Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC BÙI THỊ HẢI YẾN RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ HẢI YẾN

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2015

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành nhờ sự động viên giúp đỡ nhiệt tình và tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin Trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo và các em học sinh trường Trung học phổ thông dân tộc nội trú tỉnh Điện Biên, và các bạn sinh viên lớp K52 ĐHSP Toán – Lý Đồng thời, việc hoàn thành khóa luận này đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện của các phòng ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc Em xin được nói lời cảm ơn sâu sắc

Đặc biệt em xin bày tỏ lời cảm ơn tới cô giáo Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này Trong quá trình làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được các ý kiến đóng góp, phê bình của các thầy cô giáo và các bạn đọc để khóa luận hoàn thiện hơn

Cuối cùng em xin kính chúc các thầy, cô giáo sức khỏe, công tác tốt, chúc các bạn sinh viên mạnh khỏe, thành công trong học tập

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 05 năm 2015

Người thực hiện Bùi Thị Hải Yến

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 3

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận 3

5.2 Phương pháp điều tra quan sát 3

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 3

6 Cấu trúc đề tài 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số khái niệm 4

1.1.1 Phân tích, tổng hợp 4

1.1.2 Khái quát hóa 5

1.2 Vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải bài tập toán học 7

1.2.1 Vai trò của phân tích trong giải bài tập toán học 7

1.2.2 Vai trò của tổng hợp trong giải bài tập toán học 7

1.2.3 Vai trò của khái quát hóa trong giải bài tập toán học 8

1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài tập toán học 9

1.4 Nội dung phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình môn toán Trung học phổ thông 12

1.5 Thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông 12

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 15

2.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học phổ

thông 15

2.1.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông 15

2.1.2 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải bất phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông 22

2.2 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông 30

2.2.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông 30

2.2.2 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải bất phương trình lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông 36

CHƯƠNG 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 41

3.1 Mục đích thực nghiệm: 41

3.2 Nội dung thực nghiệm: 41

3.3 Tổ chức thực nghiệm: 41

3.4 Tiến hành thực nghiệm: 42

3.5 Kết quả rút ra từ thực nghiệm: 43

KẾT LUẬN CHUNG 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO

và phương pháp dạy học Việc nâng cao khả năng của học sinh bằng cách rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cho học sinh trong quá trình học tập môn Toán

Qua thực tế, ta thấy rằng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa có vai trò rất quan trọng trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông Phân tích, tổng hợp và khái quát hóa được sử dụng thường xuyên trong quá trình dạy học bộ môn toán

và các bộ môn khác như lí, hóa, sinh…

Các bài toán về phương trình và bất phương trình ở phổ thông rất đa dạng, phong phú và cũng là nội dung rất phức tạp, trong đó phải kể đến phương trình

và bất phương trình mũ và lôgarit

Tuy nhiên, việc vận dụng phân tích, tổng hợp và khái quá hóa vào giải các bài toán về phương trình và bất phương trình chưa được quan tâm đúng mức trong quá trình dạy học toán ở nhà trường phổ thông Hơn nữa, do phân bố chương trình và thời gian có hạn, trong giờ lên lớp về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, giáo viên chỉ kịp hướng dẫn cho học sinh cách giải những dạng phương trình và bất phương trình đơn giản, ít có thời gian cho các

em thực hành Vì vậy chú trọng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa khi giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit là việc làm cần thiết

Xuất phát từ lí do trên, tôi chọn khóa luận: “Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit”

2

Với khóa luận này, tôi hi vọng nó sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các

em học sinh , đặc biệt là các em chuẩn bị ôn thi Đại học, Cao đẳng, các bạn sinh viên toán và thầy cô giáo dạy toán ở nhà trường Trung học phổ thông

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán trong các trường Trung học phổ

thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan như các khái niệm phân

tích, tổng hợp, khái quát hóa và vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải toán

Tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh lớp 12 Trung học phổ thông

Đề suất việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc giải một số phương trình và bất phương trình

mũ và lôgarit

Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu

4 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit

Các bài toán về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit trong chương trình lớp 12 Trung học phổ thông

3

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu liên quan đến khóa luận, đọc và hệ thống các tài liệu có liên quan đến cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu và tài liệu liên quan đến cơ sở hình thành các khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh lớp

12 Trung học phổ thông

5.2 Phương pháp điều tra quan sát

Dùng phiếu điều tra kết hợp với phỏng vấn giáo viên ở một số trường Trung học phổ thông về khả năng phân tích tổng hợp và khái quát hóa của học sinh, để nhận định về việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa của học sinh qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình

mũ và lôgarit

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau của quá trình phân tích, tổng hợp

Theo G.Pôlya: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra từng phần và tách ra từng thuộc tính khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể” Trong giải toán, phân tích (phép suy ngược) là phương pháp xuất phát từ cái phải tìm đến cái đã biết, xuất phát từ cái phải chứng minh đến cái đã cho, từ giả thiết đến kết luận Phép suy ngược bao gồm: Suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ như sau:

B  B  B   B  A(suy ngược tiến),

B  B  B   B  A(suy ngược lùi)

Ngược lại với phân tích là tổng hợp, theo G.Pôlya: “Tổng hợp là dùng trí

óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc hợp lại các thuộc tính, khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó” Trong giải toán, tổng hợp (phép suy xuôi) là phương pháp xuất phát từ cái đã biết đến cái phải tìm, xuất phát từ cái đã cho đến cái phải chứng minh, từ kết luận đến giả thiết Phép suy xuôi có sơ đồ sau:

1.1.2 Khái quát hóa

Theo G.Pôlya: “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”

Trong “Phương pháp dạy học môn toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy có nêu rõ hơn: “Khái quát là chuyển từ một tập đối tượng sang một tập lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của các tập hợp xuất phát”

Ví dụ chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức sang việc nghiên cứu những đa thức với bậc tùy ý Chúng ta khái quát hóa khi chuyển

từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang nghiên cứu những

hệ thức lượng trong tam giác thường

Trong hai ví dụ nói trên, khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có tính chất khác nhau Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hóa được thực hiện bằng cách thay hằng số 2 bởi biến số n n  Ở ví dụ thứ hai, khái quát hóa được thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 90 độ

để nghiên cứu những tam giác với góc tùy ý

Những dạng khái quát thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Là một thông số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy và là

cơ sở duy nhất để phân biệt giữa tư duy lí luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực khái quát hóa ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập, nghiên cứu khi được phát triển đến mức độ cao Chính năng lực này sẽ giúp mỗi con người tách cái chung, cái bản chất, những mối liên hệ bên trong của tài liệu nghiên cứu học tập bằng con đường phân tích chỉ một sự kiện điển hình mà thôi Bằng con đường đó con người sẽ tiết kiệm được thời gian, sức lực của mình, biết cách khám phá các tri thức khoa học bằng những phương pháp tối ưu Như vậy, khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp riêng lẻ Với ý nghĩa đó, khái quát hóa thuộc về các phép suy luận có lí nên các kết luận được rút ra từ khái quát hóa thường mang tính chất giả thuyết, dự đoán Tuy nhiên trong nhiều trường hợp kết luận từ khái quát hóa có thể thu được nhờ quy nạp hoàn toàn

Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, hệ thống hóa,…

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ

đến cái tổng quát

sadffbw Ag,sd

Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa tới cái tổng

quát đã biết

Khái quát hóa tới cái tổng quát

chưa biết

81 3  , khi đó phương trình đưa

về dạng f x   

a a  f x  , từ đó giải phương trình 2

x  x  để tìm nghiệm của phương trình  1

1.2.2 Vai trò của tổng hợp trong giải bài tập toán học

Thông thường trong giải toán người ta dùng phương pháp tổng hợp để trình bày lời giải một bài toán Việc sử dụng phương pháp tổng hợp làm cho lời giải bài toán sẽ ngắn gọn, xúc tích hơn so với việc dùng phương pháp phân tích Tuy nhiên, nếu ta chỉ dùng phương pháp tổng hợp để giải mà không trải qua việc phân tích sẽ làm cho học sinh khó hiểu vậy muốn tổng hợp được ta phải trải qua quá trình phân tích Mặt khác phương pháp tổng hợp cho ta thấy quá trình phân tích có chính xác không

Phương pháp tổng hợp thường được vận dụng để trình bày các kiến thức trong sách giáo khoa để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng Xong giáo viên cần có những câu hỏi gợi mở dẫn dắt để đi đến những kết luận sao cho quá trình lí luận

x x







Vậy phương trình  1 có hai nghiệm: x1 0;x2  5

1.2.3 Vai trò của khái quát hóa trong giải bài tập toán học

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hóa tài liệu toán học là thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học Góp phần quan trọng trong quá trình phát triển tư duy cho học sinh, chẳng hạn: Khái quát hóa liên quan đến việc phát triển các khả năng suy đoán, tưởng tượng, liên quan đến việc rèn luyện các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, đặc biệt hóa Nó cũng góp phần hình thành các phẩm chất trí tuệ và các lập luận lôgic có lí cho học sinh Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duy khác nhau như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự,… Khái quát hóa giúp chúng ta hình thành khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới

Trong giải toán khái quát hóa hay còn gọi là tổng quát hóa giúp chúng ta khái quát các bài toán riêng lẻ thành bài toán tổng quát hơn Để sau này khi gặp các bài toán tương tự chúng ta sẽ dễ dàng giải hơn

9

Ví dụ: Giải phương trình: 2 5 4

3x  x  81  1

*Khái quát hóa

Từ việc giải phương trình  1 ta có thể khái quát hóa để có bài toán tổng quát sau:

    log

f x

a

a  b f x  b

1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài tập toán học

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Điều đó là ảo tưởng Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể

và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết được vấn đề gì?

10

Sau đó, cần phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có thể dùng công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh, khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và gợi sự “tò mò” muốn tìm lời lời cho

đề toán

Bước 2: Tìm cách giải

Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bài toán Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn; và càng nhiều thành công, càng giải được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành những “kinh nghiệm sống” chứ không phải chỉ là những chỉ dẫn khô khan

Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như chứng minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, quỹ tích,

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan

Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lí nhất cho bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải

Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau Việc trình bày lời giải là văn bản

để đánh giá kết quả hoạt động giải toán

11

Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập luận tạm thời, cảm tính Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chú ý đến trình

tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào

“bỗng nhiên” xuất hiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học những chi tiết mà ta đã trình bày trước đó

Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải để sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó và lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải:

Bao gồm một số việc như sau:

+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

* Những lưu ý khi dạy học giải bài tập toán học: Để dạy học giải bài tập toán học, ta cần lưu ý những điểm sau:

- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:

+ Bài tập tương tự với sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình

+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức

+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

- Thực hiện các bước tìm tòi lời giải

- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình 4 bước của G.Pôlya

Theo chương trình cơ bản:

+ Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (3 tiết)

+ Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (3 tiết)

Theo chương trình nâng cao:

+ Bài 7: Phương trình mũ và phương trình lôgarit (2 tiết)

+ Bài 8: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit (2 tiết)

1.5 Thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông

Để tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông, chúng tôi tiến hành điều tra trên hai đối tượng giáo viên và học sinh như sau:

a Bảng điều tra giáo viên:

Bảng 1 Bảng điều tra giáo viên trường Trung học phổ thông dân tộc nội

Cao đẳng Giỏi Khá

Trung bình Tỉnh Huyện Trường

1 Đỗ Lâm Tới Trên 10

2 Nguyễn Thị Huệ Trên 10

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy nhiều giáo viên có thâm niên công tác lâu

năm nên có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy Do đó, phương pháp giảng dạy đều nắm vững Tuy nhiên cũng có một phần nhỏ giáo viên trẻ tuổi mới bước vào nghề, chưa có kinh nghiệm dẫn tới chưa hình thành phương pháp

và kĩ năng giải toán cho học sinh

Về trình độ đào tạo tất cả giáo viên của trường Trung học phổ thông dân tộc nội trú tỉnh Điện Biên đều đạt trình độ đại học trở lên, theo đúng quy định của luật giáo dục, tay nghề tương đối vững vàng, ngoài ra còn một giáo viên được đào tạo lên thạc sĩ

Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi, tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy

b Bảng điều tra học sinh

Xếp loại học tập (môn toán)

Nhận xét: Về phía học sinh qua điều tra, quan sát tôi có một số nhận định

ban đầu như sau: Các em đều là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học tập tốt Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập Các em chủ yếu là học sinh trung bình nên khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa còn nhiều hạn chế

Qua phỏng vấn giáo viên và học sinh tôi rút ra nhận xét sau:

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán hiện nay giáo viên vẫn chưa chú trọng nhiều đến khâu phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh nhất là trong việc giải phương trình và bất phương trình Giáo viên chưa thực sự hiểu sự cần thiết của quá trình phân tích, tổng hợp và khái quát một bài toán đối với học sinh

Học sinh chưa hiểu sâu phân tích, tổng hợp, khái quát hóa là gì? Chưa nắm được vai trò của phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong giải toán nên chưa biết cách áp dụng nó vào trường hợp cần thiết

Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa cho học sinh Trung học phổ thông qua việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit” là cần thiết và phù hợp với yêu cầu thực tiễn

15

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

VÀ LÔGARIT 2.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit cho học sinh Trung học phổ thông

2.1.1 Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp và khái quát hóa trong việc giải phương trình mũ cho học sinh Trung học phổ thông

Trong mọi khâu của quá trình giải toán, khả năng phân tích và khả năng tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức

và vận dụng kiến thức Các quá trình phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản Tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ đều là những dạng khác nhau của quá trình phân tích và tổng hợp Vì vậy, để rèn luyện năng lực giải toán của học sinh phải coi trọng việc rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích

và tổng hợp

Khi giải bài toán, trước tiên phải nhìn bao quát bài toán một cách tổng thể Xem bài toán thuộc loại gì, phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm… Phải biết nhìn bài toán trong bối cảnh chung nhưng lại phải biết nhìn bài toán trong từng hoàn cảnh cụ thể

Theo G.Pôlya: “Phân tích và tổng hợp là hai động tác quan trọng của trí óc Nếu đi vào chi tiết thì có thể bị ngập vào đấy Những chi tiết quá nhiều và quá nhỏ mọn làm cản trở ý nghĩa, không tập trung vào điểm căn bản Đó là trường hợp của một người chỉ thấy cây mà không thấy rừng Trước hết phải tìm hiểu bài toán như một cái toàn bộ Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xem xét những điểm chi tiết nào là căn bản Ta phải nghiên cứu thật sát và chia bài toán thành từng bước và chú ý, không đi quá xa khi chưa cần thiết”

Sau khi bài toán đã được hiểu trên toàn bộ, khi đã tìm được mục đích chủ

16

đạo thì phải đi vào chi tiết Đặc biệt, nếu bài toán khá khó khăn thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữa việc phân chia và khảo sát các chi tiết nhỏ hơn Sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại một cách khác các yếu

tố của nó Chẳng hạn ta có thể tạo nên một bài toán mới dễ hơn, mà trong trường hợp cần thiết ta có thể dùng như một bài toán phụ

Việc giải bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các trường hợp khác nhau của nó, chia bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ Giải các bài toán nhỏ kết hợp thành bài toán lớn Trong nhiều bài toán, đòi hỏi học sinh phải biết tách các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi tổng hợp lại để từ đó rút ra cách giải

Vậy phương trình  1 có hai nghiệm: x1  1;x2  1

*Khái quát hóa

Từ việc giải ví dụ trên ta có thể khái quát hóa việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

 ta được:

2 2

 

    điều kiện

*Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

1 3.8x 4.12x  18 2.27x  0 (Đề thi đại học khối A-2006)

Ta thấy  1 là phương trình có cùng số mũ, tuy nhiên các cơ số khác nhau

mà lại có ba cơ số, từ đó ta nghĩ đến việc tìm cách triệt tiêu một cơ số bằng cách chia cả hai vế cho 5x(hoặc 3 ; 4x x ) Để giải phương trình này ta chia cả hai vế của

phương trình cho5x, khi đó phương trình  1 có dạng 3 4 1

Bằng tổng hợp ta có lời giải bài toán như sau:

Chia cả hai vế của phương trình  1 cho 5xta được:

Mà ta có: f 2  1 x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình  1 có nghiệm duy nhất: x2

*Khái quát hóa

Từ việc giải ví dụ trên ta có thể khái quát hóa để có bài toán tổng quát sau: Giải phương trình dạng : x x x

a b c  2

Từ việc sử dụng tính chất: Nếu hàm y f x  đồng biến ( hoặc nghịch biến) trong khoảng  a b, thì phương trình f x k có nghiệm duy nhất trong khoảng  a b, , áp dụng tính chất này để giải phương trình  2 ta làm như sau: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x k

Bước 2: Xét hàm số y f x ,

Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét:

Với xx0  f x  f x 0   k x x0 là nghiệm

Với xx0  f x  f x 0  k phương trình vô nghiệm

Với xx0  f x  f x 0  k phương trình vô nghiệm

2 xlàm ẩn phụ t t  0 Giải phương trình bậc hai theo

ẩn phụ t để tìm t, sau đó giải phương trình mũ cơ bản để tìm nghiệm của phương trình  1