Luận án tiến sĩ một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian banach (TT)

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dángđiệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình trên là nghiên cứu và đánhgiá những tính chất định tính ổn định, không ổn định

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu

Xét phương trình trung tính ôtônôm

bị chặn) trên không gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định Với C :=C([−r, 0], X); toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X gọi là toán tử saiphân, Φ : C → X là toán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+ × C → X phituyến liên tục) gọi là toán tử trễ, và ut là hàm lịch sử được xác định bởi

ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Các phương trình vi phân trung tính đónẩy sinh từ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, như là hệ khuyếchtán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể, Bằng cách chọn không gian

và toán tử thích hợp các phương trình đó có thể viết dưới dạng phươngtrình vi phân trừu tượng trong không gian Banach thường gọi là phươngtrình tiến hóa Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các khônggian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trênnhững phát triển gần đây của toán học để tìm hiểu những vấn đề mangtính bản chất của nghiệm phương trình đó

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dángđiệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình trên là nghiên cứu và đánhgiá những tính chất định tính (ổn định, không ổn định, nhị phân, ) củanghiệm các phương trình đạo hàm riêng mô tả các hệ thống kể trên khithời gian đủ lớn thông qua những phương pháp toán học hiện đại được ưachuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lýthuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian hàm chấp nhậnđược, lý thuyết đa tạp bất biến,

Đối với phương trình trung tính tuyến tính (0.1) một số kết quả nềnmóng ban đầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T.Huy năm 2003 và một số tác giả khác Chúng tôi sẽ phát triển và hoànthiện các kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tính hóađối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn nữa.Đối với phương trình trung tính nửa tuyến tính (0.2) chúng tôi nghiêncứu về sự tồn tại đa tạp tích phân cho nghiệm của phương trình này Đặcbiệt trong trường hợp nhiễu Φ(t, φ) phụ thuộc thời gian t nên ta khôngthể hi vọng tính liên tục đều của Φ, do đó các phương pháp trước đâykhông giải quyết được Gần đây, đối với phương trình vi phân có trễ (tức

là, F ut = u(t)) N.T Huy và T.V Dược đã chỉ ra kết quả về sự tồn tại

đa tạp đối với các nghiệm của phương trình đang xét Các tác giả đã sửdụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ củaphương trình tiến hóa trong không gian chấp nhận được để xây dựng cấutrúc của nghiệm theo nghĩa đủ tốt, thuộc lớp đã biết của không gian chấpnhận được trên đó cho phép áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giảitích toán học như nguyên lí ánh xạ co, định lý hàm ẩn,

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của Luận án:

Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phươngtrình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phươngtrình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứkhông ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm

Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổnđịnh đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính

Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhóm

để xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệmcủa phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra bởicác toán tử đó

Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ và tính chất phổ để nghiên cứu tính ổnđịnh, Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhómnghiệm phương trình trung tính tuyến tính

Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đatạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trìnhtrung tính nửa tuyến tính

4 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Đề tài nhằm phát triển lý thuyết về sự ổn định, nhị phân mũ và một sốtính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong khônggian Banach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật vàcông nghệ

Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranhhình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễuphi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạoxác định, và mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chấtnghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phươngtrình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đốivới các nghiệm của phương trình đang xét

Việc xét tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trên mangđến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vậtchất có trễ theo thời gian xảy ra trong thực tế và trong các vấn đề của kỹthuật và công nghệ Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng vềquy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua những

dữ liệu ban đầu và phổ của hệ thống vốn có thể tính được trong hiện tại

và quá khứ

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:

Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị về nửa nhóm, một số kháiniệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm Nhắc lại về không gianhàm chấp nhận được và đa tạp ổn định đối với nghiệm của phương trình

vi phân nửa tuyến tính

Chương 2: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phươngtrình trung tính tuyến tính

Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ, tính dương của nửa nhómnghiệm phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm

Chương 4: Nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm,

đa tạp không ổn định và tính hút của đa tạp không ổn định của phươngtrình trung tính nửa tuyến tính

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, đượcliệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bốnbài báo (trong đó [1],[2],[3] thuộc tạp chí Quốc tế trong danh mục ISI) vàmột công trình [4] đã được nhận đăng trên Acta Mathematica Vietnamica.(Online First)

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach X, họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X) gọi

là một nửa nhóm liên tục mạnh nếu:

h→0 +

1

h(T (h)x − x) tồn tại} gọi là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.Định nghĩa 1.1.3 Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Ba-nach X Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là songánh} Khi đó

R(λ, A) := (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A) là giải thức của A

σ(A) := C \ ρ(A) gọi là phổ của A

Định lý 1.1.4 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho kT (t)k ≤ M eωt, ∀t ≥ 0.Khi đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tínhchất sau:

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x := R0∞e−λsT (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ)

(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ).

(iii) ||R(λ, A)|| ≤ Reλ−ωM , ∀Reλ > ω

Lưu ý: Công thức R(λ, A)x = R0+∞e−λsT (s)xds gọi là biểu diễn tích củagiải thức

Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng

e−λsT (s)xds

1.1.1 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.5 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại  > 0 sao cho

lim

t→∞etkT (t)k = 0

Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X đượcgọi là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổngtrực tiếp X = Xs ⊕ Xu, các không gian con đóng Xs, Xu bất biến đối với(Ts(t))t≥0 sao cho hạn chế của (T (t))t≥0 trên Xs, và (Tu(t))t≥0 trên Xu thỏamãn điều kiện:

(i) Nửa nhóm (Ts(t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs

(ii) Nửa nhóm (Tu(t))t≥0 có nghịch đảo và (Tu(−t))t≥0 ổn định mũ đềutrên Xu

Định lý 1.1.7 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X với toán tử sinh A Khi đó các khẳng định sau là tương đương.(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được

trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.2.1 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận đượcnếu nó thoả mãn

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ∈ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có

Z b a

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE(ii) E là bất biến với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ )dτ ,

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+, với

Tτ+ϕ(t) =

(ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0

0 nếu 0 ≤ t < τ

Tτ−ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0

Hơn nữa ∃N1, N2 > 0 sao cho kTτ+k ≤ N1, kTτ−k ≤ N2, ∀τ ∈ R+.Mệnh đề 1.2.2 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được Ta cócác khẳng định sau

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R+) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0 ta xácđịnh Λ0σϕ và Λ00σϕ như sau

(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E

(c) Với mọi b > 0, ebt ∈ E./

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hóa

Định nghĩa 1.3.1 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặnmũ) nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Kec(t−s)kxk với mọi

t ≥ s và x ∈ X

Định nghĩa 1.3.2 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach

X được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyếntính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho

(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu,chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)|)−1, 0 ≤ s ≤ t,(c) kU (t, s)xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,

(d) kU (s, t)|xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0

Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân, và cáchằng số N, ν được gọi là hằng số nhị phân

Chương 2 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về tính nhị phân mũcủa nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính

2.1 Phương trình trung tính tuyến tính

Trong chương này ta nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phươngtrình trung tính có dạng

Giả thiết 2.1.1 Trên không gian Banach X và C := C([−r, 0], X) ta xét

(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên lục mạnh (etB)t≥0 trên

(iii) Phương trình (2.1) là đặt chỉnh Chính xác hơn, với mỗi ϕ ∈ D(GB,F,Φ)tồn tại duy nhất một nghiệm cổ điển ut(·, ϕ) của (2.1) cho bởi ut(·, ϕ) =

TB,F,Φ(t)ϕ, và với mọi dãy (ϕn)n∈N ⊂ D(GB,F,Φ) thỏa mãn limn→∞ϕn =

0, ta có limn→∞ut(·, ϕn) = 0 đều trên mỗi đoạn compact

Định lý 2.1.3 Cho nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 trên C với toán tử sinh GB,0

Kí hiệu (T0(t))t≥0 là hạn chế của (TB,0(t))t≥0 lên không gian con C0 và G0

là toán tử sinh của nó Khi đó, khẳng định sau được thỏa mãn

Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được nửa nhóm nghiệm(TB,F,Φ(t))t≥0 của phương trình trung tính có nhị phân mũ với điều kiệntoán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0

và chuẩn của toán tử trễ Φ đủ nhỏ

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục côngtrình đã công bố của luận án

Chương 3 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QÚA KHỨ

(3.3)

là đặt chỉnh với cận mũ Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại một họ tiếnhóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 giải (3.3), tức là, nghiệm của (3.3)cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ 0

3.1 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai

Định lý 3.1.2 Cho toán tử Ψ thỏa mãn kΨk < H1 , và xác định toán tử

u(t, ·, ϕ) = TB,F,Φ(t)ϕthỏa mãn phương trình (3.2) theo nghĩa đủ tốt, tức là, nó thỏa mãn

u(t, s, ϕ) = U (s, τ )u(t, τ, ϕ) +

Z τ s

U (s, ξ) ∂

∂tu(t, ξ, ϕ)dξvới mọi t ≥ 0 ≥ τ ≥ s

như đã biết công thức biến thiên hằng số của phương trình (3.2).Hơn nữa, với mỗi dãy (ϕn)n∈N ⊂ D(GB,F,Φ) thỏa mãn limn→∞ϕn = 0,

có một

lim

n→∞u(t, ·, ϕn) = 0đều trên mỗi đoạn compact

Bổ đề 3.1.3 Cho họ tiến hóa lùi U ổn định mũ và toán tử (B, D(B)) sinh

ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0 Khi đó, nếu kΨk < 1/K1 và ||Φ||

đủ nhỏ, thì tồn tại một giải mở Σ chứa trục ảo và hàm Hλ là giải tích và

bị chặn đều trên Σ sao cho

R(λ, GB,F,Φ) = Hλ[R(λ, GB,0) − eλR(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ (3.5)

Định lý 3.1.4 Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1.2 được thỏa mãn Họtiến hóa lùi U ổn định mũ đều và (B, D(B)) là toán tử sinh của C0- nửanhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0 , và chuẩn của toán tử Ψ thỏa mãn kΨk <

1

K 1 Khi đó, nếu chuẩn của toán tử trễ Φ là đủ nhỏ thì nửa nhóm nghiệm(TB,F,Φ(t))t≥0 có nhị phân mũ

3.2 Tính dương của nửa nhóm nghiệm

Trong phần này, ta giả sử X là dàn Banach Khi đó C0 trở thành dànBanach Hơn nữa, ta giả sử rằng nửa nhóm (etB)t≥0 sinh bởi B, toán tửtrễ Φ và toán tử sai phân F đều dương Cuối cùng, ta giả sử rằng họ tiếnhóa lùi(U (t, s))t≤s≤0 gồm các toán tử dương Khi đó ta có kết qủa về tínhdương của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0

Định lý 3.2.1 Cho B sinh ra nửa nhóm dương (etB)t≥0 trên X Giả sử cáctoán tử Φ, Ψ, F , và U (t, s), t ≤ s ≤ 0,đều dương với chuẩn kΨk < 1/H.Khi đó, nửa nhóm (TB,F,Φ(t))t≥0 được sinh GB,F,Φ cũng dương

Mệnh đề 3.2.2 Cho Ψ lấy giá trị trong D(B) Khi đó, với mỗi số phức λ

ta có λ ∈ σ(GB,F,Φ) nếu và chỉ nếu λ ∈ σ(BF eλ+ λΨeλ+ Φeλ)

Định lý 3.2.3 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh dương với toán

tử sinh (A, D(A)) trên dàn Banach X Khi đó cận phổ s(A) thoả mãns(A) < 0 nếu và chỉ nếu (T (t))t≥0 ổn định mũ

Mệnh đề 3.2.4 Theo giả thiết của định lý 3.2.1 và Mệnh đề 3.2.2, nếuhàm giá trị toán tử S(λ) = λΨeλ với λ ∈ R giảm, thì hàm cận phổ s(·)giảm và liên tục trái trên R

Định lý 3.2.5 Với giả thiết của Mệnh đề 3.2.4 ta có, nếu s(BF eλ+λΨeλ+

Φeλ) < λ, thì s(GB,F,Φ) < λ

Hệ quả 3.2.6 Giả sử giả thiết của Mệnh đề 3.2.4 được thỏa mãn Khi đónửa nhóm (TB,F,Φ(t))t≥0 ổn định mũ nếu nếu cận phổ s(BF e0 + Φe0) nhỏhơn 0

• Kết qủa về tính dương của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0

Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục côngtrình đã công bố của luận án

4.1 Đa tạp ổn định bất biến của phương

trình vi phân trung tính trong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng

Giả sử họ toán tử tuyến tính (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0

Để chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (1.1) chúng ta xétphương trình tích phân

khi đó hàm u : [s − r, ∞) → X, thỏa mãn (4.1) được gọi là nghiệm đủ tốtcủa phương trình (1.1)

Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán tử chiếunhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Chúng ta xácđịnh họ toán tử ( eP (t))t≥0 trên C như sau

e

P (t) : C → C

( eP (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với mọi θ ∈ [−r, 0] (4.2)Khi đó, chúng ta có ( eP (t))2 = eP (t), do đó các toán tử eP (t), t ≥ 0, là cáctoán tử chiếu trên C Hơn nữa, ta có

Im eP (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U (t − θ, t)ν0, ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν0 ∈ ImP (t)}

(4.3)

Bổ đề 4.1.1 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họ toán

tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sửrằng ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được

E Cho F : C → X và Φ : R+ × C → X theo thứ tự là toán tử sai phân vàtoán tử trễ Giả sử F là toán tử tuyến tính bị chặn, Φ là ϕ-Lipschitz, vàu(t) là nghiệm của phương trình (4.1) sao cho supt≥skutk < ∞ với s ≥ 0

cố định Khi đó, với t ≥ s, u(t) thỏa mãn

Định lý 4.1.2 Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với họtoán tử chiếu nhị phân P (t), t ≥ 0, và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Xéttoán tử chiếu eP (t) được xác định như trong (4.2) Cho toán tử sai phân

F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), kΨk < 1, and δ0 làhàm Dirac tập trung tại 0 Giả sử rằng ϕ là hàm không âm, thuộc khônggian hàm Banach chấp nhận được E Cho toán tử trễ Φ : R+ × C → X làϕ-Lipschitz, đặt

k := e

νr(1 + H)N (N1kΛ1T1+ϕk∞+ N2kΛ1ϕk∞)