác đặc biệt là phương trình lượng giác (PTLG) là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và trong Đại số
và giải tích 11 nói riêng Trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng thường xuyên có mặt dạng toán giải PTLG, trong đó loại PTLG có điều kiện thường làm cho học sinh bối dối Đa số các em gặp khó khăn trong khâu kết hợp nghiệm của phương trình hệ quả với điều kiện của phương trình ban đầu
Đặc thù của PTLG thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho một PTLG có thể có những hình thức biểu diễn khác nhau Dung lượng kiến thức ở phần này tương đối lớn, số lượng tiết học trên lớp chỉ đảm bảo cho các em nắm vững kiến thức cơ bản Để giải quyết tốt các đề bài PTLG có điều kiện ở mức độ thi đại học và cao đẳng, học sinh cần tìm tòi thêm và phải liên hệ tốt với kiến thức về công thức lượng giác
Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điều kiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu
và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:
“RÈN LUY Ệ N K Ĩ N Ă NG K Ế T H Ợ P NGHI Ệ M VÀ Đ I Ề U KI Ệ N TRONG
PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC CÓ Đ I Ề U KI Ệ N”
2 Mục đích nghiên cứu
Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau từ đó chọn được một phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phù hợp nhất đối với mỗi bài toán PTLG cụ thể Qua đó có thể rút ngắn đáng kể thời gian để có được lời giải trọn vẹn, ngắn gọn, mạch lạc
3 Phương pháp nghiên cứu
+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học
+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán phương trình lượng giác có điều kiện Từ
đó đề xuất các phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm
4 Phạm vi nghiên cứu
Trong việc giải PTLG có điều kiện có thể có nhiều phương pháp kết hợp
Trang 2tổng hợp và đúc kết những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này mà chủ yếu là đối với học sinh đang học lớp 11
5 Điểm mới của chuyên đề
Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kỹ năng kết hợp nghiệm và điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Đặc biệt là cố gắng giúp học sinh nhận định được nên áp dụng phương pháp nào cho mỗi bài toán cụ thể Chuyên đề cũng chú ý rèn luyện cho học sinh biết kết hợp các phương pháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong một bài toán phương trình lượng giác
Trang 3
B N Ộ I DUNG
I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ
BIẾN:
1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác:
1.1 Kiến thức cơ sở:
Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:
Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác
Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau
sin 0
2 0
cos 0
a sin a
a
=
= ⇔
=
sin 0
2 0
cos 0
a sin a
a
≠
≠ ⇔
≠
2 sin a= ⇔ 0 cosa= ± 1; 2
sin a= ⇔ 1 cosa= 0
2
sina≠ ⇔ 0 c aos ≠ ± 1; c aos ≠ ⇔ 0 sina≠ ± 1
1.2 Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)
Giải phương trình
(1 sin os2 )sin
1 4
cos
x
π
+ Lời giải:
Điều kiện:cosx≠0 sinx≠ ±1
⇔
Trang 4Khi đó
(1 sin os2 )sin
1 4
cos
x
π
4
4
( ) ( ) ( )
2
2
.2
sin
7 2
.2 6
π π
π π
= −
= − +
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)
Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4
2
x
Lời giải: Điều kiện
2
x
x c
Ta có
sin
cot sin 1 tan tan 4 s inx 1 4
2
x
x
x c
⇔ cos s inx cos os2 s inx.sin 2 4 cos s inx 4
x c
+
Trang 5( )
x
k Z
Ví dụ 3: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 11/2009)
cosx+ sin 2x = sin 4x
Lời giải:
Điều kiện
2
sin
2
x
cosx+ sin 2x = sin 4x
1 sin
2
x
x
=
sin
5 2
.2 6
π π
π π
= +
= +
Vậy phương trình có nghiệm là 6 .2 ( )
5 2 6
π π
π π
= +
∈
= +
Trang 6Ví dụ 4: (Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán_Tập 2 _Trần Phương)
Giải phương trình
4 sin 2 os 2
os 4 tan tan
π + π =
Lời giải:
Điều kiện
4
4
x
π
π
, do đó phương trình đã cho trở thành
2
1
2
x
=
2
x= ⇔ =x kπ k∈Z
Ví dụ 5: Giải phương trình
sin 2 os 2 1
0 sin cos
Lời giải: Điều kiện sin 2x> 0
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
2
x
=
=
x= ⇔ x= +π k π ⇔ = +x π kπ k∈Z
Trang 7Các bài tập tương tự
1/
2
2
os os 1 os2 tan
os
c x
3/ c otx t anx 4 sin 2 2
sin 2
x
x
x
π
5sinx− = 2 3 1 sin − x tan x (2004_B)
Trang 82 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập
2.1 Kiến thức cơ sở
+ Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác
sin α +k2 π = sin α ∀ α; cos(α +k2 π)=cos α ∀ α;
tan α +kπ = tan α ∀ α ; cot(α +kπ)= cot α ∀ α
+ Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (sách giáo khoa Đại số 10)
2.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Giải phương trình cos3 tan 5x x= sin 7x
Lời giải: Điều kiện cos5x≠ 0
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
2 sin 5 os3 2 sin 7 os5 sin 8 sin12
20 10
k x
k x
π
π π
=
= +
Với
2
k
x= π thì
5
Với
k
x= π + π thì
k
k
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)
Giải phương trình 1 s in2x+ cos 22 2 s inx sin 2
1 c ot x
x
x
+
Lời giải: Điều kiện sinx≠ ⇔ 0 cosx≠ ± 1
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Trang 9( )
sin 1 sin 2 os2 2 2 sin cos 1 2 sin cos 2 os 1 2 2 cos
cos 0 /
2 cos s inx cos 2 0
s inx cos 2 *
x
Giả sử sinx= ⇔ 0 cosx= ± 1, khi đó ( )* ⇔ ± = 0 1 2 (vô lí)
Do đó phương trình tương đương với
2
2 4
4
x
π π
π
=
− = = +
Vậy phương trình có nghiệm là 2 ( )
2 4
π π
π π
= +
∈
= +
Ví dụ 3: Giải phương trình
3s inx 2 cos 3 1 t anx
cos
x
x
Lời giải: Điều kiện c xos ≠ ⇔ 0 sinx≠ ± 1
Khi đó
1 3s inx 2 cos 3 1 t anx cos 3s inx 2 cos 3 cos s inx 1
cos cos 3s inx 2 cos cos 3s inx 2 cos 1
cos 3s inx 2 cos 1 3s inx 2 cos 1 0
3s inx 2 cos 1 cos 1 0
3s inx 2 cos 1 0 2
x
x
x
( )1 ⇔ cosx= 1 thoả mãn điều kiện, do đó ta được x=k2 , π k∈Z
Tiếp theo giả sử c xos = ⇔ 0 sinx= ± 1, thay vào (2) ta được ± − = 3 1 0(vô lí)
Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện
Giải (2) ta được ar os 1 2
13
Trang 10Vậy phương trình có nghiệm
2
1
13
x k
k Z
π
=
Trang 11Ví dụ 4: Giải phương trình
2
2
tan t anx 2
sin
x
x x
π
= +
Lời giải: Điều kiện c xos ≠ ⇔ 0 sinx≠ ± 1
Khi đó
2
2 2 2
2
1 sin cos s inx s inx cos 2 s inx s inx cos s inx cos 0
2
s inx cos 2 s inx 1 0 *
x
x
x
Giả sử c xos = ⇔ 0 sinx= ± 1, thay vào (*) ta được ± ± − = 1( 2 1) 0(vô lí)
Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện
Ví dụ 5: Giải phương trình tan 5 tan 2x x= 1
1
,
2
π π
≠
≠
phương trình tương đương với
1
x
π π
+ Đối chiếu điều kiện (1)
m
π + π = π + π ⇔ = + +
Lại do t m, ∈Z nên : 1 2 1
2
t
Từ đó k = 7s+ 3 Suy ra x= π +kπ với
k≠ s+ thoả mãn phương trình
Trang 12Giả sử 4 14 5 ( )3
π + π π= + π ⇔ − =
Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại k n, ∈Z thoả mãn (3)
Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn
Các bài tập tương tự
1/ 1 2 s inx cos( )
tan cot 2 cot 1
x
−
=
2/ 2 sinx+ c otx = 2 sin 2x+ 1;
3/ s inx.cot5x 1;
os9x
4
4
2 sin 2 sin 3
cos
x
x
− + =
2
Trang 133 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)
3.1 Kiến thức cơ sở
+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên
ĐTLG
2
x= + α k π được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;
x= + α kπ được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;
2 3
k
x= +α π được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành
3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG;
2
k x
n
π α
= + được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành
n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG
+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh
dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu
“o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn
điều kiện
3.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)
Giải phương trình s in2x +2 cos s inx 1 0
tanx + 3
x− − =
, cos 0
2
x
π π
π π
≠ − +
≠
Khi đó phươngtrình đã cho trở thành
2
cos
2 2
3
k x
x
π π
π π
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng
giác (như hình bên) ta được nghiệm của
3
π
2
π
2 3
π
O
y
x
Trang 14Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)
Giải phương trình ( 6 6 )
2 cos sin sin cos
0
2 2 sin
x
=
−
3 2
2 4
m n Z
π π
π π
≠ +
Khi đó phương trình đã cho trở thành
2
2
2 cos sin sin cos 0
2 1 sin 2 sin 2 0
3sin 2 sin 2 4 0 sin 2 1
4
x π kπ k Z
Ví dụ 3: Giải phương trình sin sin 2 1
sin 3
x
Lời giải: Điều kiện sin 3 0 3
3
Khi đó
sin sin 2
sin 3
2 sin 2 cos sin 2 0
x
x
=
= −
o
y
x
4
π
3 4
π
5 4
π
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng
giác ta được nghiệm của phương trình là
5
2 4
Trang 152
2 3
x k
π
π π
=
⇔
= ± +
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác
Ta được nghiệm của phương trình là
2
x= +π kπ
Các bài tập tương tự
2/ cosx + sin 3x= 0 ;
cos
x
;
4/
2
1
3 s inx cos
x
1 2 sin cos
3
1 2 s inx 1 s inx
−
= + − (đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A)
2
π
−
y 2
π
3
π
3
π
−
2 3
π
4 3
π π
Trang 16II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế
Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau
1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả
ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?
Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm
số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả
2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”,
do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không?
Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào trong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm của phương trình là…
3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có
đ iều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?
Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán
Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp 2 và 3 Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhau…thì phương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn
về thời gian cũng như năng lực của học sinh Khi đó phương pháp 2 lại phù hợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này)
III Hướng phát triển chuyên đề:
Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Chuyên đề
có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn…
Trang 17C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY
Trong quá trình giảng dạy tôi đã đem các vấn đề trên áp dụng vào hai buổi dạy tăng cường (sau khi đã dạy cho học sinh phương pháp giải phương trình lượng giác) Kết quả cụ thể như sau:
Nội dung kiểm nghiệm Lớp 11A4
(chưa đc học tăng cường)
Lớp 11A3
(đã đc học tăng cường)
05/44 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán
35/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán
34/44 học sinh chỉ biến đổi đến phương trình
2 os 4c x c− os 4x− = 1 0 mà không tìm được điều kiện hoặc mất quá nhiều thì gian vào việc tìm ra điều kiện cụ thể cho phương trình
06/44 học sinh kết hợp ngiệm theo phương pháp biểu diễn trên ĐTLG nhưng không đủ nghiệm hoặc thừa nghiệm
02/42 học sinh không thể giải quyết trọn vẹn bài toán do mải tìm ra điều kiện cụ thể
05/42 học sinh không thể giải quyết trọn vẹn bài toán do kết hợp nghiệm theo phương pháp biểu diễn trên đường tròn đơn vị và dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm
Kiểm tra:
Giải phương trình
4
4 os 4
(Thời gian làm bài: 15 phút)
Không có học sinh nào giải quyết trọn vẹn bài toán theo phương pháp biểu diễn nghiệm và điều kiện thông qua cùng một hàm số lượng giác
05/42 học sinh giải quyết trọn vẹn các bài toán theo phương pháp kết
31/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán nhờ phương pháp biểu diễn nghiệm và điều kiện thông qua cùng một hàm số lượng giác cos2x
04/42 học sinh giải
Trang 18trên ĐTLG pháp kết hợp nghiệm
và điều kiện trên ĐTLG
Trang 19D KẾT LUẬN:
Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, về cơ bản chuyên đề đã đạt được các mục tiêu đề ra Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn kính mong các thầy cô, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán – tin, trường THPT Kiến An, tiếp tục đọc kỹ bản thảo, thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên
đề Hi vọng chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy linh hoạt trong giải toán nói chung và giải phương trình lượng giác nói riêng
Xin chân thành cảm ơn!
Hải Phòng, ngày 10 tháng 04 năm 2013
Người thực hiện
Nguyễn Trung Tiến
Trang 20M Ụ C L Ụ C
A MỞ ĐẦU 1
B NỘI DUNG 3
I) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM PHỔ BIẾN: 3
1 Biểu diễn nghiệm và điều kiện qua cùng một hàm số lượng giác: 3
2 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập: 7
3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác: ……….10
II) MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ…… 16
III) HƯỚNG PHÁT TRIỂN CHUYÊN ĐỀ: 16
C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY………18
D KẾT LUẬN: 17
E TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined