Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach

ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG TÍNH 64 4.1 Đa tạp ổn định bất biến của phương trình vi phân trung tính trong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng.. toán tử tuy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYỄN THIỆU HUY

Hà Nội - 2016

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và các tính chất 13

1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13

1.1.2 Ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm 15

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng 18 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng 20

1.4 Nhị phân mũ của họ tiến hoá 23

1.5 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định 26

Chương 2 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH 29 2.1 Phương trình trung tính tuyến tính 29

2.2 Nửa nhóm trung tính 30

2.3 Nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính 34 Chương 3 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM 43 3.1 Phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm 43

3.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân và toán tử trễ 45

3.3 Phổ và tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm 50

3.4 Tính dương của nửa nhóm nghiệm 59

Chương 4 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG TÍNH 64 4.1 Đa tạp ổn định bất biến của phương trình vi phân trung tính trong không gian chấp nhận được trên nửa đường thẳng 64

4.2 Tam phân mũ và đa tạp tâm ổn định của phương trình trung tính 77

4.3 Đa tạp không ổn định của phương trình trung tính 86

KẾT LUẬN 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 119

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướngdẫn của thầy PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Tất cả các kết quả được trình bàytrong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất kỳ công trình nào

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.Nguyễn Thiệu Huy, người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trêncon đường khoa học Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu,giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thửthách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắnđược tiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình Tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đãnhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ mônToán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tôi xin đượcchân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô

Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp đãtạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè

đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán họcmình đã chọn

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

L∞(R) := {u : R → R : kuk∞ = ess sup

x∈R

|u(x)| < +∞}

L1,loc(R) := {u : R → R|u ∈ L1(ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ R}

trong đó ω ⊂⊂ R nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong R.M(R+) :=



f ∈ L1, loc(R+) : sup

t≥0

Z t+1 t

|f (τ )|dτ < ∞

,

với chuẩn kf kM := sup

t≥0

Z t+1 t

|f (τ )|dτ

E : không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+

ER : không gian hàm Banach chấp nhận được trên R

X : không gian Banach

C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0], r > 0,

nhận giá trị trong X với chuẩn kukC = sup

t∈[−r,0]

ku(t)k

C0(R−, X) := {f : R− → X : f liên tục và lim

t→−∞f (t) = 0} không gian hàmvới chuẩn sup

Cb(R+, X) : không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX,

xác định trên R+ với chuẩnkuk∞ = sup

t∈R +

ku(t)k

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Vào đầu thế kỉ 20 phương trình trung tính được coi như một trường hợpđặc biệt của phương trình sai - vi phân

Ft, u(t), u(t − r1), , u(t − rm), u0(t), u0(t − r1), , u0(t − rm),

, u(n)(t), u(n)(t − r1), , u(n)(t − rm) = 0với F là hàm của (m + 1)(n + 1) biến

Để hiểu được nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phươngtrình sai - vi phân cấp 1

a0u0(t) + a1u0(t − ω) + b0u(t) + b1u(t − ω) = f (t) với ω > 0 cố định Nếu a0 = a1 = 0 thì phương trình này gọi là phương trình sai phân Nó khôngchứa bất kỳ vi phân nào

Nếu a0 6= 0, a1 = 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - viphân "có chậm" hay đơn giản là phương trình vi phân có trễ Vì nó mô tả sựphụ thuộc vào hệ trạng thái trong quá khứ

Nếu a0 = 0, a1 6= 0 thì phương trình trên gọi là phương trình sai - viphân "có sớm" Vì nó mô tả sự phụ thuộc vào hệ trạng thái trong tương lai

Cuối cùng nếu a0 6= 0, a1 6= 0 thì loại phương trình sai -vi phân này, vừa

"có chậm" vừa "có sớm" Vì vậy trong trường hợp này phương trình trên gọi

là phương trình vi phân trung tính

Gần đây J Wu and H Xia [24] đã xét một mạng lưới các đường dâytruyền tải và chỉ ra mô hình của nó tương ứng với phương trình sau:

∂

∂tF ut = a

∂2

∂x2F ut + Φut.Phương trình có dạng phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phươngtrình trung tính Trong đó hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ 0 và khônggian Banach X của hàm trên đường tròn đơn vị S1, tức là X = H1(S1) hoặc

X = C(S1), hàm lịch sử ut được xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]

và t ≥ 0 Các toán tử tuyến tính F và Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi

là toán tử sai phân và toán tử trễ Hale [20, 21] đã đưa ra phương pháp đểgiải quyết bài toán trên, ông đã chỉ ra sự tồn tại và các tính chất của toán

tử nghiệm Tuy nhiên đối với các phương trình vi phân trung tính phát sinh

từ các hệ thống tự nhiên, kỹ thuật, như là hệ khuyếch tán, hệ xử lý tín hiệu,

hệ sinh thái quần thể, Khi đó việc nghiên cứu sự tồn tại và ổn định củanghiệm trở nên phức tạp, các phương pháp cũ không còn phù hợp Bằng cáchchọn không gian và toán tử thích hợp, các phương trình đó có thể viết dướidạng phương trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach thường gọi

là phương trình tiến hóa

Do đó, trong luận án này chúng tôi xét phương trình trung tính

toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, Φ : C → X làtoán tử tuyến tính (hoặc Φ : R+× C → X phi tuyến liên tục) là toán tử trễ,

và ut là hàm lịch sử được xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0].Việc xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàmtổng quát, cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những bướcphát triển gần đây của Toán học để tìm hiểu những vấn đề mang tính bảnchất của nghiệm phương trình đó

Sử dụng các phương pháp toán học hiện đại hiện nay như là lý thuyếtphổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyếtcác không gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, Chúngtôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm (ổn định, không ổn định, nhịphân, ) đối với phương trình (1) và (2)

Với phương trình trung tính tuyến tính (1) một số kết quả nền móng banđầu về sự tồn tại, ổn định mũ của nghiệm, đã đạt được bởi N.T Huy và một

số tác giả khác (xem [33, 40, 43, 46, 53]) Trong luận án này, chúng tôi sẽphát triển các kết quả về tính nhị phân, không ổn định, ổn định tuyến tínhhóa đối với các phương trình trên để nhận được các kết quả tổng quát hơn

và ứng dụng vào các mô hình cụ thể

Với phương trình trung tính nửa tuyến tính (2) chúng tôi nghiên cứu về sựtồn tại đa tạp tích phân đối với nghiệm của phương trình này Trong trườnghợp phương trình vi phân hàm có trễ (tức là trường hợp đặc biệt của phươngtrình trên khi F ut = u(t)) đã có nhiều công trình liên quan đến sự tồn tại đatạp bất biến đối với các nghiệm của phương trình có trễ (xem [3, 25, 42, 48] )với điều kiện họ (B(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân

mũ, toán tử trễ phi tuyến là liên tục Lipschitz Trường hợp phương trình viphân hàm trung tính trở nên phức tạp hơn khi ta lấy vi phân hàm F ut thay

vì u(t), hơn nữa công thức biến thiên hằng số được áp dụng cho F ut Do đó,

ta cần đến một số điều kiện trên F để thu được u từ F ut Một số kết quả về

sự tồn tại của đa tạp bất biến trong các trường hợp ôtônôm (tức là B(t) = B

và Φ(t, φ) = Φ(φ) không phụ thuộc vào t) được H Petzeltová và O.J Staffans[14], R Benkhalti, K Ezzinbi và S Fatajou [50] đưa ra với điều kiện toán tửđạo hàm riêng B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ và toán tử trễ Φ là liêntục Lipschitz với hằng số Lipschitz nhỏ, tức là kΦ(φ) − Φ(ψ)k ≤ qkφ − ψkCvới q đủ nhỏ.

Trong trường hợp không ôtônôm như phương trình (2) (tức là B(t) vàΦ(t, φ) phụ thuộc thời gian t) và đối với phương trình phát sinh từ quá trìnhtương tác - khuyếch tán phức tạp, toán tử Φ đại diện cho nguồn vật chất(hoặc dân số) mà trong nhiều trường hợp phụ thuộc một cách phức tạp vàothời gian (xem [2], [16, Chương 11], [17]) Vì vậy, đối với một số phương trình

đó ta không thể hi vọng tính liên tục Lipschitz đều của Φ Gần đây, đối vớiphương trình vi phân có trễ (tức là F ut = u(t)) N.T Huy và T.V Dược đãchỉ ra kết quả về sự tồn tại đa tạp ổn định bất biến (xem [44]) Các tác giả đã

sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và đặc trưng của nhị phân mũ (xem[36]) của phương trình tiến hóa trong không gian chấp nhận được để xâydựng cấu trúc của nghiệm theo nghĩa đủ tốt Phương pháp nghiên cứu là ápdụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích toán học như nguyên lí ánh xạ

co, định lý hàm ẩn, Việc sử dụng không gian chấp nhận được giúp các tácgiả xây dựng đa tạp bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz

đủ nhỏ của toán tử trễ phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [42]) Cụ thể cáctác giả đã xét điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tạicủa đa tạp ổn định bất biến (xem [37]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phituyến là hàm phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấpnhận được Đồng thời, việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được

đã mang đến một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm đượccông bố trong thời gian gần đây (xem [8, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43]).Tuy nhiên sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình trung tính phituyến đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu

Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là "Một số tính

chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach".

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của Luận án:

Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phươngtrình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phươngtrình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứkhông ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm

Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổnđịnh đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính

Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhóm

để xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệmcủa phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra bởi cáctoán tử đó

Dùng Định lý Ánh Xạ Phổ và tính chất phổ để nghiên cứu tính ổn định,Định lý Cesaro để đặc trưng cho tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệmphương trình trung tính tuyến tính

Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đatạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định cho phương trìnhtrung tính nửa tuyến tính

4 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Đề tài nhằm phát triển lý thuyết về sự ổn định, nhị phân mũ và một sốtính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong không gian

Banach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và côngnghệ.

Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranhhình học về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân (với nhiễuphi tuyến) xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xácđịnh Mặt khác, nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệmcủa những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơngiản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệmcủa phương trình đang xét

Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trênmang đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổivật chất có trễ theo thời gian xảy ra trong thực tế, trong các vấn đề của kỹthuật và công nghệ Từ đó có thể đưa ra những nhận định và ước lượng vềquy mô và tính chất trong tương lai của các quá trình đó thông qua những

dữ liệu ban đầu của hệ thống vốn có thể tính được trong hiện tại và quá khứ

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị Chúng tôi trình bàykhái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửanhóm Sau đó, chúng tôi trình bày không gian hàm Banach chấp nhậnđược (xem [37, 42]), nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn địnhcủa phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [36, 37, 39])

• Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phươngtrình trung tính có dạng

Ở đây, B là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, các toán tử F và Φ làtoán tử sai phân và toán tử trễ, tương ứng Trong [53], với giả thiết cáctoán tử F, Φ là tuyến tính bị chặn, (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm liên tụcmạnh (etB)t≥0 trên X Chúng tôi giải phương trình (3) bằng cách xâydựng nửa nhóm liên tục mạnh thích hợp trên không gian C Nửa nhómnày thu được bởi toán tử sinh thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, và toán

tử sai phân có thể viết dưới dạng F = δ0 − Ψ với Ψ là "nhỏ" Ta cũng

có thể thay điều kiện Ψ là "nhỏ" bởi điều kiện "không có trọng tại 0"(xem Định nghĩa 2.2.5) Trong chương này, ta sẽ chứng minh rằng vớigiả thiết (etB)t≥0 có nhị phân mũ (hyperbolic) và chuẩn của toán tử trễ

Φ đủ nhỏ, khi đó nửa nhóm nghiệm phương trình (3) cũng có nhị phân

mũ Các kết quả của chúng tôi được mở rộng từ các kết quả đã biếtcủa các phương trình vi phân hàm có trễ (xem Hale và Verduyn Lunel[19], Wu [25], Engel [27] và N.T Huy [35])

• Chương 3: Trong chương này, chúng tôi xét phương trình trung tínhtuyến tính với quá khứ không ôtônôm dạng

mũ với điều kiện là họ tiến hóa lùi U = (U (t, s))t≤s≤0 sinh bởi A(s) ổnđịnh mũ đều và toán tử B sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0trên X Hơn nữa, với các điều kiện tính dương của (etB)t≥0, U , F và Φchúng tôi chứng minh rằng nửa nhóm nghiệm nói trên là dương và chỉ

ra điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ

• Chương 4: Xét phương trình trung tính

∂

∂tF ut = B(t)F ut + Φ(t, ut), t ∈ R+(hoặc t ∈ R), (6)trong đó B(t) là toán tử tuyến tính (không nhất thiết bị chặn) trênkhông gian Banach X với mỗi t ≥ 0 cố định Đặt C := C([−r, 0], X);xét toán tử tuyến tính bị chặn F : C → X là toán tử sai phân, toán

tử phi tuyến liên tục Φ : R+ × C → X là toán tử trễ, và ut là hàmlịch sử được xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] Mục đíchcủa chương này là chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biếncho phương trình (6) khi phần tuyến tính của nó (B(t))t≥0 sinh ra họtiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ trên nửa đường thẳng vớiđiều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến Φ là ϕ− Lipschitz, tức làkΦ(t, φ) − Φ(t, ψ)k ≤ ϕ(t)kφ − ψkC trong đó φ, ψ ∈ C, và ϕ(t) là hàmdương nhận giá trị thực trong không gian chấp nhận được (xem Địnhnghĩa 1.2.3 trong Chương 1) Chúng ta sẽ mở rộng phương pháp trong[42] cho trường hợp phương trình vi phân trung tính (6) Khi đó điềukiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈IRtt+1ϕ(τ )dτ

đủ nhỏ với I = R+ (hoặc I = R) Do đó, ta chỉ ra được sự tồn tại của đatạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định cho trường hợp phần tuyếntính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến

Φ Hơn nữa, sử dụng kết quả và phương pháp đổi tỉ xích ta chứng minh

sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định cho nghiệm đủ tốt của phương trình(4.1) trong trường hợp phần tuyến tính có tam phân mũ với một sốđiều kiện của toán tử trễ phi tuyến Φ như trong trường hợp nhị phânmũ

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình, được liệt kê

ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm bốn bàibáo (trong đó [1],[2],[3] thuộc tạp chí Quốc tế trong danh mục ISI) vàbài báo [4] đã được đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica

Luận án đã được báo cáo tại:

– Semina "Phương pháp định tính và xấp xỉ đối với phương trìnhtiến hóa" Viện toán cao cấp (VIASM)

– Semina "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân vàứng dụng" Đại học Bách khoa Hà Nội

– Seminar Phương trình vi phân và tích phân, Trường Đại học Báchkhoa Hà Nội

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất củanửa nhóm liên tục mạnh, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửađường thẳng R+ (xem [38]) Bằng một số những thay đổi nhỏ, chúng ta thuđược khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận đượctrên đường thẳng thực (xem [42]) Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũcủa họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính

h(T (h)x − x) tồn tại} gọi là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X

Định lý 1.1.3 Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0

ta có:

(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính

(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)

T (s)xds nếu x ∈ X

=

Z t 0

T (s)Axds nếu x ∈ D(A)

Định nghĩa 1.1.4 Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach

X Tập các giá trị chính quy của A: ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là song ánh}.Khi đó

R(λ, A) := (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A

Định lý 1.1.5 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X, và lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho kT (t)k ≤ M eωt, ∀t ≥ 0 Khi

đó với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chấtsau:

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x := R0∞e−λsT (t)xds tồn tại, ∀x ∈ X thì

λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ)

(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ)

(iii) kR(λ, A)k ≤ Reλ−ωM , ∀Reλ > ω

Chú ý rằng, công thức R(λ, A)x = R0+∞e−λsT (s)xds gọi là biểu diễn tíchphân của giải thức Tích phân ở đây là tích phân Riemann suy rộng

e−λsT (s)xds

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về ổn định mũ vànhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh và đặc trưng phổ cho tính ổn định

và nhị phân của nửa nhóm đó Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ổn định mũđều như sau

Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại  > 0 sao cho

lim

t→∞etkT (t)k = 0

Sau đây, ta đưa ra các khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm như sau:Định nghĩa 1.1.7 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi

là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp

X = Xs⊕ Xu, các không gian con đóng Xs, Xu bất biến đối với (T (t))t≥0 saocho hạn chế của (Ts(t))t≥0 trên Xs, và (Tu(t))t≥0 trên Xu thỏa mãn các điềukiện:

(i) Nửa nhóm (Ts(t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs

(ii) Nửa nhóm (Tu(t))t≥0 có nghịch đảo và (Tu(−t))t≥0 ổn định mũ đều trên

Xu

Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân mũcủa nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăngcủa nửa nhóm được xác định trong các định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.1.8 Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên khônggian Banach X Khi đó

s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}

được gọi là cận phổ của A

Định nghĩa 1.1.9 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tửsinh (A, D(A)) Khi đó

ω0 := ω0(T ) := ω0(A) := inf



ω ∈ R : ∃M > 1 sao cho kT (t)k ≤ Meωt, ∀t ≥ 0



được gọi là cận tăng của T

Nhận xét: Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0(A) < 0.Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh vìtrong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh cóthể xác định cụ thể Để làm điều đó ta cần đến khái niệm Định lý Ánh XạPhổ (Spectral Mapping Theorem - SMT) sau đây

Định nghĩa 1.1.10 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) nếu:

(SMT) σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0 (1.1)

Ta lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 khôngkéo theo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A(chẳng hạn xem [23, Ví dụ 1.2.4]) Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định

lý Ánh Xạ Phổ thì ta có đặc trưng sau:

(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0

Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây được lấy từ [28].Định lý 1.1.11 Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0, các mệnh đềsau là tương đương:

(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ.

(ii) σ(T (t)) ∩ Γ = ∅ với một/ mọi t > 0

Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ (SMT) và A là toán tửsinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với

(iii) σ(A) ∩ iR = ∅

Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh

Xạ Phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãnσ(T (t)) ⊂ Γ.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0

Hơn nữa nếu dùng trung bình Cesàro thì ta có đặc trưng sau đây của tínhnhị phân mũ mà không cần dùng đến Định lý Ánh Xạ Phổ

Định lý 1.1.12 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X với toán tử sinh A Khi đó các khẳng định sau là tương đương.(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ

R(iω + ik, A)x

hội tụ với mọi ω ∈ R và x ∈ X

Chú ý, định lý này được lấy từ [23, Định lý 2.6.2], trong khi chứng minhchủ yếu do G Greiner và M Schwarz [12, Định lý 1.1 và Hệ quả 1.2] Phiênbản liên tục của định lý trên được chứng minh bởi M Kaashoek và S VerduynLunel trong [29, Định lý 4.1]

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được

trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo đượcBorel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+, B, λ), trong đó

B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+, nếu:

(1) (E, k · kE) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo đượcBorel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|(λ-hầu khắp nơi ) thì ψ ∈ E và kψkE ≤ kϕkE,(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0kχ[t,t+1]kE <

và bị chặn cốt yếu trong đoạn này Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E

Chứng minh Giả sử ϕ ∈ E và ϕ 6= ψ trên J = [a, b] Do ψ bị chặn cốt yếutrên J nên tồn tại M > 0 sao cho

(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho mọi [a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E ta có

Z b a

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE.(ii) E là bất biến với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ )dτ

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+, với

Tτ+ϕ(t) =

(ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0

|f (τ )|dτ < ∞

,

với chuẩn kf kM := supt≥0Rtt+1|f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấpnhận được Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như

là không gian Lorentz Lp, q, 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàmBanach chấp nhận được

Chú ý 1.2.5 Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thì E ,→M(R+)

Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhậnđược

Mệnh đề 1.2.6 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được Ta cócác khẳng định sau

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R+) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0 ta xácđịnh Λ0σϕ và Λ00σϕ như sau:

Λ0σϕ(t) =

Z t 0

e−σ(t−s)ϕ(s)ds,

Λ00σϕ(t) =

Z ∞ t

e−σ(s−t)ϕ(s)ds

Khi đó, Λ0σϕ và Λ00σϕ ∈ E Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+) (điều này được thoảmãn nếu ϕ ∈ E (xem Chú ý 1.2.5) thì Λ0σϕ và Λ00σϕ bị chặn và ta có đánhgiá

kΛ0σϕk∞ ≤ N1

1 − e−σkΛ1T1+ϕk∞ và kΛ00σϕk∞ ≤ N2

1 − e−σkΛ1ϕk∞ (1.2)trong đó Λ1, T1+ và N1, N2 được xác định trong Định nghĩa 1.2.3

là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R, nếu:

(1) (E, k · kE) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo đượcBorel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|(λ-hầu khắp) thì ψ ∈ E và kψkE ≤ kϕkE,

(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt∈Rkχ[t,t+1]kE <

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE.(ii) E là bất biến đối với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ )dτ ,

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R, với

Λ00σϕ(t) =

Z ∞ t

e−σ(s−t)ϕ(s)ds

Khi đó, Λ0σϕ và Λ00σϕ ∈ E Hơn nữa, nếu supt∈RRtt+1ϕ(τ )dτ < ∞ (điềunày được thoả mãn nếu ϕ ∈ E) thì Λ0σϕ và Λ00σϕ bị chặn và ta có đánhgiá

kΛ0σϕk∞ ≤ N1

1 − e−σkΛ1ϕk∞ và kΛ00σϕk∞ ≤ N2

1 − e−σkΛ1ϕk∞.(b) Với mọi α > 0, e−α|t| ∈ E

(c) Với mọi b > 0, eb|t| ∈ E./

Tiếp theo là bất đẳng thức nón trong không gian Banach

Định nghĩa 1.3.4 Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi

là nón nếu

(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,

(ii) x1, x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K,

(iii) ±x ∈ K thì x = 0

Cho nón K trong không gian Banach W Với x, y ∈ W ta xác định quan

hệ x ≤ y nếu y − x ∈ K Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W Định lý 1.3.5 (Bất đẳng thức nón) Cho nón K trong không gian Banach

W sao cho K là bất biến với toán tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ rA < 1.Giả sử x, z ∈ W thoả mãn x ≤ Ax + z Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm củaphương trình y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y

1.4 Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Một trong những mối quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa phương trình vi phân tuyến tính

dx

dt = A(t)x, t ∈ [0, ∞), x ∈ X (1.3)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t cốđịnh, là tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân

mũ Trong trường hợp A(t) là hàm nhận giá trị ma trận và liên tục, Perron

đã tìm được sự liên hệ giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình(1.3) và các tính chất của toán tử vi phân dtd − A(t) xác định trên không gian

Cb(R+, Rn) Kết quả này là sự khởi đầu cho nhiều công trình về lý thuyếtđịnh tính của phương trình vi phân Trong sách chuyên khảo của Massera vàSch¨affer [22], Daleckii và Krein [26] đã chỉ ra tính nhị phân mũ của nghiệmbởi điều kiện toàn ánh của toán tử vi phân dtd − A(t) trong trường hợp A(t)

bị chặn Levitan và Zhikov [6] đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô hạnchiều với lớp phương trình xác định trên toàn đường thẳng Với phương trìnhxác định trên nửa đường thẳng, để đảm bảo tính nhị phân mũ ngoài điềukiện toàn ánh của toán tử vi phân dtd − A(t) chúng ta cần thêm điều kiện làtính đủ của không gian con ổn định (xem [26, 46, 47]) Ở [36] N.T Huy đãđặc trưng tính nhị phân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp nhậnđược trên nửa đường thẳng trong trường hợp A(t) không bị chặn

Xét bài toán Cauchy







˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ s ≥ 0,x(s) = x,

toán Cauchy (1.4) với mọi t ≥ s.

Định nghĩa 1.4.1 Bài toán Cauchy (1.4) được gọi là đặt chỉnh trên cáckhông gian Yt, t ≥ 0, nếu

(i) Yt ⊂ D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X,

(ii) mỗi x ∈ Ys thì bài toán Cauchy (1.4) có duy nhất nghiệm u(·, s, x),(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu sn → s

và Ysn 3 xn → x ∈ Ys thì ˜u(t, sn, xn) → ˜u(t, s, x) đều theo t trên mọiđoạn compact trong R+, trong đó ˜u(t, s, x) := u(t, s, x) với t ≥ s và

˜

u(t, s, x) := x với t < s

Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán

tử giải biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy (1.4) Họ các toán tử này đượcgọi là họ tiến hoá

Định nghĩa 1.4.2 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0

trên không gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặnmũ) nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Kec(t−s)kxk với mọi

t ≥ s và x ∈ X

Nghiệm của bài toán Cauchy (1.4) qua họ tiến hoá được cho bởi côngthức u(t) = U (t, s)u(s) Khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xácđịnh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi toán tử A, khi đó chúng ta

có họ tiến hoá U (t, s) = T (t − s) Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnhhay sự tồn tại của họ tiến hoá, chúng ta có thể tham khảo trong Pazy [1],Nagel và Nickel [52]

Trong luận án này, chúng tôi sẽ xét những họ tiến hóa có nhị phân mũ,được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.4.3 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach

X được gọi là có nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyếntính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho

(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu,chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)|)−1, 0 ≤ s ≤ t,(c) kU (t, s)xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,

(d) kU (s, t)|xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0

Các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân, và cáchằng số N, ν được gọi là hằng số nhị phân

Ta có tính chất sau của các toán tử chiếu nhị phân P (t)

Bổ đề 1.4.4 [46, Bổ đề 4.2] Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũvới các toán tử chiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0

là bị chặn đều và liên tục mạnh

Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu

P (t), t ≥ 0 Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau

G(t, τ ) =

(

P (t)U (t, τ ) nếu t > τ ≥ 0,

−U (t, τ )|(I − P (τ )) nếu 0 ≤ t < τ (1.5)Khi đó, chúng ta có đánh giá kG(t, τ )k ≤ N (1 + H)e−ν|t−τ | với t 6= τ

1.5 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và

đa tạp ổn định

Trong phần này, ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u + f (t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X (1.6)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cốđịnh và f : R+× X → X là toán tử phi tuyến Ta giả sử rằng, họ các toán

tử A(t), t ∈ R+, sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Dựa vàokhông gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, N.T Huy đã chỉ rađiều kiện của hàm f để phương trình (1.6) tồn tại đa tạp ổn định (xem [37])

Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay vì (1.6) chúng ta xét phươngtrình tích phân

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

(i) kf (t, 0)k ≤ M ϕ(t) với mọi t ∈ R+,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với mọi t ∈ R+ và mọi x1, x2 ∈ X.Định nghĩa 1.5.2 Tập S ⊂ R+× X được gọi là đa tạp ổn định bất biến chocác nghiệm của phương trình (1.7) nếu mỗi t ∈ R+ ta có X = X0(t) ⊕ X1(t)sao cho

và tồn tại họ các ánh xạ liên tục Lipschitz

gt : X0(t) → X1(t), t ∈ R+

với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và thoả mãn

(i) S = {(t, x + gt(x)) ∈ R+× (X0(t) ⊕ X1(t)) | t ∈ R+, x ∈ X0(t)},

ký hiệu St = {x + gt(x) : (t, x + gt(x)) ∈ S}

(ii) St đồng phôi với X0(t) với mọi t ≥ 0

(iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.7) trên[t0, ∞) thoả mãn u(t0) = x0 và ess supt≥t0ku(t)k < ∞

(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.7) thoả mãnu(t0) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0ku(t)k < ∞, thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0.Chú ý rằng, nếu đồng nhất X0(t)⊕X1(t) với X0(t)×X1(t) thì St = graph(gt).Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [37]

Bổ đề 1.5.3 [37, Bổ đề 4.4] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũvới các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, với các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sửrằng, ϕ ∈ E là một hàm không âm Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz vàu(t) là nghiệm của phương trình (1.7) thoả mãn ess supt≥t0 ku(t)k < ∞ với

t0 ≥ 0 cố định Khi đó, với mọi t ≥ t0, u(t) cũng là nghiệm của phương trình

u(t) = U (t, t0)ν0 +

Z ∞

t 0

G(t, τ )f (τ, u(τ ))dτ (1.8)trong đó ν0 ∈ X0(t) = P (t0)X và G(t, τ ) là hàm Green xác định bởi (1.5).Định lý 1.5.4 [37, Định lý 4.6] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ với các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, và hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sửrằng, ϕ ∈ E là hàm không âm Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz sao cho

k < 1, với k được xác định bởi công thức

k := (1 + H)N (N1kΛ1T1+ϕk∞+ N2kΛ1ϕk∞)

Khi đó, mỗi ν0 ∈ X0(t0) có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.7) trên[t0, ∞) thoả mãn P (t0)u(t0) = ν0 và ess supt≥t0ku(t)k < ∞ Hơn nữa cácnghiệm khác nhau là hút cấp mũ, tức là nếu u1(t), u2(t) là hai nghiệm ứngvới ν1, ν2 ∈ X0(t0) thì:

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kν1 − ν2k, ∀t ≥ t0trong đó µ là hằng số dương thoả mãn 0 < µ < ν + ln(1 − k), và Cµ = 1−kN Định lý 1.5.5 [37, Định lý 4.7] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ với các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, với các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả

sử rằng, ϕ ∈ E là một hàm không âm Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitzsao cho k < N +11 , với k được xác định bởi (1.9) Khi đó, tồn tại đa tạp ổnđịnh bất biến S cho các nghiệm của phương trình (1.7) Hơn nữa, hai nghiệmbất kỳ u1(t), u2(t) trên đa tạp S hút cấp mũ, tức là tồn tại các hằng số dương

µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kP (t0)u1(t0) − P (t0)u2(t0)k, ∀t ≥ t0

Chương 2 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về tính nhị phân mũ củanửa nhóm nghiệm phương trình trung tính

Trong chương này ta nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phương trìnhtrung tính có dạng

Trong đó, B là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính, các toán tử F và Φ là toán

tử sai phân và toán tử trễ, tương ứng Với tính đặt chỉnh của phương trìnhnày ta tham khảo Hale [20, 21], Wu [25, Chương 2.3], Wu và Xia [24], Adimy

và Ezzinbi [30], Nagel và Huy [53] Đặc biệt, trong [53] các tác giả đã đề xuấtmột phương pháp trừu tượng bằng cách chọn không gian Banach X và xétnghiệm u(·) : [−r, ∞) → X, r > 0 Khi đó, hàm lịch sử tương ứng được xácđịnh như sau

Giả thiết 2.1.1 Trên không gian Banach X và C := C([−r, 0], X) ta xétcác toán tử sau.

(i) (B, D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (etB)t≥0 trên Xthỏa mãn ketBk ≤ M eω1t với các hằng số M ≥ 1 và ω1 ∈ R

(ii) Toán tử sai phân F : C → X và toán tử trễ Φ : C → X tuyến tính và

bị chặn

Trong phần này ta nhắc lại những kết quả thu được trong [53] về tínhđặt chỉnh của phương trình (2.1) cũng như biểu diễn giải thức của nửa nhómnghiệm (2.1) Xét không gian C := C([−r, 0], X) với chuẩn sup và toán tử(Gm, D(Gm)) trên C, được xác định

Ta có tính chất của GB,0 và (TB,0(t))t≥0 được chứng minh trong [33, Mệnh

eλ(s−ξ)f (ξ)dξ, (2.2)với f ∈ C, s ∈ [−r, 0]

(iii) Nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 thỏa mãn:

kTB,0(t)k ≤ M eω1 t, t ≥ 0, (2.3)với hằng số M và ω1 ở trong Giả thiết 2.1.1

Ta lấy toán tử trễ Φ và toán tử sai phân F (xem (2.5) và Định lý 2.2.4)

ta định nghĩa một hạn chế khác của Gm

Định nghĩa 2.2.3 Toán tử GB,F,Φ được xác định

GB,F,Φf := f0 trên miền xác định

D(GB,F,Φ) := {f ∈ D(Gm) : F f ∈ D(B) và F (f0) = BF f + Φf }.(2.4)

Trong [53] ta tìm điều kiện của F sao cho toán tử GB,F,Φ trở thành toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh Do đó, ta viết F dưới dạng

với Ψ : C → X là toán tử tuyến tính bị chặn Miền xác định của GB,F,Φ đượcviết

D(GB,F,Φ) = {f ∈ D(Gm) : f (0) − Ψf ∈ D(B) và

f0(0) = B(f (0) − Ψf ) + Φf + Ψf0}

Ta nhắc lại định lý về đặt chỉnh của phương trình (2.1), tức là nếu toán

tử Ψ là "nhỏ", thì GB,F,Φ sinh ra một nửa nhóm biểu diễn nghiệm phươngtrình (2.1)

Với λ ∈ C ta xác định toán tử eλ : X → C bởi

[eλx](t) := eλtx với t ∈ [−r, 0], x ∈ X (2.6)

Định lý 2.2.4 [53, Định lý 2.4, Hệ quả 2.5, Hệ quả 2.6] Giả sử toán tử saiphân F có dạng (2.5) sao cho Ψ thỏa mãn điều kiện kΨk < 1 Khi đó cáckhẳng định sau thỏa mãn

(i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ) với mỗi λ > ω1 + 1−kΨkM kΦk (với hằng số ω1 và M như trongGiả thiết 2.1.1) Ta có

R(λ, GB,F,Φ)f = eλ[ΨR(λ, GB,F,Φ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ) − Ψ)]f

+R(λ, GB,0)f với f ∈ C (2.7)(ii) Toán tử GB,F,Φ sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ(t))t≥0 trên C.(iii) Phương trình (2.1) là đặt chỉnh Chính xác hơn, với mỗi ϕ ∈ D(GB,F,Φ)tồn tại duy nhất một nghiệm cổ điển ut(·, ϕ) của (2.1) cho bởi

ut(·, ϕ) = TB,F,Φ(t)ϕ,

và với mọi dãy (ϕn)n∈N ⊂ D(GB,F,Φ) thỏa mãn limn→∞ϕn = 0, ta có

lim

n→∞ut(·, ϕn) = 0đều trên mỗi đoạn compact

Lưu ý rằng, thay vì giả thiết Ψ là nhỏ, ta giả sử rằng Ψ không có trọng tại

0 (xem Định nghĩa 2.2.5 bên dưới) Ý tưởng chính là thay đổi chuẩn trongkhông gian C([−r, 0], X) sao cho, với chuẩn tương đương mới, chuẩn của Ψ

là nhỏ Ý tưởng này đã được sử dụng bởi M Schwarz [31] để nghiên cứuphương trình trung tính thường Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm "không cótrọng tại 0"

Định nghĩa 2.2.5 Toán tử tuyến tính bị chặn Ψ ∈ L(C([−r, 0], X), X) đượcgọi là không có trọng tại 0 nếu mỗi  > 0 tồn tại một số dương δ ≤ r sao chokΨ(f )kX ≤ kf k∞ với mọi f ∈ C([−r, 0], X) thỏa mãn suppf ⊆ [−δ, 0].Chú ý 2.2.6 Định nghĩa này được lấy từ [31, Định nghĩa II.2.1] Chú ý rằng,nếu Ψ ∈ L(C([−r, 0], X), X) có dạng

Ta thay chuẩn của không gian C := C([−r, 0], X) (xem [53]) Thật vậy,với mỗi số dương ω, chuẩn mới k · kω được xác định bởi

(i) Có một hằng số dương ω sao cho toán tử Ψ, là một toán tử tuyến tính

trình trung tính

Sau khi có tính đặt chỉnh của phương trình (2.1), chúng ta xét tính nhịphân mũ của nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 Để thực hiện điều này, trướchết chúng ta tính phổ của nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 trên C = C([−r, 0], X) (xemĐịnh nghĩa 2.2.1) Điều này sẽ được sử dụng để chứng minh tính nhị phân

mũ của nửa nhóm (TB,F,Φ(t))t≥0 với nhiễu nhỏ bởi toán tử trễ Φ Trước hết

ta so sánh phổ của (TB,0(t))t≥0 với hạn chế của nó lên không gian con bấtbiến C := {f ∈ C : f(0) = 0}

Định lý 2.3.1 Cho nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 trên C được xác định trong Địnhnghĩa 2.2.1 với toán tử sinh GB,0 Kí hiệu (T0(t))t≥0 là hạn chế của (TB,0(t))t≥0

lên không gian con C Khi đó, khẳng định sau

σ(TB,0(t)) ⊆ σ(T0(t)) ∪ σ(etB) với t ≥ 0 (2.8)Chứng minh Xem [35, Bổ đề 4.1]

Sử dụng định lý này và tính chất phổ của các nửa nhóm lũy linh, ta thuđược hệ quả sau về tính nhị phân mũ của nửa nhóm (TB,0(t))t≥0

Hệ quả 2.3.2 Nếu (B, D(B)) sinh ra nửa nhóm có nhị phân mũ (etB)t≥0thì nửa nhóm (TB,0(t))t≥0 cũng có nhị phân mũ.

Chứng minh Do (T0(t))t≥0 là hạn chế của (TB,0(t))t≥0 trên không gian con

Khi đó (T0(t))t≥0 là nửa nhóm lũy linh, tức là T0(t) = 0 với t > r (xem[28, II.4.31]) Theo [28, Hệ quả IV.2.5], ta có σ(T0(t)) = {0} với t > 0, do đótheo (2.8) ta có

σ(TB,0(t)) ⊂ {0} ∪ σ(etB) (2.9)

Kí hiệu D là đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, ta thấy rằng, nếu(etB)t≥0 là nửa nhóm có nhị phân mũ thì σ(etB) ∩ D = ∅ với t > 0 Do đó,theo (2.9) ta có σ(TB,0(t)) ∩ D = ∅ với t > 0 Suy ra nửa nhóm (TB,0)t≥0 cónhị phân mũ

Mục đích chính của phần này là chỉ ra sự tồn tại tính nhị phân mũ củanửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ(t))t≥0 với điều kiện nửa nhóm (etB)t≥0 có nhị phân

mũ và toán tử trễ Φ có chuẩn đủ nhỏ Do đó, ta cần đặc trưng cho tính nhịphân mũ của các nửa nhóm (xem [23, Định lý 2.6.2]) Để áp dụng định lýnày, ta phải tính giải thức R(λ, GB,F,Φ) liên hệ với các giải thức R(λ, GB,0)

[eλx] := eλtx với t ≤ 0, x ∈ X

Chứng minh Theo [29, Định lý 4.1] và tính nhị phân mũ của (etB)t≥0 ta có,tồn tại các hằng số P1, ν sao cho

kR(λ, B)k ≤ P1, ∀|Reλ| < ν

Đặt

Σ := {λ ∈ C : |Reλ| < ν},và