tuyển tập đề thi tốt nghiệp thpt môn toán

tuyển tập đề thi tốt nghiệp thpt môn toán

Đề số 1

Câu 1 a) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 +b2 =1 và c − d =3

Chứng minh rằng ac bd cd 9 6 2

4

+

b) Tam giác ABC có các góc và các cạnh thỏa mãn hệ thức:

(b c)cos A (c a)cos B (a b)cosC 2asin 2bsin 2csin

Chứng minh rằng tam giác ABC đều

Câu 2 a) Giải phơng trình:

( )log cos x sin x ( )log sin x cos x

1 cos x+ = +1 sin x b) Tìm a để hệ phơng trình

2

ax 2cos y 2 0



 − = −



có nghiệm duy nhất với x 0; ; y 0;

Câu 3 Cho số tự nhiên α ≥ 3 Dãy (an) đợc xác định nh sau:

1

n 1

n n 1

a

a

2

−

−

= α







([a] là kí hiệu số nguyên lớn nhất không vợt quá a)

Tìm xlim an

→∞ ?

Câu 4 Cho hai đờng tròn có phơng trình

2 2 1

2 2 2

(O ) :x y 2x 4y 1 0

(O ) : x y 18x 20y 81 0

Cắt nhau theo hai giao điểm A và B Một đờng thẳng ∆ bất kì qua B, cắt (O1) tại M và cắt (O2) tại N (B ở giữa M và N)

Xác định phơng trình đờng thẳng ∆ sao cho đờng tròn ngoại tiếp ∆AMN có bán kính lớn nhất

Đề số 2

Câu 1 Cho hàm số g(t)= t2+ +4t 6, đặt f (x) Max g(t)=[x 4;x− ]

(tức là giá trị lớn nhất của g(t) trên đoạn [x−4; x])

a) Tìm GTNN của f(x) trên tập các số thực

b) Cho dãy ( )un n 1∞= xác định nh sau: un ={f (n) ,n 1,2, } =

(trong đó {α} là kí hiệu phần lẻ của số thức α) Tìm lim ax n

→∞ ?

Câu 2 a) Giải phơng trình 5x +4 x3 − +x3−41 0=

b) Cho ∆ABC thỏa mãn 2tgA 3tgB tgC

Chứng minh rằng (3− 3 cosA) +( 3 1 cosB 1− ) = + 3+ +(3 3 cosC)

Câu 3 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện:

1 P(x) P(1) P(x 1) P(x 1) , x

2

Câu 4 a) Cho elíp (E): x22 y22 1, (a b 0)

a +b = > > với hai tiêu điểm F1 và F2 Gọi M là

điểm thuộc elíp (E), M không trùng với các đỉnh thuộc trục lớn

Chứng minh rằng: ã ã

1 2 2 1

−

= + (với

2= −a2 b2) b) Cho hình chóp S.ABC, kí hiệu V là thể tích của khối chóp này Chứng minh rằng nếu tồn tại một điểm O sao cho ó = 1; OA = OB = OC = 4 thì

V 9 3≤

Đề số 3

Câu 1 a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x) 1 cos8x

6 2cos 4x

+

= +

b) Cho dãy số xác định nh sau:

2

u =0;u + = 24u + +1 5u ,n 1,2 =

Chứng minh mọi số hạng của dãy đã cho là số nguyên

Câu 2 a) Cho phơng trình

2

lg (x 1) lg x 2x 9x m 1 lg x 1 2lg

+

Xác định m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng b) Xác định dạng của tam giác ABC biết các góc của nó đều nhọn và thoả mãn điều kiện:

tg A tg B 2tg

2

+

Câu 3 a) Tìm a để hàm số y= − + +2x 2 a x2 −4x 5+ có cực đại

b) Xác định hàm số bậc ba y = f(x) biết:

f (1) 1

f (x 1) f (x) 3 x 3x , x

=





Câu 4 a) Cho hai mặt ABC và ABD của tứ diện ABCD có diện tích bằng nhau

Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của AB và CD phải đi qua trung

điểm của CD

b) Cho đờng thẳng ∆ và trên đó lấy một điểm A cho trớc, hai số dơng a, b sao cho a>b Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP = a, AQ = b và đờng thẳng

∆ là phân giác góc ãPAQ ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm M sao cho

AM AP AQuuuur uuur uuur= + Tìm tập hợp điểm M

Đề số 4

Câu 1 y là hàm số của x, xác định bởi hệ thức y x 1= − − (y 2)(y 2x 2)+ + −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại những điểm có tọa độ nguyên

Câu 2 Giải hệ bất phơng trình:

log x log x 1 log 2







Câu 3 Tìm m để tồn tại cặp sô (x; y) không đồng thời bằng không và thỏa mãn

ph-ơng trình: (4m 3 x− ) +(3m 4 y m 1 x− ) ( − ) 2 +y2 =0

Câu 4 Cho một hình cầu tâm O, bán kính R Chứng minh rằng nếu lấy 1000 điểm

khách nhau trong hình cầu đó thì ít nhất có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 2R

9 .

Câu 5 Cho elíp 9x2 +16y2 =144 và điểm M 2;3 3

2

  thuộc elíp Một đờng thẳng

∆ song song với tiếp tuyến của elíp tại M Tìm phơng trình của ∆ sao cho ∆

cắt elíp tại 2 điểm A, B mà diện tích ∆MAB lớn nhất

Đề số 5

Câu 1 Cho hàm số f: Ă →Ă thỏa mãn điều kiện:

x 0

f (x y) f (x) f (y), x

f (x)

x

→







Ă

Ă a) Chứng minh rằng hàm số f(x) có đạo hàm trên Ă

b) Tìm hàm số f(x)

Câu 2 a) Cho x, y, z>0 thỏa mãn x2 +y2 + =z2 1 Chứng minh rằng:

y z + z x + x y ≥ 2

b) Giải phơng trình 4x +9x =10x2 + +x 2

Câu 3 a) Chứng minh rằng ∀a, b ∈Ă , phơng trình ( ) (2 )2 3

x a+ + y b+ −x =0 không thể có 3 nghiệm phân biệt

b) Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì a b lna a b

Câu 4 Chứng minh rằng nếu ∆ABC nhọn thì

cos(A B).cos(B C).cos(C A)

64 cos A.cos B.cos C

Câu 5 Cho góc ãAOB 90= 0, điểm M di động trên CA, điểm N di động trên OB sao

cho OM + ON = 2a (a là hằng số dơng)

a) Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định b) I là điểm chia đoạn MN theo tỉ số l Tìm quỹ tích điểm I.

Câu 6 Cho elíp (E):

2 2

2 2

1

a + b = A và B là các điểm thuộc (E) sao cho OA⊥OB (A, B di động) và cho biết

2 2

+ + = Trong tất cả các hình thoi ABCD nội tiếp elíp (E), tìm hình thoi có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất (Hình thoi có tâm O)

Đề số 6

Câu 1 Cho hàm số

y 3x= +4x cosα −sinα −3x sin 2α (α là tham số, 0

2

π

Tìm α để trên đoạn [−sinα; cosα] hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu cũng

là GTNN của hàm số trên [−sinα; cosα]

Câu 2 a) Giải phơng trình:

2

x log x x log x 3 log x 2log x 3

2

b) Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(1972) 20012

P(x) P(x 1) 33 32

=







Câu 3 Cho a x= 0 < <x1 x2 < < xn =b Chứng minh:

k k

x −x + x −x + + x −x − ≤ a + b (Với k là số nguyên cho trớc)

Câu 4 Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy.

a) Cho elíp

2 2

1

9 + 4 = Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn, M là điểm di

động trên elíp Chứng minh rằng trực tâm H của ∆MA1A2 luôn nằm trên một elíp cố định

b) Cho ∆ABC có A(−1; 0), B(2; 0), C(0; 3) Tìm điểm M nằm trong tam giác

để biểu thức MA.BC+MB.CA+MC.AB có giá trị nhỏ nhất

Đề số 7

Câu 1 a) Giải phơng trình sin x sin x 1( + =) cos x cos x3 +

b) Cho α là tham số thực Hãy tìm nghiệm của hệ phơng trình sau:

4

1 1 x

1

2

 <







Câu 2 a) Cho hàm số:

f (x) a sin(b x) a sin(b x) a sin(b x)= + + với f (x) ≤ sin x , x∀ ∈ −[ 1;1]

Chứng minh rằng: a b1 1+a b2 2 +a b3 3 ≤1

b) Cho p, q, r là các số thực, q ≠ 0 và m là số tự nhiên thỏa mãn:

0

m 5 m 4 m 1+ + =

Chứng minh rằng: 256q r 27p3 ≤ 4

Câu 3 a) Cho phơng trình

Chứng minh rằng phơng trình trên có và chỉ có 2 nghiệm trái dấu

b) Mỗi điểm trong mặt phẳng đợc gắn với một trong hai màu xanh, trắng Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1 hoặc bằng 3 mà 3 đỉnh của nó cùng một màu

Câu 4 a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC có A(2; 5), trọng tâm

 , đờng phân giác trong góc C có phơng trình x 2y 2 0+ − = .

Điểm D có tọa độ (0; −6) Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh BC sao cho

MA MD− đạt giá trị lớn nhất

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 parabol y2 =2px và y ax= 2+bx c+ Chứng minh rằng nếu 2 parabol này cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì 4 điểm

đó cùng thuộc một đờng tròn

Đề số 8

Câu 1 a) Tìm tất cả các hàm số f :Ă →Ă thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

x 1) f (x) e , x 2) f (x y) f (x).f (y), x, y

Ă

Ă b) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2 +b2 + =c2 1

Chứng minh rằng: a3+ + −b3 c3 3abc 1≤

Câu 2 a) Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm:

1

1 3m 2m

b) Cho biểu thức P= x2 + +(y 1)2 + x2 + −(y 3)2

trong đó x, y thỏa mãn 2x − y − 2 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 3 a) Cho ∆ABC cân (AB = AC) Giả sử phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại

D và BC = BD + AD Tính góc ãBAC ?

b) Cho tứ diện ABCD, với tam diện vuông đỉnh A Xác định vị trí của điểm

M để 3MA MB MC MD+ + + là nhỏ nhất

Đề số 9

Câu 1 a) Giả sử f(x) là một hàm số xác định với mọi x và thỏa mãn:

2 x.f (x 2) (x+ = −9).f (x) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

b) Biết x, y, z, t là các số thực thuộc khoảng 1;1

4

  Tìm giá trị nhỏ nhất của

f (x, y,z, t) log y log z log x

Câu 2 a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

x y

4 +4 =32y 32x 48− + (với x < y)

b) Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm:

x + + −x 1 x − + =x 1 m

Câu 3 Trong mặt phẳg kẻ ô vuông đơn vị Hãy tìm đờng tròn có bán kính lớn nhất

chỉ đi qua các đỉnh ô vuông mà không cắt một cạnh hình vuông nào cả

Câu 4 a) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K là trung điểm

của SC Mặt phẳng (α) qua AK cắt SB, SD lần lợt tại M và N Đặt V1 là thể tích của hình chóp S.AKMN và V là thể tích hình chóp S.ABCD Xác định vị trí của mặt phẳng (α) để tỉ số V1

V đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

b) Trong mặt phẳg tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đờng thẳng d có phơng trình 4x + 3y = 12 Ma là điểm thay đổi trên đờng thẳng d Trên nửa đờng thẳng đi qua 2 điểm A và M lấy điểm N sao cho AM.AN 4uuuur uuur= Điểm N chạy trên đờng cong nào? Viết phơng trình đờng cong đó?

Đề số 10

Câu 1 Cho hàm số f (x) ax= 2 +bx c; a,b,c+ ∈Â Chứng minh rằng tồn tại số

nguyên z để f(z) = f(2004).f(2005)

Câu 2 Giải phơng trình x3− −x sin x 0π =

Câu 3 Cho hệ phơng trình (ẩn x, y, u, v)

2 2

2 2

xv yu 15





 + ≥



Tìm nghiệm của hệ sao cho tổng y + v là lớn nhất

Câu 4 Giải phơng trình: 2x +4x =2.3x

Câu 5 Cho ∆EFI vuông ở I và điểm P (P ≠ I) Lấy 2 điểm A, B lần lợt thuộc các

đ-ờng thẳng IE, IF sao cho góc ãAPB vuông Gọi M là hình chiếu của P trên

AB Tìm tập hợp các điểm M khi A, B thay đổi

Đề số 11

Câu 1 a) Với giá trị nào của x, y thì 3 số dơng sau đây đồng thời lập thành một cấp

số cộng và một cấp số nhân: x log y 2 x log y 2

a =8 + ;a =2 − ;a =5y

b) Tìm giới hạn

( )

x 0

cos cos x 2 lim

sin tgx

→

π

Câu 2 Cho hệ phơng trình:

2 cos x x ytgy 1



Chứng minh rằng hệ có cặp nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: 0 x y 1< < <

Câu 3 Tìm a sao cho hàm số g(x)= −2x3+3(a 1)x− 2 +6(a 1) 2(a 1)− − + có giá trị

cực đại, cực tiểu đều dơng và g(x) > 0, ∀x ≤ 0

Câu 4 Cho ∆ABC thỏa mãn điều kiện:

sin A

sin B

sin A

sin C

3

4sin A 1 4sin B 3

3

4sin B 1 4sin C 3







Xác định dạng của tam giác ABC?

Câu 5 a) Cho đờng thẳng ∆: 3x +25 = 0 và điểm F(−3; 0) Tìm quỹ tích ………

Đề số 12

Câu 1 a) Cho hàm số y = f(x) là hàm số tuần hoàn và có đạo hàm ∀x∈R Chứng

minh rằng hàm số y = f’(x) cũng là hàm số tiần hoàn

b) Chứng minh rằng hàm số y sin= ( )2c cos xkhông phải là hàm tuần hoàn

Câu 2 a) Cho dãy số (xn) xác định bởi

1

n 1 n n

3

4 +

=





Tìm a sao cho x2004 = x2005

b) Cho các số thực x, y thỏa mãn:

2 2

2x x

 ≥







Chứng minh rằng x2 +y2 ≤2

Câu 3 a) Giải phơng trình 5x + = +3x 2 6x

b) Trong các hình nón ngoại tiếp hình cầu cho trớc Hình nón nào có thể tích nhỏ nhất

Câu 4 Trong mặt phẳng cho hai đờng tròn:

2 2 2 1

2 2 2 2

(C ) : x y a (C ) : x y b (a b 0)

P và Q lần lợt là các điểm chuyển động theo thứ tự trên (C1) và (C2) sao cho

Ox là phân giác trong của góc ãPOQ Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn

OM OP OQuuuur uuur uuur= +

Đề số 13

Câu 1 a) Cho hàm số f (x)= −x ln 1 x( + ) Chứng minh rằng f '(x) x

1 x

=

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 1 2cos x= + + +1 2sin x

Câu 2 a) Chứng minh rằng phơng trình x2 −2y2 =5 không có nghiệm nguyên

b) Tìn tất cả các giá trị của k sao cho phơng trình sau có không ít hơn 2 nghiệm dơng khác nhau: x4 +kx3+x2+kx 1 0+ =

Câu 3 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai hình vuông OABC và OA’B’C’

Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ đồng quy

b) Cho họ đờng tròn ( ) 2 2 ( ) ( )

m

C :x +y −2 m 1 x− − m 6 y m 10 0+ + + = Chứng minh rằng các đờng tròn ( )Cm luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố

định khi m thay đổi

Câu 4 Cho dãy số (xn) đợc xác định nh sau:

0

n n 1

n 1

x 200

=





Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn Tìm giới hạn đó

Đề số 14

Câu 1 a) Tìm giới hạn của dãy số 2( )n

n

u =n 0,7 b) Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số y ln x

x

Câu 2 a) Cho hai số thức a, b, thỏa mãn điều kiện a2 +b2 +21 6x 8b≤ + Chứng

minh rằng 5a + 12b ≥ 37

b) Cho hàm số

2

y

x 1

−

= + , a là tham số Tìm a để Max y 1[ ]0;1 = .

Câu 3 a) Cho các số thực a, x, y, z thỏa mãn:

sin x sin y sin z cos x cos y cos z sin(x y z) cos(x y z) a

Chứng minh rằng cos(x y) cos(y z) cos(z x) a+ + + + + =

b) Chứng minh rằng với mọi số thc a, b, c phơng trình:

a cos7x bcos 4x ccos3x sin 2x 0+ + + =

luôn có nghiệm thuộc khoảng ( )0;π

Câu 4 Cho hình chóp có đáy là hình thoi có diện tích bằng 8 Góc nhọn của đáy

bằng 30 , đờng cao của hình chóp bằng 2 Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt 0 bên của hình chóp tại các điểm thuộc cạnh đáy

Chứng minh rằng đờng thẳng nối tâm mặt cầu và đỉnh của hình chóp đi qua giao điểm hai đờng chéo của đáy Tính bán kính mặt cầu nói trên

Đề số 15

Câu 1 a) Chứng minh rằng hàm số y x= không có đạo hàm tậi x = 0, hàm số

3

y= x có đạo hàm với mọi x∈R

b) Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mãn x ≥ y ≥ z Chứng minh rằng:

2 2 2

x y y z z x

Câu 2 a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng

ph-ơng trình a cos x 9bcos3x 25ccos5x 0+ + = có ít nhất 4 nghiệm trên đoạn

;

2 2

π π

b) Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng 3

4 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b)

Câu 3 a) Giải hệ phơng trình:

3 2

3 2

3 2

x 9z 27z 27 0







b) Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) đồng biến trên đoạn [a; b] và:

f (a) (a b);f (b) (b a)

Chứng minh rằng tồn tại các ố α, β, γ phân biệt trong đoạn [a; b] sao cho:

f '( ).f '( ).f '( ) 1α β γ = .

Câu 4 a) Trong hệ tọa độ Oxy cho elíp có phơng trình (E):

2 2

2 2

1, (a b 0)

a +b = > > Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn; B1, B2 là các

đỉnh trên trục bé của (E), M là điểm bất kì trên (E) Chứng minh rằng trục

đẳng phơng của hai đờng tròn ngoại tiếp ∆MA1A2 và ∆MB1B2 tiếp xúc với elíp (E)

b) Trong mặt phẳng cho n điểm A1, A2, ,A… n và vectơ ar cố định Viết phơng trình đờng thẳng d nhận vectơ ar làm vectơ chỉ phơng sao cho tổng bình

ph-ơng các khoảng cách từ Ai, i = 1, ,n đến d là nhỏ nhất.…

Đề số 16.

Câu 1 a) Giải phơng trình sin x 4cos x 3cos x3 + 3 =

b) Giải hệ phơng trình:

2

x 1 16y 1

(x y)

+









Câu 2 a) Cho hàm số f(x) xác định trên R và không đồng nhất bằng 0, thỏa mãn

điều kiện: 1) f(x+y) = f(x).f(y), ∀x,y∈R

2) f(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

Chứng minh rằng f(x) có đạo hàm mọi cấp tại x∈R Tính f (x)?n

b) Cho e x≤ ≤1 x2 ≤ ≤ xn < ≤y1 y2 ≤ ≤ yk và

x1+x2+ + xn > +y1 y2 + + yk Chứng minh rằng x x x1 2 n >y y y1 2 k

Câu 3 a) Trong tất cả các tứ diện OABC đỉnh O có 3 mặt vuông, hãy tìm tứ diện

có: T tg= 2α +tg2β +tg2γ +cot g2α +cot g2β +cot g2γ đạt giá trị nhỏ nhất Trong đó α, β, γ lần lợt là góc giữa các mặt OBC, OCA, OAB với mặt phẳng (ABC)

b) Cho a, b, là các số thỏa mãn a2 +b2 + =16 8a 6b+ Chứng minh rằng:

1) 10 4a 3b 40≤ + ≤

2) 7a 24b≤

Đề số 17

Câu 1 a) Tính giá trị của biểu thức ( 2 )( 2 )2 1

S 32x x 1 2x 1

x

9

π

=

b) Cho hàm số f :Ơ* →Ơ thỏa mãn các điều kiện:*

( )

f (1) 5;f f (n)= =4n 9+ và f (2 ) 2n = n 1+ +3 với mọi n∈Ơ *

Tính f(1789)?

Câu 2 a) Giải phơng trình x

3

3 = + +1 x log (1 2x)+ b) Cho các dãy số

( )

n(n 2) u

n 1

+

= + và xn =u u u1 2 n 1) Chứng minh rằng un là dãy tăng còn xn là dãy giảm

2) Chứng minh rằng n

n 2 x

2(n 1)

+

=

+

3 4 2

t 3 t , t 0;3

+

b) Cho ∆ABC, gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC Tính độ dài

AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC

Câu 4 Cho hai điểm F và F’ cố định Một đờng thẳng ∆ chuyển động sao cho ∆ và

F, F’ cùng ở trên một mặt phẳng cố định và F, F’ luôn ở về một phía đối với