Chứng minh AC, BD, EG, HF đồng quy tại một điểm.. Biết rằng hai tập tuỳ ý trong các tập này đều có đúng một phần tử chung.. Hãy chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2014 tập đã
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
KHỐI 10
Đề này có 01 trang, gồm 05
câu
Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
2( x + x - 1) + 2 x + 2 x = + 3 5 + 4 x
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) Các tiếp điểm
của (I) với AB, BC, CD, DA làn lượt là E, F, G, H Chứng minh AC, BD, EG,
HF đồng quy tại một điểm.
Câu 3 (4,0 điểm) Giả sử đa thức P x ( ) = x5 + ax2 + b có năm nghiệm
1, , , , 2 3 4 5
x x x x x Đặt f x ( ) = x2 - 3. Chứng minh rằng
Câu 4 (4,0 điểm) Cho 2014 tập hợp mà mỗi tập hợp này đều chứa đúng 40
phần tử Biết rằng hai tập tuỳ ý trong các tập này đều có đúng một phần tử chung Hãy chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2014 tập đã cho
Câu 5 (4,0 điểm) Chứng tỏ rằng tổng
A
n
không phải là số nguyên dương
HẾT
-Người ra đề (Phạm Thị Lan – Điện thoại 0982217044)
Trang 2TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN
KHỐI 10
Đáp án này có 04 trang, gồm 05 câu
Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực
2( x + x - 1) + 2 x + 2 x = + 3 5 + 4 x
4,0
+ Điều kiện: 5
4
+ Đặt y =x2 + x - 1 ta có phương trình: 2 1 5 4
1
2
x
x
z = - + + z ³ - ta có phương trình: z2 + z - 1=x 0,5
+ Ta có hệ phương trình:
2
2 2
0,5
Do điều kiện 1
2
Mặt khác, cộng vế với vế của (1): x2 + y2 + z2 = 3³Þ£33 x y z2 2 2 xyz 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 =y2 =z2 =1Þ x =y =z =1 (vì
x y z ¹ - )
0,5
Câu 2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) Các tiếp điểm của (I) với AB,
BC, CD, DA làn lượt là E, F, G, H Chứng minh AC, BD, EG, HF đồng quy
tại một điểm
4,0
Trang 3
M
F
E H
G D
A
C
B
Gọi M là giao của AC và HF, M ¢ là giao của AC và EG.
Vì sinA HM· =sinBFM· =sinFMC· nên ta có
·
·
·
·
(1)
A BM MFC
S
V
1,5
'
M C =GC
0,5
Do A H =A E CF, =CG nên từ (1), (2) ta có
'
' '
MC = M C Þº hay AC, EG, HF đồng quy tại M.
1,0
Tương tự ta cũng có BD, HF, EG đồng quy tại M.
Hay AC, BD, EG, HF đồng quy.
1,0
Câu 3 Giả sử đa thức P x ( ) = x5 + ax2 + b có năm nghiệm x x x x x1, , , , 2 3 4 5
Đặt f x ( ) = x2 - 3. Chứng minh rằng
4,0
Vì x x x x x1, , , ,2 3 4 5 là nghiệm của P x ( ) nên
1,0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x f x f x
Trang 4( x1 3 ) ( x5 3 ) ( x1 3 ) ( x5 3 )
3 243 243
Câu 4 Cho 2014 tập hợp mà mỗi tập hợp này đều chứa đúng 40 phần tử Biết rằng
hai tập tuỳ ý trong các tập này đều có đúng một phần tử chung Hãy chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả 2014 tập đã cho
4,0
Xét tập A tuỳ ý trong 2014 tập đã cho.
Vì A có phần tử chung với từng tập trong 2013 tập còn lại nên trong A phải tồn tại phần tử a nào đó thuộc ít nhất 51 trong 2013 tập còn lại (vì ngược lại, nếu một trong 40 phần tử của A chỉ thuộc 50 tập còn lại thì số tập đã cho khác A sẽ là 40.50 =2000< 2013)
Như vậy, phần tử a thuộc 52 tập A A A, 1, 2, , A51
1,0
Chứng minh a thuộc tập bất kỳ B trong 2014 tập đã cho.
Vì hai tập tuỳ ý trong các tập đã cho có đúng một phần tử chung nên các tập
1 2 51
, , , ,
A A A A không thể có phần tử chung nào khác a 1,0 Giả sử phần tử a không thuộc B Khi đó với mỗi A i (1£ £i 51) , B phải
có phần tử chung a i ¹ avà các phần tử này cũng phải khác nhau (Nếu
a =a thì các tập A A i, j (1£ i j, £ 52) sẽ có ít nhất hai phần tử chung là
a và a ) Bởi vậy tập B chứa không ít hơn 52 phần tử (trái giả thiết) i
Do đó a thuộc tập B
1,0
Vì B là tập bất kỳ trong 1962 tập còn lại (B ¹ A B, ¹ A i (1£ £i 51) ) nên
Câu 5 Chứng tỏ rằng tổng
A
n
(2013 số hạng)
4,0
Trang 5không phải là số nguyên dương.
Trước hết ta giải bài toán tổng quát:
“ Chứng minh rằng tổng (n số hạng, n > ) 1
A
không phải là số nguyên dương”
1,0
Ta có A n 21 n 21 n 21
2
n
n
n n
+
Mặt khác A n2 1 n2 1 n2 1
2
1
n
n
+
+
0,5
Do đó 1< A < 2 Vậy A không phải là số nguyên dương Với n =2013 thì
ta có bài toán đã cho
1,0