Sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT

Yêu cầu của việc dạy giải bài tập toán học là: “Cùng với phương pháp có tính thuật toán, thầy giáo phải truyền thụ cho học sinh những phương pháp có tính chất tìm đoán để giải một số kiể

MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Hiện nay để đáp ứng nhu cầu của sự phát triển xã hội,việc dạy và học toánkhông ngừng đổi mới và nâng cao Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện

để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức

có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định tới chất lượngdạy và học toán

Yêu cầu của việc dạy giải bài tập toán học là: “Cùng với phương pháp

có tính thuật toán, thầy giáo phải truyền thụ cho học sinh những phương pháp

có tính chất tìm đoán để giải một số kiểu bài toán Tuy nhiên thầy giáo phảilàm cho họ hiểu rằng mục đích hàng đầu không phải chỉ nắm vững cách giảitừng kiểu bài tập,thậm trí từng bài tập mà là rèn luyện khả năng giải bài tậpnói chung để có thể ứng phó với những bài toán mới mẻ không lệ thuộc vàokhuôn mẫu có sẵn.”

Ở trường phổ thông hiện nay, học sinh không gặp khó khăn khi giải các bàitập có thuật toán Nhưng thực tế có nhiều bài tập không có thuật toán nên khigặp những bài tập này học sinh rất lúng túng Mặt khác do thời gian trên lớp cóhạn, giáo viên chưa chú ý nhiều đến việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tậpkhông có thuật toán

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài:

“ Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT ”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực tìm đoán trong dạy học giải phương

trình ở trường THPT

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

1 Nghiên cứu lý luận về các loại hình tư duy, về mối quan hệ giữa năng lực tìm đoán và các loại hình tư duy.

2 Trực tiếp nghiên cứu dạy học giải phương trình ở trường THPT.

3 Đề xuất phương án dạy một số bài toán giải phương trình nhằm rèn luyện năng lực tìm đoán

4 Đánh giá bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của việc rèn luyện năng lực tìm đoán thông qua dạy học giải bài tập phương trình ở trường phổ thông

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

1 Nghiên cứu lý luận.

1.1 Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước có liên quan đến giáo dục và đào tạo, có liên quan đến mục đích, nội dung, phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy học toán nói riêng

1.2 Nghiên cứu tài liệu lý luận ( triết học, giáo dục học, tâm lý học, lýluận dạy học bộ môn toán ) có liên quan đến đề tài của luận văn

1.3 Nghiên cứu tạp chí Nghiên cứu giáo dục, sách giáo khoa, sách tham khảo

2 Điều tra, quan sát.

2.1 Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm về dạy học chủ đề phương trình ởtrường phổ thông

2.2 Phỏng vấn, điều tra, thu thập các ý kiến của các giáo viên, học sinh vềthực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông, quan điểm của giáo viên về

năng lực tìm đoán và việc rèn luyện năng lực tư duy thông qua khâu tìm đoántrong dạy học giải bài tập phương trình.

2.3 Tham khảo ý kiến đóng góp, học hỏi kinh nghiệm của những chuyêngia, giáo viên giàu kinh nghiệm trong giảng dạy và nghiên cứu toán học

3 Thực nghiệm sư phạm

Về các biện pháp đề xuất trong luận văn

V GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.

Nếu trong dạy học giải phương trình, xây dựng được một số biện pháp và

hệ thống bài tập, giúp học sinh tìm được lời giải phương trình khi chưa biết rõquy trình thuật toán thì có thể thông qua đó phát triển năng lực tư duy đặc biệt lànăng lực tư duy linh hoạt, sáng tạo cho học sinh

VI BỐ CỤC LUẬN VĂN.

Ngoài phần mở đầu,kết luận,danh mục và tài liệu tham khảo,luận văngồm ba chương

Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.

Chương II: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình thông qua hệ thống bài tập chọn lọc và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực tìm đoán trong dạy học giải bài tập phương trình

ở trường phổ thông

Chương III: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN.

1.1.1 Khái quát hoá - đặc biệt hoá.

1.1.1.1 Khái quát hoá.

Theo G.Pôlya, “ Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợpđối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp banđầu ” ([1];tr.21)

Theo ([8];tr.19) những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán cóthể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Sơ đồ 1

Ví dụ 1: Ở lớp 8, HS đã biết giải một số PT dạng:

bằng phương pháp phân tích thành nhân

tử Ở lớp 9, HS được học công thức nghiệm của PT bậc 2 một ẩn

Khái quát hoá

Khái quát hoá từ cái

Khái quát hoá tới cái

tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát chưa biết

Ví dụ 2: Sau khi HS đã giải được PT bậc 2 bằng cách sử dụng công thức

Trong ví dụ 1, khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát Ở ví dụ 2,

khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn Và trong cả hai ví dụ đềukhái quát tới cái tổng quát chưa biết Bên cạnh đó còn có dạng khái quát hoá điđến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn khi giải những bàitoán chứng minh toán học trong đó khái quát hoá được thể hiện ở việc liên hệnhững tình huống cụ thể của bài toán với những tiên đề, định nghĩa, định lýthích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát trong cái cụ thể

Giải hệ (4) kết hợp với điều kiện (2),(3) thu được nghiệm

Trong việc giải PT ở ví dụ 3 đã liên hệ giữa cái cụ thể với cái tổng quát đã biết

là hệ PT hai ẩn đối xứng loại 2

Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luậtphổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số cáctrường hợp riêng lẻ Với ý nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có

lí, nên các kết luận được rút ra từ khái quát hoá thường mang tính chất giả

Khái quát hoá thường được sử dụng trong việc hình thành khái niệm,chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới,…

Ví dụ 4 ( Bài tập 2 ):

Sau khi giải PT:

chúng ta khái quát hoá có thể giải được các PT :

Đặc biệt hoá tới cái

riêng lẻ đã biết Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ chưa biết

Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm,chứng minh định lý, giải bài tập… Trong bài toán giải PT, đặc biệt hoá được sửdụng trong mò mẫm, dự đoán nghiệm, trên cơ sở đó định hướng phương phápgiải cho PT.

Có thể nói đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá Trongquá trình dạy học không chỉ yêu cầu đi từ cái riêng đến cái chung ( khái quáthoá ) mà còn đòi hỏi họ đi từ cái chung đến cái riêng ( đặc biệt hoá ) và làm rõmối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát Chẳng hạn ở

ví dụ 4 ( mục 1.1.1.1 ), sau khi HS đã khái quát hoá được PT (2), với mục đích

kiểm tra việc khái quát hoá đó có thể yêu cầu họ đặc biệt hoá PT (2) sao cho tìmlại được PT (1), thông qua đó nhấn mạnh mối quan hệ chung riêng giữa PT tìmđược và PT ban đầu Sự đặc biệt hoá ở đây với mục đích để sơ bộ kiểm tra tínhgiải được của PT tổng quát chứ chưa phải là giải PT tổng quát đó

1.1.2 So sánh-tương tự.

1.1.2.1 So sánh.

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sựđồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối

các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhậnthức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.

1.1.2.2 Tương tự.

Theo G Pôlya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trongmối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng” ([1],tr.23)

Tương tự là một dạng so sánh Trong “Lôgic học”, D.Gorki viết “Tương

tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu,

ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác”

Nếu đối tượng A có các dấu hiệu a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấuhiệu a, b, c, thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có dấu hiệud.Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:

A có tính chất a, b, c, d

B có tính chất a, b, c

-Kết luân B cũng có tính chất d

Người ta thường xét sự tương tự trong toán học trên các khía cạnh sau:

-Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứngminh là giống nhau

-Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vaitrò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứngcủa chúng có quan hệ giống nhau

-Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộctính của hai hình tương tự

Ví dụ 1:

Phương pháp giải PT tương tự như phương pháp giải PT

Phép tương tự được xem như là tiền thân của khái quát hóa, bởi vì việcchuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùngmột cái tổng quát, là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kì của cùngmột cái tổng quát đó Nhiều khi HS đã có một sự hình dung nhất định về cáichung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những hiện tượngriêng lẻ coi như đại biểu của cái chung Vì thế trong những trường hợp nhấtđịnh, ta có thể coi sự thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái quáthóa Do đó, trong quá trình dạy học, cần khuyến khích HS thực hiện phép tương

tự coi như tiền thân của khái quát hóa, coi như sự biểu hiện khái quát hóa chođến khi nào HS nhận thức được cái khái quát một cách đầy đủ

Ví dụ 2( Bài tập 2 ):

Sau khi HS đã giải PT

GV có thể yêu cầu HS giải những PT sau:

Như vậy ta đã tập luyện cho HS phép tương tự Tuy nhiên không dừng lại ở đó,

mà còn yêu cầu HS phát hiện dạng PT tổng quát, tức là yêu cầu HS từ nhữngphép tương tự tiến lên khái quát hoá

Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh Bên cạnh đó cũng giống nhưkhái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, những kết luận rút ra từtương tự thường có tính chất giả thuyết, dự đoán Do vậy cần lưu ý với HS rằngnhững kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai

1.1.3 Phân tích - tổng hợp.

Phân tích là chia một chỉnh thể ra làm nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi

lan Đối với một bài toán trong đó có giả thuyết và kết luận thì sự phân tích phảihướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giữa giả thiết và kết luận ([3],tr.123)

Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tảđược bức tranh toàn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ giữa các bộ phậncủa chỉnh thể và của chỉnh thể với môi trường xung quanh Phân tích tạo điềukiện cho tổng hợp, vì nếu không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các bộ phận củachỉnh thể thì khó lòng mô tả được chính xác bức tranh toàn cảnh của chỉnh thể.Tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo ([3],tr.125)

Trong học tập môn Toán, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trítuệ, là thao tác tư duy quan trọng để giải quyết vấn đề

Ví dụ 1( Bài tập 4 ):

Giải PT:

Phân tích :

Vế trái có nghĩa khi và chỉ khi:

Vế phải có nghĩa khi và chỉ khi:

Tổng hợp lại ta được: PT (1) có nghĩa khi và chỉ khi

+) Qua sự phân tích đặc điểm vế trái có

vế phải có

+) Ta nhận thấy là một nghiệm của PT (1)

+) Với ,chia cả hai vế của PT (1) cho ta được:

Tổng hợp lại ta có lời giải của PT

1.1.4 Cụ thể hoá - Trừu tượng hoá.

Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tính chất( về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgíc của thế giới khách quan ) đểnghiên cứu riêng tính chất đó

Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát hoá Nhờ trừu tượnghoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn

Sức mạnh của toán học ở chỗ ngày càng tiến lên những đỉnh cao của sựtrừu tượng Bởi vì càng trừu tượng bao nhiêu thì càng có khả năng ứng dụng vàonhiều sự vật cụ thể bấy nhiêu

Muốn tiến lên đỉnh cao của khoa học không chỉ dừng lại ở chỗ làm saocho có nhiều cái cụ thể để minh hoạ dễ hiểu cái trừu tượng, mà còn phải tiếncông vào cái trừu tượng để cho những cái trừu tượng trở thành quen thuộc, trởthành những hình ảnh trong đầu óc chúng ta để cuối cùng có khả năng sáng tạonhững cái trừu tượng đó

Mọi bộ 3 điểm M,A,B, luôn có:

Dấu bằng xảy ra ở (2) M, A, B thẳng hàng và M nằm ngoài AB

Giải tiếp bài toán tìm được là điểm cần tìm

Trong dạy học, đồ dùng dạy học là rất cần thiết tuy nhiên không nên lạm dụng

nó Vì càng học lên cao, càng gặp nhiều vấn đề không thể minh họa bằng đồ dùnggiảng dạy Đối với học sinh, ngay từ ban đầu không nên bằng lòng với những ví dụ

cụ thể, những đồ đùng giảng dạy của thầy cô, mà phải tự mình tìm thêm những ví dụminh hoạ khác Đồng thời trong quá trình tấn công vào cái trừu tượng phải luôn gắnvới nguồn gốc thực tế của nó để làm sáng tỏ nguồn gốc này

1.2 MỘT SỐ LOẠI HÌNH TƯ DUY.

1.2.1 Tư duy hàm.

1.2.1.1 Khái niệm hàm.

Định nghĩa hàm theo chương trình toán phổ thông( Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao )

-Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R Một hàm số f xác địnhtrên tập D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử một và chỉ một

số thực y

1.2.1.2 Khái niệm tư duy hàm.

Tư duy hàm là một loại hình tư duy có đồng thời cả bốn hoạt động vớinhững thao tác trí tuệ như sau:

Trong các hoạt động trên thì hoạt động 1 là ngầm ẩn, hoạt động 2, hoạt

động 3, hoạt động 4 diễn ra theo một mạch liên tục và tường minh trong tư duyhàm, đó là các hoạt động:

Phát hiện, thiết lập Nghiên cứu Lợi dụng

Ví dụ 1 ( Bài tập 7 ):

Giải PT:

Hướng dẫn.

Định lý Lagrange: Cho hàm số liên tục trên [a;b] và tồn tại trên (a;b) thì luôn tồn tại sao cho

+Phát hiện,thiết lập sự tương ứng:

Và như vậy vế trái và vế phải của (2) đều là giá trị của hàm số

+Nghiên cứu sự tương ứng:

Từ đó ta có: Phương trình (1) chỉ có hai nghiệm

1.2.1.3 Những tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy hàm.

Những tư tưởng chủ đạo về phương diện phát triển tư duy hàm như sau:

Thứ nhất: Tập luyện cho HS phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng

những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩnăng toán học

Thứ hai: Thực hiện gợi động cơ, đặc biệt là gợi động cơ kết thúc đối với

những hoạt động tư duy hàm, sao cho các hoạt động này trở thành những khảnăng gợi động cơ nội tại toán học

Thứ ba: Hình thành ở HS những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự

tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri

thức phương pháp về tư duy hàm.

Thứ tư: Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức

độ trực quan của đối tượng, theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt độngcủa người học ([5],tr.16-tr.23)

1.2.2 Tư duy thuật giải.

1.2.2.1 Khái niệm thuật giải.

Theo ([5], tr.51) thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quyđịnh một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trênnhững đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kếtquả mong muốn”

Mỗi thuật giải đều có những tính chất cơ bản và quan trọng sau:

Ví dụ 1 : Quy tắc giải PT bậc hai có thể dùng ngôn ngữ tự nhiên và toán học để

liệt kê, mô tả các bước thực hiện như sau:

B1 Xác định các hệ số a,b,c

1 Nếu : PT vô nghiệm.

2 Nếu : PT có nghiệm kép

3 Nếu : PT có hai nghiệm phân biệt

1.2.2.2 Quy tắc tựa thuật giải.

Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quyđịnh nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ Tuy nhiên trong quátrình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy

đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó vàchúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải toán

*Khái niệm quy tắc tựa thuật giải

Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữuhạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổithông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bàitoán đó” ([4], tr.379)

Ví dụ 1: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f( ).

+Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm là Tính số gia của hàm số:

mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3 về việc tìm

Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự trên nhưng vẫnkhông tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn này tồn tại

*Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:

+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị

+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lạikết quả là lời giải của lớp bài toán

Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giảicũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt động vàgiải toán

1.2.2.3 Khái niệm tư duy thuật giải.

*Khái niệm tư duy thuật giải.

Tương thích với khái niệm thuật giải có những hoạt động đáng chú ý sau đây:

-Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với mộtthuật giải

- Phân tích một quá trình hình thành những thao tác được thực hiện theomột trình tự xác định

- Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thànhmột quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

- Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc

Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành năm hoat động trên gọi là tư duythuật giải

*Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

- Tư duy thuật toán tạo điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyệncác kỹ năng toán học Khi các hoạt động được tách bạch các bước, được thựchiện qua quy tắc có cấu trúc điều khiển thuật toán, HS sẽ thấy rõ hơn tri thức cầnhọc, ghi nhớ tốt hơn, thực hiện vận dụng cũng thuận lợi và có kết quả hơn.

- Tiến hành các hoạt động tư duy thuật toán có thể dẫn đến hình thành thóiquen, tri thức phương pháp để giải quyết mọi vấn đề, góp phần hình thành nănglực giải quyết vấn đề ở HS trong học tập cũng như trong cuộc sống

1.2.3 Tư duy biện chứng.

1.2.3.1 Cơ sở triết học của tư duy biện chứng.

Triết học duy vật biện chứng thể hiện các quy luật chung nhất của sự pháttriển tự nhiên, xã hội và tư duy con người Nó là cơ sở phương pháp luận củamọi khoa học, trong đó có phương pháp dạy học môn Toán Nó cung cấp cho taphương pháp nghiên cứu đúng đắn: “Xem xét những hiện tượng giáo dục trongquá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, trong sự mâu thuẫn

và thống nhất, phát hiện những biến đổi về số lượng dẫn đến những biến đổi vềchất lượng v v…” ([3],tr 22)

*Các quy luật của triết học duy vật biện chứng.

 Quy luật mâu thuẫn là động lực của sự phát triển

 Quy luật phủ định của phủ định

 Quy luật lượng đổi, chất đổi

*Các cặp phạm trù đối lập của triết học duy vật biện chứng.

1.2.3.3 Tư duy biện chứng ( dựa vào lôgíc biện chứng ).

Lôgíc biện chứng với tư cách là học thuyết triết học về những quy luậtchung nhất của sự nảy sinh và phát triển của tự nhiên, xã hội, tư duy giúp chúng

ta nắm được nội dung của đối tượng

Đối tượng của tư duy biện chứng là những đối tượng vận động, biến đổi trongmối liên hệ, phụ thuộc lẫn nhau Ănghen cho rằng khi nghiên cứu các đại lượng biếnthiên “Bản thân toán học đã bước vào lĩnh vực của phép biện chứng rồi”

*Mối quan hệ giữa lôgíc hình thức và lôgíc biện chứng.

Lôgíc hình thức đề cập đến tư duy về các đối tượng tĩnh tại, cô lập, tức làchú ý đến mặt ổn định tương đối của sự vật Trong trường hợp đó những quyluật của lôgíc hình thức là có cơ sở Chẳng hạn, quy luật đồng nhất nói rằng “A

là A”, tức là đường tròn là đường tròn, đường elíp là đường elíp, chứ đường trònkhông đồng nhất với đường elíp Điều này đúng khi xem xét mặt tĩnh của khônggian Tuy nhiên thực tế đòi hỏi nghiên cứu quá trình thay đổi, nghiên cứu sựphát triển của sự vật, nghĩa là đòi hỏi xem xét mặt động thì quy luật nói trên củalôgíc hình thức không còn phù hợp nữa Và khi đó ta phải dùng tư duy biện

1.2.3.4 Vận dụng tư duy biện chứng trong việc dạy bài tập toán.

Việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù của triết học duy vật biệnchứng vào khai thác nghiên cứu bài tập toán học mang những biểu hiện đặctrưng của sự sáng tạo Do vậy cần phải đặc biệt coi trọng yếu tố tư duy biệnchứng trong việc giải và nghiên cứu bài tập toán học

Chẳng hạn xét mối quan hệ giữa “Cái chung và cái riêng” Một cái riêng

có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau Một cái chung,đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, bằng những cách khác nhau sẽ chonhiều cái riêng khác nhau Đứng trước việc tìm tòi lời giải của một bài toán,giáo viên có thể yêu cầu học sinh đặc biệt hoá từng bộ phận của bài toán theonhững cách thức khác nhau

Ví dụ 1 ( Bài tập 8 ):

Giải PT:

Thay một vài giá trị của vào PT, ta nhận thấy là một nghiệm của PT, vì

( đúng )

+ Dự đoán : là nghiệm duy nhất của PT (1)

+ Từ dự đoán này giúp ta định hướng lời giải của bài toán

+ PT này có các biểu thức chứa ẩn dạng: đa thức, mũ, lôgarit

Ta có thể đưa về PT mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Đặt

PT (1) trở thành:

Giải tiếp ta được PT đã cho có nghiệm duy nhất là

Nhìn nhận bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, ứng với mỗi góc độ, tacoi một trong các yếu tố của bài toán như là một trường hợp đặc biệt của một cái

tổng quát hơn Như vậy, với mỗi góc độ cho chúng ta một hướng mở rộng kếtquả bài toán ban đầu.

Ví dụ 2 ( Bài tập 2 ):

Giải PT :

Hướng dẫn.

+ Quan sát đặc điểm của PT, có các biểu thức trong căn chứa ẩn:

với mối liên hệ + Để giải PT có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi, hoặc có thể luỹ thừa hai vế khửcăn thức

Cách 2: Phương pháp biến đổi tương đương ( luỹ thừa 2 vế )

( thoả mãn (2) )Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có thể giải được một số PT sau:

(3)(4)

1.2.4 Tư duy sáng tạo.

1.2.4.1 Khái niệm sáng tạo.

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về

vật chất hoặc tinh thần hoặc sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới,không gò bó phụ thuộc cái đã có

*Các giai đoạn của quá trình sáng tạo.

+ Giai đoạn chuẩn bị.

Giai đoạn chuẩn bị: là giai đoạn HS tìm kiếm lời giải HS có thể quy

đồng mẫu số để làm mất mẫu, cũng có thể rút gọn vế trái để làm mất mẫu, đưa

PT đã cho về PT tích Nhưng họ gặp khó khăn chưa nhìn thấy ngay nhân tửchung để rút gọn hay phân tích

Giai đoạn ấp ủ:

Quá trình trăn trở suy nghĩ làm sao để mất mẫu và đưa về PT tích

Giai đoạn bừng sáng:

Để ý vế trái và đều có thể đưa về biểu thức của Liệu rằng có thể phân tích nhân tử cả tử và mẫu để triệt tiêu mẫu

Một ý nghĩ bừng sáng

Đến đây PT đã cho tương đương với hệ:

Đến đây vấn đề đã được giải quyết

Giai đoạn xác minh: Thực hiện những điều đã suy nghĩ nảy sinh ở trên

1.2.4.2 Khái niệm tư duy sáng tạo.

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo

và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có thểnêu lên ba thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo đó là tính mềm dẻo, tínhnhuần nhuyễn và tính độc đáo

Tính mềm dẻo.

Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống trithức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác; định nghĩalại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mớitrong những mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của

sự vật và điều phán đoán

Ví dụ 1 ( Bài tập 10 ):

Giải PT :

Nếu cứ máy móc khử căn thức bằng cách luỹ thừa hai vế thì PT đã cho đưa về

PT bậc 4 khó giải Song ở đây ta để ý:

và Phát hiện này giúp ta tìm ra phương pháp giải PT

1.3 MỐI QUAN HỆ GIỮA NĂNG LỰC TÌM ĐOÁN VÀ CÁC LOẠI HÌNH TƯ DUY, CÁC THAO TÁC TƯ DUY.

Do điều kiện nghiên cứu, chúng tôi không đặt ra yêu cầu tìm hiểu đầy đủ

về các mối quan hệ giữa năng lực tìm đoán với các loại hình tư duy và các thaotác tư duy, mà chỉ xét một số yếu tố liên quan giữa chúng để phục vụ cho đề tài

Khái quát hoá - đặc biệt hoá, tương tự - so sánh, cụ thể hoá- trừu tượnghoá, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm ra lời giảicủa bài toán Đối với những bài toán không có thuật giải, có thể đặc biệt hoá đểthử hoặc giải bài toán đó, từ đó bằng khái quát hoá để đi đến lời giải của bàitoán Cũng có thể xét bài toán khái quát hoá ( tương tự ) của bài toán đó từ đótìm cách giải bài toán đã cho Để giải được bài toán, phải tìm cho ra các mắtxích nối giữa giả thuyết và kết luận của bài toán, vì vậy sử dụng các thao tácphân tích - tổng hợp để định hướng và tìm lời giải của bài toán

Ví dụ 1 ( Bài tập 11 ):

Giải PT:

Bằng phân tích ta thấy PT này có hai biểu thức chứa ẩn dưới dấu căn bậc

hai, một biểu thức bậc hai và một biểu thức bậc nhất

Khử căn thức theo các phương pháp thông thường:

- Bình phương thì thu được PT bậc 6 đầy đủ

- Nếu đặt ẩn phụ thì chưa tìm được mối liên hệ giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu

Dùng đặc biệt hoá nhận thấy là một nghiệm của PT

Dự đoán là nghiệm duy nhất của PT đã cho.

suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

Nếu dùng phương pháp đánh giá.

Với , ta có:

suy ra vế trái (1)

PT (1)

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bằng tổng hợp ta có được lời giải của bài toán.

Giải các bài toán là thành tựu đặc thù của lí trí, mà lí trí là một thiên tưđặc biệt của con người Năng lực vượt qua trở ngại, năng lực tìm ra lối đi vòngkhi không có lối đi thẳng đã nâng người có tài lên cao hơn những người bìnhthường Đối với những bài toán không có sẵn phương pháp giải, con người phảitìm tòi, phán đoán cách giải quyết bài toán Năng lực tìm đoán có mối liên hệmật thiết với các loại hình tư duy: tư duy thuật toán, tư duy biện chứng, tư duyhàm, tư duy sáng tạo Để tìm được cách giải bài toán, con người phải phân loạitốt các bài toán thành những kiểu bài, sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trướcmột phương pháp giải Toán học rất chặt chẽ và lôgíc, khi đã tìm ra hướng giảiquyết, con người cần phải trình bày lời giải cẩn thận,chính xác Đó chính là hai

ý nghĩa quan trọng của tư duy thuật giải

Trong một số bài toán, tư duy hàm giúp con người phát hiện, thiết lập,nghiên cứu sự tương ứng giữa các đại lượng biến thiên có trong bài toán đó, từ

đó lợi dụng sự tương ứng để tìm ra lời giải của bài toán Ở các bài toán khác tưduy hàm là công cụ để phối hợp cùng với các loại hình tư duy khác để tìm ra lờigiải

Ví dụ 2 ( Bài tập 12 ):

Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn.

+ Phát hiện sự tương ứng: Với hoặc thì vế trái (1) cho cùngmột kết quả Kết hợp với phương pháp đánh giá ta có lời giải:

+ Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất Dễ thấy vì (1) có

nghiệm nên cũng là nghiệm của (1) Do đó

Thay lại vào (1) ta có Đó chính là điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất

+ Điều kiện đủ: Giả sử , khi đó (1) có dạng :

Theo bất đẳng thức Côsi ta có :

, dấu “ = ” xảy ra khi , dấu “ = ” xảy ra khi

Do đó (2)

Vậy (2) có nghiệm duy nhất

Tóm lại để cho (1) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là

Tư duy hàm là một biểu hiện sinh động của tư duy biện chứng, nhưng tưduy biện chứng không phải lúc nào cũng là tư duy hàm Tư duy biện chứng xemxét bài toán cần giải quyết trong mối quan hệ biện chứng, phụ thuộc lẫn nhaudựa trên những quy luật khách quan Tư duy biện chứng giúp con người hội tụđầy đủ các thao tác trí tuệ, hiểu được bản chất của bài toán Trong một sốtrường hợp, giải được một bài toán giúp ta giải được một lớp bài toán tương tự,khái quát hơn

Ví dụ 3 ( Bài tập 2 ):

được một số PT sau:

(2) (3) (4)Khi tìm tòi lời giải bài toán, việc nắm được các phương pháp giải, kiếnthức liên quan chưa đủ, mà điều quan trọng là phải biết suy nghĩ nhận thức bàitoán ấy theo một phương diện mới ( cách nhìn mới ), vận dụng linh hoạt kiếnthức đã biết, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng vào trong hoàn cảnhmới, tìm được con đường ngắn nhất đến đích, đó chính là những đặc trưng của

tư duy sáng tạo giúp con người giải quyết bài toán

Bằng sự phân tích linh hoạt

Ta nhìn thấy sự liên hệ giữa , liệu có thể đưa PT này về dạng:

Dự đoán thôi thúc ta tìm tòi, phân tích:

1.4.1 Tóm tắt các dạng phương trình đã học ở trường phổ thông.

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, PT được đưa ra xuyên suốt

từ cấp tiểu học đến hết bậc phổ thông Tuy nhiên ở tiểu học, học sinh được làmquen một cách ẩn tàng với việc giải chúng

Ví dụ 1: Điền số thích hợp vào ô trống:

-Tìm số tự nhiên a, biết

-Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu

-Các bài toán về vận tốc, quãng đường

Ở trường THCS, lớp 6, lớp 7 học sinh được giải các bài toán giải PT dạngphức tạp hơn tiểu học

Ví dụ 2: Tìm biết:

Lớp 8: Học sinh được học khái niệm PT, ẩn số, nghiệm của PT, tập xácđịnh, hai PT tương đương, nhưng chưa được học PT hệ quả Các dạng PT đượchọc:

-PT bậc nhất

-PT có chứa ẩn ở mẫu thức

-PT có chứa dấu giá trị tuyệt đối

-Giải bài toán bằng cách lập PT

Lớp 9: Học sinh được học về PT bậc nhất hai ẩn số, hệ hai PT bậc nhấthai ẩn Tiếp đó HS được học PT bậc hai và một số PT quy về bậc hai, giải bàitoán bằng cách lập PT và hệ PT

Lớp 10: Tổng kết và nâng cao các kiến thức về PT đã được học ở THCS,

cụ thể:

Học sinh được học định nghĩa PT và các khái niệm có liên quan, định nghĩa PTtương đương, PT hệ quả, các phép biến đổi tương đương Các dạng PT đượchọc:

-PT bậc nhất, PT đưa về bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-PT bậc hai, PT đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.-PT bậc nhất đối với và

Lớp 12: Học sinh được học về PT mũ, PT lôgarit

1.4.2 Thực trạng dạy học phương trình ở trường THPT.

Thông qua khảo sát thực tiễn tình hình học tập của HS và sự trao đổi trựctiếp với các thầy cô giàu kinh nghiệm giảng dạy môn toán THPT về việc dạy

PT, chúng tôi nhận thấy việc dạy phương trình có một số vấn đề sau:

+) Về phía giáo viên:

Giáo viên có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu để nắm vững các kiếnthức về PT Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy do phải đảm bảo sự cân đối

về thời gian giảng dạy cho từng mục tiêu nên việc rèn luyện năng lực tìmđoán cho học sinh trong việc giải bài tập nói chung, giải PT nói riêng có rất ítthời gian thực hiện

Ở lớp đại trà:

Đối với PT không có thuật toán, phần lớn giáo viên chỉ đưa ra lời giải chứkhông dạy cho học sinh cách tìm ra lời giải Đồng thời hầu hết giáo viên chỉdừng lại ở những PT không có thuật toán trong sách giáo khoa Việc mở rộng racác dạng toán khác có nhưng rất hạn chế

Do kiến thức về PT đã được học ở lớp dưới và được tôi luyện qua nhiều

kì thi, nên với chủ đề này phần lớn các em học sinh rất hứng thú học tập Nhiều

em rất thành thạo giải những PT có thuật toán, song với những PT không cóthuật toán thì các em gặp phải khó khăn trong việc tìm lời giải

Vì vậy việc rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh trong việc dạy họctoán nói chung và dạy học giải PT nói riêng là một trong những nhiệm vụ quantrọng của nhà trường phổ thông Điều đó góp phần đào tạo các em học sinh trởthành những người lao động có năng lực giải quyết vấn đề, tự chủ, sáng tạotrong công việc, đáp ứng được những yêu cầu về nhân lực trong thời kì côngnghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước và hội nhập quốc tế.

1.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Qua những nội dung đã đề cập ở trong chương I, dựa trên cơ sở lí luận về

tư duy và năng lực tìm đoán chúng ta thấy: Nếu vận dụng tốt các lí luận này vàogiảng dạy không những phát huy được sự độc lập suy nghĩ của học sinh mà cònkích thích được hứng thú, óc tìm tòi của học sinh trong quá trình học tập, nógiúp học sinh phát triển được năng lực toán học, một thành tố cơ bản của họcsinh khá giỏi toán

Bên cạnh đó, người giáo viên phải áp dụng phương pháp dạy học tích cực,khoa học và hợp lí, mang lại cho học sinh sự say mê môn toán, tìm thấy trongtoán niềm vui lớn trong học tập Qua đó giáo dục các em những phẩm chất đạođức tốt đẹp khác

Trong chương II của luận văn chúng tôi đề cập tới một số biện pháp sư phạmnhằm rèn luyện cho học sinh năng lực tìm đoán trong quá trình giải bài tập nóichung và phương trình nói riêng

CHƯƠNG II HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỌN LỌC

VÀ ĐỀ XUẤT MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM, NHẰM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TÌM ĐOÁN Ở TRƯỜNG THPT

2.1 ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP.

Hệ thống bài tập về PT được xây dựng với mục đích rèn luyện và pháttriển năng lực tìm đoán cho học sinh THPT đặc biệt là học sinh khá giỏi, chonên cần thiết phải đảm bảo các yêu cầu sau:

- Củng cố vững chắc kiến thức, kỹ năng cơ bản trong chương trình họcvấn phổ thông

- Tác động đến từng yếu tố, thành phần của năng lực tìm đoán

- Gợi cho học sinh niềm say mê, khám phá tìm tòi lời giải bài tập

- Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trongchương trình học

- Giúp học sinh nâng cao tính độc lập, tính tích cực, sáng tạo trong học tập

- Giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ toán học

- Bài tập có tác dụng kiểm tra kết quả học tập, đánh giá được mức độ pháttriển tư duy của học sinh

- Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành, khai thác, sửdụng hiệu quả hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập

- Hệ thống bài tập được được chọn, phân loại hợp lý, đảm bảo mục đích

đã đề ra, tính khả thi khi sử dụng, tính vừa sức đối với học sinh

2.2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỌN LỌC.

Giải PT là sự vận dụng linh hoạt các kiến thức về những phương diệnkhác nhau để giải quyết vấn đề cụ thể Khi giải mỗi bài tập về PT, nó đòi hỏingười giải phải thực sự nỗ lực, tập trung tư tưởng cao độ, có lập luận lôgíc chặtchẽ, có tư duy linh hoạt, sáng tạo trong việc tìm tòi và định hướng cách giảitoán Các bài tập về PT rất đa dạng và phong phú, nên ta có thể thông qua việcgiải các bài tập để rèn luyện các năng lực tư duy cho HS, trong đó có năng lựctìm đoán Khi giải một PT, thông thường ta chọn cách giải nào đơn giản, ngắngọn và độc đáo nhất Như vậy HS phải được trang bị các phương pháp giải PTmột cách đầy đủ và có hệ thống thì mới có điều kiện chọn ra cách giải hay nhất.Mỗi phương pháp giải PT đều có ưu điểm riêng của nó Do tính chất và phạm vicủa đề tài nghiên cứu, nên chúng tôi tập trung hướng dẫn HS ba phương pháp giải

PT là: Phương pháp đặt ẩn phụ, Phương pháp hàm số, Phương pháp đánh giá

2.2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp quan trọng và rất phổ biến

để giải PT Mục đích của việc đặt ẩn phụ là nhằm đưa PT bậc cao về PT có bậcthấp hơn, đưa PT phức tạp về PT đơn giản hơn đã biết cách giải Khi giải bằngphương pháp đặt ẩn phụ phải đặt ĐK cho ẩn phụ ( nếu có ) và phải biết chuyển

+ Với , giải ra được:

+ Với , giải ra được:

+ Giải tiếp PT(4) ta được:

+ Loại trái với ĐK (3)

Thay vào (3) được

Loại vì trái ĐK (2), thoả mãn điều kiện (2).Vậy PT có nghiệm duy nhất