Chuyên đề thiên văn học, chuyển động hành tinh trong hệ mặt trời

Thiên văn học sử dụng các công cụ toán học và các thành tựu khoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lí học để nghiên cứu sự chuyển động, bản chất vật lí, thànhphần hóa học, quá trình hình thà

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG

CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ THIÊN VĂN HỌC CHUYỂN ĐỘNG HÀNH TINH TRONG HỆ MẶT TRỜI

Tác giả : Nguyễn Thu Hằng

Trường THPT Chuyên Hạ Long

A Cơ sở lý thuyết

Đặt vấn đề: Thiên văn học là một ngành khoa học sớm nhất trong lịch sử

nhân loại Thiên văn học sử dụng các công cụ toán học và các thành tựu khoa học

tự nhiên, đặc biệt là vật lí học để nghiên cứu sự chuyển động, bản chất vật lí, thànhphần hóa học, quá trình hình thành và phát triển của các thiên thể và hệ thiên thểnhư Mặt trời, các hành tinh, các vệ tinh… các sao, các thiên hà và vũ trụ nóichung

Trong các vấn đề về thiên văn học thì chuyển động của các thiên thể trong

hệ Mặt trời dễ dàng tiếp cận và hay gặp trong các kì thi Học sinh khi sử dụng cáckiến thức vật lý 10 phần cơ và bổ túc toán thì giải quyết bài toán dễ dàng nên tôilựa chọn vấn đề này trong chuyên đề thiên văn học

I Các định luật Kê-ple về chuyển động các hành tinh.

Tycho Brahe, người Đan Mạch ( 1546- 16010), là nhà thiên văn cuối cùng

đã tiến hành quan sát chuyển động các hành tinh mà không sử dụng kính thiên văn.Ông đã thu thập được những số liệu quan sát liên quan đến vị trí các hành tinh vàchuyển động của chúng

Nhà thiên văn người Đức Johannes Kepler ( 1571-1630) đã dựa trên số liệuquan sát của Tycho Brahe để suy luận ra 3 định luật về chuyển động các hành tinhxung quanh Mặt Trời

1 Định luật I Kê-ple: Hành tinh chuyển động trên quỹ đạo elip mà tâm O

của Mặt trời là một trong hai tiêu điểm

2.Định luật II Kê-ple: Bán kính véc tơ vẽ từ Mặt trời tới các hành tinh quét

các diện tích bằng nhau trong các khoảng thời gian bằng nhau

3.Định luật III Kê-ple: Tỉ số giữa lập phương bán trục lớn và bình phương

chu kì quay quanh Mặt trời của hành tinh là một hằng số chung cho các hành tinh

II Các định luật áp dụng trong chuyển động của hành tinh và vệ tinh

Sau này nhà bác học Anh New ton ( 1642-1727) đã chỉ ra rằng các định luậtKepler có thể suy ra từ định luật vạn vật hấp dẫn và chúng ta cũng biết các địnhluật áp dụng chuyển động của hành tinh, vệtinh

1.Định luật II Niu tơn

2 Chuyển động của các hành tinh xung quanh Mặt trời dưới tác dụng củalực hấp dẫn hd 3

4 Mô men động lượng của hành tinh bảo toàn vì lực tác dụng là lực thếxuyên tâm.

3 Hành tinh có khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo elip mà Mặt trời

nằm ở tiêu điểm, cơ năng của hành tinh

2

1 2

1 Nếu cơ năng E < 0 thì quỹ dạo là hình tròn hoặc elip

2 Nếu cơ năng E = 0 thì quỹ đạo là parabol

3 Nếu E > 0 thì vật thoát sức hút Trái Đất và đi theo quỹ đạo hypecbol

IV Bổ túc về toán

Xét một hệ trục tọa độ Oxy

Gọi F1 và F2 là hai điểm thuộc trục Ox

với OF1 = OF2 = c Quỹ tích các điểm M

thuộc (Oxy) sao cho MF1+ MF2 = 2a và

không đổi gọi là đường elip

- Đặc điểm của đường elip:

+ Tâm sai

c e a



IV Bài tập ứng dụng

Bài 1 (Xác định đặc trưng của vệ tinh)

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên của Trái Đất có viễn điểm ở độ cao hA = 327 km và cậnđiểm ở độ cao hP = 180 km Biết bán kính Trái đất là R = 6370 km

1 Xác định các đặc trưng hình học của vệ tinh

2 Biết gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái đất là g = 9,8 m/s2 Xác định chu kìquay của vệ tinh

Bài giải

1 Do vệ tinh Trái đất chuyển động theo quỹ đạo elip

Khoảng cách từ viễn điểm tới tâm Trái Đất rA = R + hA = a+c = 6697 km

Khoảng cách từ cận điểm tới tâm Trái Đất rP = R + hP = a –c = 6550 km

Bán trục lớn của vệ tinh

1 ( ) 6623,5( )

a

 

vì e << 1 nên có thể coi quỹ đạo là hình tròn

Thông số quỹ đạo

Bài 2: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt trời khối lượng M theo quỹ

đạo elip với khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất đến tâm Mặt trời là R và r Xác địnhchu kì quay T của hành tinh

Do vật m1 chuyển động tròn đều ta có

2 2

* Áp dụng: Quỹ đạo vệ tinh nhân tạo Cosmos 380 có chu kì quay quanh Trái Đất

là T = 102,2 phút Khoảng cách cực đại và cực tiểu so tâm Trái Đất là 7926 km và

6588 km Xác định khối lượng Trái Đất

Áp dụng công thức (2) ta có khối lượng Trái đất là

2 3

24 2

Bài 2: Xác định chu kì quay của các ngôi sao sau đây

1 Ngôi sao đôi gồm hai sao có khối lượng M1 và M2 cách nhau khoảng L

2 Ngôi sao ba là hệ 3 ngôi sao có khối lượng M1 = M2 = M3 =M luôn tạothành tam giác đều cạnh L

Bài giải

1 Khối tâm của hệ hai ngôi sao tại O :

Bài 3: Một hành tinh khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo elip xung quanh

Mặt trời khối lượng M sao cho khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất đến tâm Mặt trời

là rmax và rmin Dùng các định luật bảo toàn tính

1 Năng lượng toàn phần E của hành tinh

2 Mômen động lượng L của hành tinh so tâm Mặt trời

3 Thông số quỹ đạo p và tâm sai e của hành tinh,

Từ (2) rút ra r và thế vào (1) ta có phương trình : 2mEr2 2GMm r L2  2 0

Phương trình có 2 nghiệm chính là rmax và rmin.

Cơ năng toàn phần max min 2

Bài 4: Người ta phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau Bắt đầu từ mặt

đất cấp vệ tinh vận tốc vo theo phương thẳng đứng Vệ tinh bay đến độ cao h, vậntốc vệ tinh bằng không thì cung cấp vận tốc v theo phương ngang để nó chuyểnđộng theo quỹ đạo elip với tâm sai e và thông số p Hãy xác định v0 và v theo h,p, e

và R là bán kính Trái đất và go là gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái Đất

Bài giải

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quá trình ném

đạo tròn cao bán kính R2 người ta tiến hành như sau: Tại điểm A của quỹ đạo thấpnhờ tên lửa trong thời gian rất ngắn truyền một vận tốc phụ cho vệ tinh để nó vạchmột nửa elip tiếp tuyến ở B với quỹ đạo cao Khi tới B, vệ tinh lại được truyền vậntốc phụ cho phép nó chuyển động theo quỹ đạo tròn cao Gọi go là gia tốc trọngtrường trên bề mặt Trái đất và R là bán kính Trái Đất.

1 Tìm v1 ở quỹ đạo tròn thấp và và v1’ là vận tốc mới tên lửa bắt đầu hoạt động.Biết vận tốc v1 và v1’ là cùng hướng.

2 Vệ tinh đến B thì có vận tốc v2’ bằng bao nhiêu? Tính vận tốc v2 trên quỹ đọđạo tròn cao

Bài giải

Chuyển động vệ tinh gồm ba giai đoạn:

+ Chuyển động tròn ở quỹ đạo tròn thấp R1

+ Chuyển động theo nửa quỹ đạo elip từ A đến B

+ Chuyển động tròn ở quỹ đạo tròn cao R2

1 Khi vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính R1:

Bài giải

1. Do Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo tròn với bán kính r0: 0 0

GM v

Bài 9: Một trạm thăm dò vũ trụ P bay quanh hành tinh E theo quỹ đạo tròn có bán

kính R Khối lượng của hành tinh E là M

1 Tìm vận tốc và chu kỳ quay quanh hành tinh E của trạm P

2 Một sự kiện không may xảy ra: có một thiên thạch T bay đến hành tinh E

theo đường thẳng đi qua tâm của hành tinh với vận tốc

GM u

R

58



Thiên thạch vachạm rồi dính vào trạm P nói trên Sau va chạm thì trạm vũ trụ cùng với thiênthạch chuyển sang quỹ đạo elip Biết khối lượng của trạm P gấp 10 lần khối lượngcủa thiên thạch T Hãy xác định:

a) vận tốc của hệ (P và T) ngay sau va chạm

b) khoảng cách cực tiểu từ hệ đó đến tâm hành tinh E

Bài giải

1) Ký hiệu m0 là khối lượng trạm P, v1



là vận tốc của trạm vũ trục trước va chạm Lực hấp dẫn giữa trạm P và hành tinh E đóng vai trò lực hướng tâm trong chuyển động của P quanh E:

y

m u

R M

v

v2 v1

0 0 1

0 2



là vận tốc của hệ sau va chạm, u làvận tốc của thiên thạch trước va chạm Theo định luật bảo toàn động lượng:

R

1 

và

GM u

(10)Thay v2 từ (7) và v từ (10) vào (8) ta thu được phương trình bậc hai đối với r:

r2 R r R

42  121 50 0

Phương trình có 2 nghiệm:

R r

2



và r R

50 21



Giá trị

R r

2



là khoảng cách cực tiểu cần tìm, còn r R

50 21



là khoảng cách cực từ hệ đó đến tâm hành tinh E (tại điểm viễn nhật) Dựa vào định luật Kếp-le 3 có thể tìm được chu kỳ quay của hệ (P+ T)

Bài 10: Một vệ tinh khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r quanh

Trái Đất có khối lượng M

1.CMR cơ năng của vệ tinh là E = - K

2 Do có ma sát bán kính của quỹ đạo của vệ tinh giảm dần 0.1% trong mộttuần Giả sử quỹ đạo vệ tinh vẫn là quỹ đạo tròn Tính độ biến thiên vận tốc của nótrong một tuần

3 Cho r = 6,60.106m M = 5,98.1024 kg và m = 2,00.103 kg.Tính độ biếnthiên cơ năng của vệ tinh trong một tuần

4.Tính lực ma sát của khí quyển tác dụng lên vệ tinh

5 Thực tế, vệ tinh có mang một động cơ phụ có nhiệm vụ bù trừ lực ma sátcủa khí quyển Biết rằng lực tác dụng của động cơ này bằng uz với z là tốc độ đốt

nhiên liệu ( tính đơn vị kg/s) và u = 2.00.103 Ns/kg Nếu vệ tinh mang theo 30 kgnhiên liệu thì nó duy trì quỹ đạo của mình trong bao lâu

Bài giải

1 Khi vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r

2

2 2

Xuất hiện nghịch lý : có ma sát nhưng vận tốc của vệ tinh tăng

3 Do vệt tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn 2 2

4 Theo định luật bảo toàn năng lượng Fms ms

5 Theo giả thiết do động cơ bù trừ lực ma sát Fms = F = uz

Thời gian tồn tại của vệ tinh

Bài 11: Vệ tinh nhân tạo của Mặt trăng chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính

lớn hơn bán kính Mặt trăng n lần Khi chuyển động vệ tinh chịu tác dụng của lựccản yếu của vũ trụ Giả sử lực cản phụ thuộc vào vận tốc theo quy luật F = -αv2 với

α là hằng số Tính thời gian chuyển động của vệ tinh cho đến lúc nó rơi vào Mặttrăng

Do chuyển động theo quỹ đạo tròn

1/2

R nR

với Ro là bán kính Mặt trăng và M là khối lượng Mặt trăng

Bài 12 : Khi giải bài toàn sử dụng các hằng số sau :

- Bán kính Trái Đất là RT = 6,37.106 m

- Gia tốc trọng trường ở bề mặt Trái Đất là g = 9,81m/s2

- Độ dài của ngày thiên văn là T0 = 24,0 h1.Một vệ tinh địa tĩnh có khối lượng m chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính r0

Vệ tinh này có thiết bị gọi là “ động cơ ở điểm cực viễn “ cung cấp các lực đẩy cầnthiết để vệ tinh đạt các quỹ đạo cần thiết

về tâm Trái Đất và một độ biến thiên vận tốc không mong muốn Δ v truyền cho

vệ tinh Người ta gọi thông số boost β=Δv /v0 Thời gian hoạt động của động cơrất nhỏ có thể bỏ qua

2.1 Xác định thông số p và tâm sai e của quỹ đạo mới theo r0 và β Biết thông

số p và tâm sai e có thể xác định theo công thức

p= L2GMm 2

và

e=(1+ 2 EL 2

G2M2m3)1/2

2.2 Tính góc giữa bán trục lớn của quỹ đạo mới và bán kính véc tơ của điểm mà ở

đó động cơ được bật lên

2.3 Lập biểu thức tính khoảng cách từ các cực viễn và cực cận đến tâm Trái Đấttheo r0 và β Tính các giá trị nếu β = ¼

2.4 Xác định chu kỳ T của quỹ đạo mới theo T0 và β Tính giá trị khi β = ¼

3 Giả sử khi động cơ ở điểm cực viễn hoạt động và vệ tinh thoát khỏi lực hút TráiĐất

3.1 Tính thông sô boost β esc tối thiểu

3.2 Xác định khoảng cách r’min trong quỹ đạo mới theo r0

4.Giả thiết β > β escXác định vận tốc ở vô cực theo β và v0

Bài giải 1.1 và 1.2 Do vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo xung quanh Trái Đất

2 0

4 2

4,22.10 / 3,07.10 /

mv

E 

2.1 Do lực đẩy của động cơ khi hoạt động là lực hướng tâm nên L0 không đổi.

Vệ tinh chuyển động sang quỹ đạo elip.

Thông số

2 0 2

T

L p

GM m



và kết hợp

2 0

0

T mgR L

2 1

T

EL e

0

T mgR L

v



và

2 0 2

2.2 Theo phương trình tọa độ cực ta có

 

1 cos

p r

ax 5,63.10 ( ) 1

min 3,38.10 ( ) 1

1 ( 1) 2

Điều kiện vệ tinh thoát ra khỏi Trái Đất E  0  esc  1

3.2 Theo phương trình tọa độ cực ta có

4 Khi vệ tinh ra đến vô cực

0

1

( 1) 2

E mv  v v  

III KẾT LUẬN

Chuyên đề “ Chuyển động thiên thể trong hệ mặt trời “ chỉ là một phần nhỏtrong trong phần thiên văn học mà tôi muốn đề cập tới, nhằm giúp học sinh phầnnào hiểu và áp dụng được các bài tập của dạng này Các bài tập trong chuyên đềđược sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, từ phạm vi kiến thức hẹp đến mở rộng tớicác kiến thức liên quan, để học sinh dễ tiếp cận

Qua nhiều năm tập huấn học sinh giỏi tôi nhận thấy rằng , phần kiến thứcnày trong quá trình giảng dạy số lượng thời gian là ít nhưng luôn tạo hứng thú chocác học sinh vì liên quan tới các vấn đề thực tế

Qua thử nghiệm trên các học sinh đội tuyển vật lý của trường, tôi thấy các em tiếp thu tốt, có hiệu quả Xin được giới thiệu tới quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp chuyên

đề này để tham khảo Trong thời gian còn hạn chế, nội dung của chuyên đề còn chưa được phong phú, đa dạng, rất mong được sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Hạ Long, tháng 6 năm 2014

Người viết Nguyễn Thu Hằng