NGHIÊN cứu một số bài TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC

MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG TRONG BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC...4 1.1.. Trong đó việc đoán nhận xem một tam giác làđều, vuông, cân hay dạng đặc biệt nào đó sẽ giúp ích rất

Nghiên cứu một số bài toán

nhận dạng tam giác

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cảm ơn ii

Mục lục ii

Danh mục các từ viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG TRONG BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC 4

1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác 4

1.1.1 Định lý hàm số sin 4

1.1.2 Định lý hàm số cosin 4

1.1.3 Các công thức về diện tích 4

1.1.4 Định lý đường phân giác 4

1.1.5 Công thức đường phân giác 5

1.1.6 Định lý đường trung tuyến 5

1.1.7 Công thức đường trung tuyến 5

1.1.8 Công thức bán kính đường tròn nội tiếp 5

1.1.9 Công thức bán kính đường tròn bàng tiếp 5

1.1.10 Các hệ thức lượng giác cơ bản 5

1.2 Các bất đẳng thức trong tam giác 17

1.2.1 Bất đẳng thức tam giác 17

1.2.2 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản 17

1.3 Một số bất đẳng thức đại số 23

1.3.1 Bất đẳng thức Côsi 23

1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 23

1.3.3 Bất đẳng thức Chebyshev 23

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC 24

2.1 Nhận dạng tam giác vuông 24

2.1.1 Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức 24

2.1.2 Sử dụng bất đẳng thức 30

2.1.3 Phương pháp thêm tham số mới 33

2.2 Nhận dạng tam giác cân 34

2.2.1 Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức 34

2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức 38

2.2.3 Phương pháp thêm tham số mới 42

2.3 Nhận dạng tam giác đều 43

2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác cơ bản 44

2.3.2 Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức 46

2.3.3 Sử dụng bất đẳng thức 48

2.3.4 Nhận dạng tam giác từ hệ điều kiện 51

2.3.5 Phương pháp thêm tham số mới 54

2.4 Nhận dạng tam giác trong các trường hợp khác 55

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG 58

3.1 Các bài tập có lời giải 58

3.1.1 Nhận dạng tam giác vuông 58

3.1.2 Nhận dạng tam giác cân 61

3.1.3 Nhận dạng tam giác đều 62

3.1.4 Nhận dạng tam giác trong các trường hợp khác 65

3.2 Các bài tập không có lời giải 69

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

ABC

D : Tam giác ABC

A B C, , : Các đỉnh tam giác hay số đo các góc trong tam giác

a b c, , : Độ dài các cạnh đối diện các góc A, B, C

đpcm : điều phải chứng minh

l l l, , : Độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ A, B , C

R : Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

r : Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

a b c

r r r, , : Độ dài các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C

p : Nửa chu vi tam giác

S : Diện tích tam giác

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Lượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình toán họcphổ thông Tuy nhiên khả năng đi sâu vào vấn đề này của người học cònnhiều mặt hạn chế Nhận dạng tam giác là một lớp bài toán trong phần hệ thứclượng trong tam giác nói riêng và trong chương trình môn học lượng giác ởnhà trường phổ thông nói chung Nhận dạng tam giác là một dạng toán hay vàkhó, thường gặp trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hoặccác Kỳ thi có tính chất tuyển chọn học sinh Nội dung cơ bản của nó có thểtóm tắt như sau: Cho một tam giác thỏa mãn một điều kiện nào đó (thường làdưới dạng một đẳng thức lượng giác), chúng ta cần chỉ ra tam giác đó có đặcđiểm gì Ngoài ra, nhận dạng tam giác còn được đưa vào như một bước trunggian của rất nhiều bài toán Trong đó việc đoán nhận xem một tam giác làđều, vuông, cân hay dạng đặc biệt nào đó sẽ giúp ích rất nhiều cho việc tínhdiện tích, chu vi hay các yếu tố khác trong tam giác…

Các bài tập về nhận dạng tam giác rất phong phú và đa dạng, bên cạnhnhững bài toán có thuật giải còn có không ít những bài toán không có thuậtgiải Vì vậy, việc giải bài toán nhận dạng tam giác học sinh gặp không ít khókhăn cần thiết phải có những định hướng hoặc một bước nào đó trong quátrình giải bài toán Từ những hướng đó học sinh cần phải có những kỹ năngbiến đổi công thức và nhận ra những dấu hiệu để đi đến lời giải cho lớp bàitoán tương tự

Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài " Nghiên cứu một số bài toán nhận dạng tam giác” làm khóa luận tốt nghiệp nhằm cung cấp thêm kiến thức cho

người học thể hiện ở hệ thống lại các kiến thức cơ bản, các ý tưởng vàphương pháp giải điển hình về bài toán nhận dạng tam giác

2 Mục tiêu khóa luận

Hệ thống các phương pháp giải bài toán nhận dạng tam giác Xây dựng

ví dụ minh họa cho từng phương pháp kèm phân tích, nhận xét làm cơ sở cho

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại kiến thức về các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác,bất đẳng thức tam giác và một số bất đẳng thức đại số thường dùng để giảibài toán nhận dạng tam giác

Hệ thống các dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông, tam giác cân, tam giácđều và tam giác trong một số trường hợp khác Dựa vào các dấu hiệu nhậnbiết xây dựng phương pháp giải thông qua các ví dụ điển hình làm cơ sở chobài toán tự

Tổng hợp các bài toán có lời giải cho từng phương pháp và các bài toánkhông có lời giải

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáotrình có liên quan đến lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác và một số tàiliệu liên quan để giải các bài toán nhận dạng tam giác

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tàiliệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trựctiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hìnhthức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Bài toán nhận dạng tam giác

 Phạm vi: Sử dụng kiến thức về lượng giác, hệ thức lượng trong tam

giác và một số bất đẳng thức đại số để giải các bài toán nhận dạng tam giác

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán khi muốn tìmhiểu về bài toán nhận nhận dạng tam giác Góp phần rèn luyện thói quen phântích tìm hiểu về các vấn đề trong quá trình giải toán, phát triển kĩ năng phântích, tư duy và thực hành giải toán thực sự hữu ích cho công tác giảng dạy saunày ở trường Phổ thông

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành 3 chương:

Chương 1 Một số đẳng thức và bất đẳng thức sử dụng trong bài toán nhận dạng tam giác

Trong chương 1, chúng tôi hệ thống các kiến thức cơ bản về một sốđẳng thức và bất đẳng thức sử dụng trong bài toán nhận dạng tam giác

Chương 2 Bài toán nhận dạng tam giác

Trong chương 2, chúng tôi hệ thống các bài toán nhận dạng tam giácđưa ra các phương pháp giải cho từng lớp bài toán Đồng thời đưa ra các nhậnxét, chú ý khi giải bài toán hay khái quát bài toán

Chương 3 Bài tập áp dụng

Trong chương 3, chúng tôi hệ thống các bài toán mà có thể giải đượcbằng cách áp dụng các phương pháp giải đã đưa ra ở chương 2

-1.1.4 Định lý đường phân giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

1.1.5 Công thức đường phân giác

Trong tam giác ABC ta có

a

A bc l

1.1.6 Định lý đường trung tuyến

Trong một tam giác, ba đường trung tuyến gặp nhau tại một điểm đượcgọi là trọng tâm của tam giác Trên mỗi đường trung tuyến, khoảng cách từtrọng tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ trọng tâm đến chân đườngtrung tuyến

1.1.7 Công thức đường trung tuyến

Trong tam giác ABC ta có

1.1.8 Công thức bán kính đường tròn nội tiếp

Trong tam giác ABC ta có

( ) A ( ) B ( ) C

r = p a- tan = p b- tan = p c- tan

1.1.9 Công thức bán kính đường tròn bàng tiếp

Trong tam giác ABC ta có

r =ptan ,r =ptan ,r =ptan

1.1.10 Các hệ thức lượng giác cơ bản

1.1.10.1.Các đẳng thức cơ bản của hàm số sin

Trong tam giác ABC , ta có các đẳng thức sau:

4 sin4A+sin4B +sin4C = - 4sin2 sin2 sin2A B C

5 sin(2k+1)A +sin(2k+1)B +sin(2k+1)C

= -( 1) 4cos(2 +1) cos(2 +1) cos(2 +1)

6 sin2 Ak +sin2kB +sin2kC = -( 1)k+ 14sin A.sink kB.sinkC

7 sin2A+sin2B +sin2C = +2 2cos cos cosA B C

8 sin 2 +sin 2 +sin 22 A 2 B 2 C = -2 2cos2 cos2 cos2A B C

4sin sin sin

4sin2 sin2 sin2

1 4cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)

k k

p p p

1

( 1) 4sin sin sin

k k

= -2 cos + cos - - cos2

2 cos cos cos

2 cos2 cos 2 2 cos 2 + 2

( ) 1

2 1 2cos cos cos

2 1 2cos cos cos

k k k

-1.1.10.2 Các đẳng thức cơ bản của hàm số cos

Trong tam giác ABC ta có các đẳng thức sau:

A + B + C = +cos cos cos 1 4sin sin sin

4 cos4A+cos4B +cos4C = - +1 4cos2 cos2 cos2A A C

5 cos 2( k+1)A +cos 2( k+1)B +cos 2( k+1)C

1 4cos cos cos

1 4cos2 cos2 cos2C

k k

C k

p p p

( ) ( )

( ) ( ) ( )k ( )

1 ( 1) 4sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1

6 Ta có:

cos2 cos2 cos2

1 ( 1) 4cos cos cos

1.1.10.3 Các đẳng thức cơ bản của hàm số tan

Trong tam giác ABC ta có các đẳng thức sau:

1 tanA+tanB +tanC =tan tan tanA B C (DABC không vuông)

2 tan2A +tan2B +tan2C =tan2 tan2 tan2A B C

4 tankA+tankB +tankC =tan tankA kB.tankC

5 tan 2( k+1) Atan 2( k+1) B +tan 2( k+1) B tan 2( k+1)C

2 Ta có

A+ +B C =pÞ 2A+2B =2p- 2C

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1.1.10.4 Các đẳng thức cơ bản của hàm số cot

Trong tam giác ABC ta có các đẳng thức sau:

1 cot cotA B +cot cotB C +cot cotC A =1

cot cot cot cot cot cot

3 cotkA.cotkB +cotkB.cotkC +cotkC.cotkA =1

4 cot 2( k+1) A +cot 2( k+1)B +(2k+1 cot) C

cot cot

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1.2.2 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Với mọi DABC ta luôn có các bất đẳng thức sau:

1 sinA +sinB +sinC £ 3 3

2

2 cosA +cosB +cosC £ 3

2

ï =ïïïïïï

ïïïï

( ) ( )

là tam giác đều.

6 cos cos cosA B C £ 1

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khiA =B =C =p

3 hay DABC là tam giácđều

Û êë2cos - cos - úû2+sin2 - ³ 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi DABC đều

Rõ ràng trong mọi tam giác A B C

tan , tan , tan

2 2 2 đều là số dương nên

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A =B =C

9 cotA +cotB +cotC ³ 3

Ta có: cotA +cotB +cotC >0 ( )*

Thật vậy ( )* đúng nếu DABC là tam giác không có góc tù

n

a a a n

(Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của

chúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = =a n

n n

é = = =ê

ê

ê = = =ê

2.1.1 Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức

Khi nhận diện tam giác vuông phương pháp biến đổi tương đương làphương pháp được dùng hơn cả Thực hiện các phép biến đổi tương đươngđẳng thức đã cho để đi đến tam giác đã cho có một góc bằng 90o, hoặc đi đến

hệ thức Pitago, hoặc đẳng thức liên quan đến tam giác vuông

Ví dụ 2.1.1 Chứng minh rằng nếu tam giác DABC vuông khi nó thỏa mãnđiều kiện sau r a = + + r r b r c

Nhận xét: Đối với bài toán liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp, đường

tròn bàng tiếp ta thường đi theo một trong hai hướng sau:

Sau đó biến đổi để đưa đến tam giác đã cho có một góc bằng 900

Dưới đây là cách giải theo 2 hướng đã nêu trên.

A A

B C

cos2

2 sin tan (sin sin sin )

4 sin cos tan 4 cos cos cos

Ví dụ 2.1.2 Chứng minh rằng nếu tam giác DABC vuông khi nó thỏa mãn

Khai thác: Chứng minh rằng nếu tam giác DABC vuông khi nó thỏa mãn

C B A

vu«ng t¹i B2

B A BC

Nhận xét: Đối với các bài toán liên quan đến yếu tố cạnh của tam giác thường

sử dụng công thức a= 2 sinR A; b= 2 sinR B ; c= 2 sin biến đổi để đưaR C

Khai thác: Vai trò của các góc A B C, , là như nhau Do đó ta có thể khai thácbài toán theo hướng sau: Chứng minh rằng nếu tam giác DABC vuông khi

nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau

1 sinA +sinB +sinC = -1 cosA +cosB +cosC

2 sinA +sinB +sinC = +1 cosA - cosB +cosC

3 sinA +sinB +sinC = +1 cosA +cosB - cosC

Lời giải: ( Ở đây chỉ đưa ra lời giải cho ý 1 Các ý còn lại lời giải tương tự)

1 sinA +sinB +sinC = -1 cosA+cosB +cosC

Ví dụ 2.1.4 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

( B + C) + ( B + C) =

Chứng minh ABC là tam giác vuông

Khai thác: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

B C p

2Vậy tam giác ABC vuông tại A (đpcm)

Nhận xét: Cách ra đề cho bài toán nhận dạng tam giác cân bằng bất đẳng thức

Bunhiacopxki tương tự ví dụ 2.1.4:

Từ DABC cân tại A Þ B =C Lấy tan hoặc cot hai vế

Giả sử tanB =tanC B C a

Û sin = sin =cos cos với b ¹ 0

Do A B C, , nhọn nên cosC >0,cos(A B- ) > Þ0 1 cos cos(+ C A B- ) 1>

Từ (2) suy ra vô lí Vậy giả thiết C £ p

2 sai Từ (1) suy ra C

p

=2Vậy DABC vuông C Þ (đpcm)

Nhận xét:

 Nếu C =900 ta không thử lại mà kết luận DABC vuông là khôngchặt chẽ Vì DABC chưa chắc thỏa mãn (1)

 Nếu xét trường hợp C <90 ta đi đến kết luận trường hợp này Từ đây0

phải có C =900 không cần thử lại

 Điểm quan trọng của bài tập này là ở chỗ với aÎ ¡ ,0< <a 1 thì ta

có a n >a m,1< <n m n m; , Î ¤ Từ đây bài toán có thể mở rộng nếu

n

A + B = C " ³n

sin sin sin , 1 thì DABC vuông

2.1.3 Phương pháp thêm tham số mới

Phương pháp thêm tham số mới là phương pháp ít khi gặp nhất Bằngviệc thêm tham số từ những điều kiện đã cho, chúng ta dễ dàng hơn trong việcchứng minh tam giác vuông

Ví dụ 2.1.6 Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

A + B + C =

Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.

sin

o

o

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A (đpcm)

2.2 Nhận dạng tam giác cân

Trong bài này ta đề cập đến những bài toán có dạng sau đây: Cho tamgiác thỏa mãn một số điều kiện nào đó, ta phải chỉ ra tam giác đó là tam giác cân

Với dạng toán này ta sẽ nhận xét vai trò của hai yếu tố nào đó trongtam giác (hai cạnh hoặc hai góc) Từ đó ta tìm cách chỉ ra hai yếu tố đó bằngnhau và suy ra tam giác đã cho là tam giác cân.

Vậy tam giác ABC cân tại C

b Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân

Cách giải tương tự ý a ở trên

Ví dụ 2.2.2 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh ABC là tam giác cân

Nhận xét: Ta thấy (1) chứa cả hai yếu tố cạnh và góc Đối với bài toán này ta

có thể chứng minh DABC cân theo hai cách:

Cách 1:

Do cả hai vế của đẳng thức đã cho là số dương nên bình phương hai vế

ta được đẳng thức tương đương:

( ) ( )

22

( ) ( )

Lời giải:

Đẳng thức đã cho tương đương với:

Vì A B, nhọn nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương

A

2

1cos và

2cos

Như vậy, nếu có (1) thì tam giác ABC cân tại C (đpcm)

Khai thác: Tam giác ABC có ba góc đều nhọn và thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.

Vì A B, nhọn nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương

A

2

1sin và

2sin

Như vậy, nếu có (1) thì tam giác ABC cân tại C (đpcm).

Ví dụ 2.2.4 Cho tam giác ABC có l b = Chứng minh l c ABC là tam giác cân

Ở đây ta nhận thấy vai trò của b và c như nhau, nên ta sẽ chứng minh

b c= Giả thiết phản chứng b c¹ , khi đó ta có thể giả sử rằng b c> (vì nếukhông ta sẽ lí luận tương tự)

2.2.3 Phương pháp thêm tham số mới

Ví dụ 2.2.5 Nhận dạng tam giác ABC biết rằng biểu thức

Đặt cosA + 3 cos 3éêë ( B +2A) +cos 2( B C- )ùúû=M

C B C B

B C A

+

Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm).

2.3 Nhận dạng tam giác đều

Nhận dạng tam giác đều là lớp bài toán quan trọng trong nhận dạng tamgiác Trong bài này ta đề cập đến những bài toán có dạng sau đây: Cho tam giácthỏa mãn một số điều kiện nào đó, ta phải chỉ ra tam giác đó là tam giác cân.Người ta thường sử dụng một trong các phương pháp:

 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác cơ bản

 Sử dụng biến đổi đẳng thức

 Nhận dạng tam giác từ hệ điều kiện

 Sử dụng bất đẳng thức để nhận dạng tam giác đều

 Phương pháp thêm tham số mới

2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác cơ bản.

Phương pháp này dựa trên 9 bất đẳng thức lượng giác cơ bản ở chương

1 mục 1.1.2 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản

Đẳng thức trong các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi ABC làtam giác đều Như vậy, nếu từ các giả thiết đã biết, ta đưa giả thiết đó về mộttrong chín đẳng thức đạt được trong các bất đẳng thức trên thì tam giác đó làtam giác đều Đây chính là nội dung của phương pháp này Như vậy trongtrường hợp này lược đồ chung để giải lớp bài toán này như sau:

Bước 1: Biến đổi hệ thức đã cho về một trong 9 điều kiện trên trong trường hợp dấu bằng xảy ra

Bước 2: Giải bài toán cơ bản ứng với điều kiện tương ứng

Ví dụ 2.3.1 Cho tam giác ABC thỏa mãn