100 KI THUAT DANH GIA GIAI HE PT THAY HUNG DZ

Nên từ phương trình một suy ra... Nhận xét:x= =y 0 không là nghiệm của hệ phương trình... Phương trình thứ hai tương đương với.. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho phương trình một c

KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

3

2







Lời giải

ĐK:

2

1 0 0

1 0

y



≥







(*)

Từ (2) ⇒x+ − ≥y 1 0⇒x+ ≥ >y 1 0 Khi đó ta có

( )3 ( ) ( ) (3 ) ( ) ( )2

4x − − +y x y +5y =4 x +y − +x y = +x y 4 x − +xy y − +x y  ( ) ( 2 2) ( )( )2 3 3 ( )3 3

( )3

⇒ − ≥ + − dấu " "= xảy ra ⇔ = >x y 0

( )1 ( )1

⇒ ≥ dấu " "= xảy ra ⇔ = >x y 0

Xét hàm số ( ) 2

3

f t =t t + với t∈ℝ có ( ) 2 2

2

3

t

t

( )

f t

2

Đ/s: ( ) 3 5 3 5

x y

 + + 

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình ( )

2







Lời giải

ĐK: 22 5 0 2

x

+ ≥





Áp dụng BĐT Côsi ta có

Dấu " "= xảy ra

0

0

y



= ≥

=

• TH1 x≥0, y=0 thế vào (2) ta được 2x= +(x 4 1) ( + 2x+5) (3)

Với x≥0⇒VP( ) (3 > +x 4 1 1)( )+ =2x+ >8 2x=VT( )1 ⇒ Loại

• TH2 x= ≥y 0 thế vào (2) ta được ( 2 ) ( ) ( )

4x x − + = +x 1 x 4 1+ 2x+5

2x 4x 4x 4 2x 8 2x 5 1

2x 1 1  2x 1 3 2x 5 1  2x 5 3

(2 1) ( 2 5)

Xét hàm số ( ) ( ) ( 2 ) 3 2

f t = +t t + = + + +t t t với t∈ℝ có

f t = t + + =t t + +t + > ∀ ∈x ℝ⇒ f t đồng biến trên ℝ

Do đó (4)

2



Thử lại x= =y 2 thỏa mãn hệ phương trình đã cho

Đ/s: ( ) ( )x y; = 2; 2

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình ( ) 2 2







Lời giải:

Điều kiện: x≥ −3;y≥0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ( ) 2 ( 2 ) ( )2 ( 2 )( 2 )

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1

+

= ⇔ = + Nên từ phương trình một suy ra

Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

( )

2x+ +2 2 x+ = + ⇔3 x 5 2x+ +2 4x+12 = +x 5 i

 = +





2

2

+ =



+ =



3

x x

 + =  = −



= −

• Với a+ =2 b, ta có: 2x+ + =2 2 2 x+ ⇔3 2x+ +2 4 2x+ + =2 4 4(x+3)

( )2 2

1 1

x x

≥ −



≥ −

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) ( )x y; = 1; 2

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

2

1











Lời giải:

Điều kiện: x≥0; 4≥ ≥y 0

Nhận xét:x= =y 0 không là nghiệm của hệ phương trình Với ,x y≠0, đặt a 1;b y a b; , 0

x

= = > , khi đó

phương trình một của hệ tương đương với: 2

1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

( ) ( )

( )

2

2

2 2

+

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1 y xy 1

x

Thế vào phương trình hai hệ, ta được:

( )( )

Đặt 1 ( , 0)

4

u v

 = +



≥



⇔

( )

  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

( ) ( )

2





 − + − = − +



Lời giải

Điều kiện ;x y∈ℝ Phương trình thứ hai tương đương với

Phương trình thứ nhất trở thành 7 2 2 7 2 3 2 2 7 5

2







Phương trình thứ hai có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra tức là

2

= =

 + = + + +  + = 

Thử lại nghiệm ta thấy hệ có hai nghiệm ( ) ( ) 1 1

2 2

 

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình ( )( )

( )







Lời giải:

Điều kiện: y≥0; y≥2x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho phương trình một của hệ, ta có:

2y+ y−2x = y 2+1 y−2x ≤ y+1 y+ −2 2x ⇔ 2y+ y−2x ≤ y+1 y+ −2 2x

y

−

( )2

Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được: ( )2 ( )

Xét hàm số ( ) 2

2

f t = +t t t + với t∈ℝ , có ( ) 2 2

2

2

t

t

+ ℝ suy ra f t( ) là hàm

số liên tục và đồng biến trên ℝ nên từ ( )i thu được ( ) ( ) 1

2

f x+ = f − ⇔ + = − ⇔ = −x x x x ⇒ y= Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) 1

2

 