Cho tam giác ABC nhọn AB AC < nội tiếp đường tròn ; O R và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.. Đường thẳng AI cắt BC tại E và cắt O tại điểm thứ hai F.. Đường thẳng KF cắt đường
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN VĨNH PHÚC
ĐỀ THI CHỌN HSG TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ X- NĂM 2014 MÔN TOÁN - LỚP 10
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
xy x y
x y
− + =
∈
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC < ) nội tiếp đường tròn ( ; ) O R và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường thẳng AI cắt BC tại E và cắt (O) tại điểm thứ hai
F Vẽ đường cao AD của tam giác ( D BC ∈ ), trên tia AD lấy điểm K sao cho AK = 2 R
Đường thẳng KF cắt đường thẳng BC tại H.
a) Chứng minh rằng IK ⊥ IH
b) Đường tròn đường kính AH cắt KE tại G (G cùng phía với K đối với đường thẳng AH),
AG cắt KI tại M Chứng minh rằng MI = MG
Câu 3 (4,0 điểm) Cho số k nguyên dương và đa thức ( ) P x hệ số nguyên, ( ) P x khác 0
−
hệ số ( a ii = 0, ) n sao cho ai ≥ k
Câu 4 (4,0 điểm) Một số nguyên dương k được gọi là "đẹp" nếu có thể phân hoạch tập
hợp các số nguyên dương thành k tập hợp A A1, , ,2 A sao cho với mỗi số nguyên dươngk
15
n ≥ và với mọi i ∈ { 1;2; ; k } đều tồn tại hai số thuộc tập A có tổng là n.i
a) Chứng minh rằng k = 3 là số đẹp.
b) Chứng minh rằng k = 4 là số không đẹp.
(Tập ¢ được phân hoạch thành các tập khác rỗng + A A1, , ,2 A nếu k ¢+ = A1U A2 U U Ak
và Ai I Aj = ∅ ∀ ≠ , i j ).
Câu 5 (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương , a n sao cho n > 1 và p là một số nguyên tố
lẻ thỏa mãn ap ≡ 1 (mod pn) Chứng minh rằng a ≡ 1 (mod pn− 1)
-Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
LẦN THỨ X- NĂM 2014 MÔN TOÁN - LỚP 10
(Đáp án gồm 4 trang)
Câu 1 (4,0 điểm).
+ − + =
+ − + = − + +
ay a
− =
− = − + +
0,5
Do đó (2)⇔4a3+y3=3a+6y+ ⇔6 4a3+y3 =3ay2
2
= −
4
a − − = ⇔ =a a ± .
= ÷÷
và ( ; ) 3 17 1; 17
= ÷÷
Thử lại ta tìm được các nghiệm của hệ là:
∈ − − ÷ ÷ ÷÷
1,0
Trang 3Câu 2 (4,0 điểm).
1) (2,0 điểm).
K, F, A' thẳng hàng và F là trung điểm của KA'. 0,5
2) (2,0 điểm)
Ta có E là trực tâm tam giác AKH, giả sử KE cắt AH tại X.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Câu 3 (4,0 điểm).
Q x a x a x − a x a
−
2
k k
x= ± + . 1,0
Bổ đề về biên của nghiệm: Nếu x là một nghiệm bất kì của đa thức hệ số thực0
1
H x a x a x − a x a a
−
0
i n
a x
a
=
< + (Học sinh phải chứng minh bổ đề này-đây là kết quả cơ bản quen thuộc)
1,0
Trang 4Áp dụng ta được
2
0, 0
4
1 max 2
i
i n
a
k k
a
= + + < +
2
k k
0, 0
i n
a k
a
=
< +
1,0
Do a0∈¢;a0 ≠0 nên
0
i
i n i n
a
a a
suy ra đpcm
1,0
Câu 4 (4,0 điểm).
a) (1,5 điểm) Với k = 3 ta chỉ ra một cách phân hoạch tập ¢+ thành 3 tập A A A1, 2, 3
thỏa mãn như sau:
1,5
b) (2,5 điểm)
Đặt B i = A iI {1; 2;3; ; 23} với i=1, 2,3, 4
1,0
Khi đó {a i+a j;1≤ < ≤i j 5} ={15;16;17; ; 24} .
1 5
15 16 24
i j
i j
≤ < ≤
+ = + + +
1,0
Câu 5 (4,0 điểm).
Từ a p ≡1 (modp n)⇒a p ≡1 (mod )p
1,0
Trang 5Ta có a p − = −1 (a 1)(a p−1+a p−2 + + + a 1) Đặt A a= p−1+a p−2+ + + a 1.
0
i
=
= + + + + =∑ +
1,0
2
Suy ra
1
2
p
1,0
( , ) 1m p = nên ta có a≡1 (modp n−1) (đpcm)
1,0
Hết
-Họ tên giáo viên ra đề: Lê Xuân Đại, GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc
SĐT: 0912.960417; Email: lexuandaicvp@gmail.com