skkn sáng kiến kinh nghiệm bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các nămbài toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toánnày lại là một trong những bài toán tương đối

Mục lục

Trang Phần mở đầu

1 Lý do chọn sáng kiến, kinh nghiệm

2 Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm

3 Cấu trúc của sáng kiến, kinh nghiệm

Phần nội dung

Chương I: Cơ sở lý luận

Chương II: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải

Chương III: Giải pháp

Phần kết luận Tài liệu tham khảo

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn sáng kiến, kinh nghiệm

Học sinh trên địa bàn huyện Sơn Hà đa phần là con em người dân tộcthiểu số, cha mẹ không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành Ngoài giờđến lớp các em còn phải giúp đỡ bố mẹ các công việc gia đình và đồng áng,không có nhiều thời gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của họcsinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học mônToán Là giáo viên dạy toán, đã có 19 năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảmvới các em và trăn trở trước thực tế đó Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôiluôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúpcác em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thitốt nghiệp và Đại học

Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A.Stoliar 1969tr.5) Ở trường phổ thông, đối với học sinh có thể giải toán là hình thức chủyếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phươngtiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắmvững tri thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giảitoán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổthông

Toán học là môn học nghiên cứu về “ hình và số” Môn toán được chiathành nhiều phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong đó giải tích làngành toán học nghiên cứu về khái niệm, tính chất của giới h¹n, đạo hàm,nguyên hàm, tích phân Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường làmang tính chất “động” hơn là “tĩnh” Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giảicác bài toán giải tích trong trường THPT là rất khó khăn

Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các nămbài toán tích phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toánnày lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụnglinh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân.Những khó khăn, sai lầm của học sinh được thể hiện trong quá trình làm bàitập, làm bài kiểm tra, các bài thi Trong thực tế đa số học sinh tính tích phânmột cách hết sức máy móc Đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính

tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số,phương pháp tính tích phân từng phần Rất ít học sinh để ý đến nguyên hàmcủa hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tíchphân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩakhông? Phép biến đổi hàm số có tương đương không?

Qua các tài liệu về giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua cácquá trình quan sát có thể nhận thấy rằng: học sinh rất lúng túng, gặp nhiềukhó khăn và sai lầm khi đứng trước những bài toán giải tích nói chung và cácbài toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng nói riêng Trên thực tế khi dạytoán giải tích lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, tôi pháthiện ra những lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những bài toán liênquan đến tích phân Tôi nhận thấy rằng để các em tự tin khi gặp các bài toánliên quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài toán về tích phân,thì tôi phải giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên

Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho

học sinh tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho

học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm"

2 Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm.

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạtđược kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trongquá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháptối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thốngchương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảotrong việc giải các bài toán Tích phân Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệuquả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải

quyết những vấn đề liên quan đến Tích phân?

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân,

học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học

sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân?

- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

4 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12C3, 12C4 trường THPT Sơn Hà

- Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trìnhtính toán

5 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng nhữngphương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm

sư phạm

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đàotạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầumạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm vềkết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểmtra,…) và đi đến kết luận

Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm củahọc sinh Vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thứccủa học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

có tương đương không.

- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân

- Không nắm vững phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phântừng phần

- Không nắm vững công thức và vận dụng đúng công thức tính diện tíchhình phẳng, thể tích khối tròn xoay

- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; đổi biến số nhưngkhông đổi cận; khi đổi biến không tính vi phân; giải sai hoặc tính toán nhầm

do kỹ năng tính toán chưa thuần thục

- Những lỗi khó phát hiện mà học sinh thường mắc phải như:

+ Hàm số không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng vẫn sử dụng được côngthức Newtơn- Leibnitz;

+ Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục vàđạo hàm liên tục trên [a; b];

+ Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiệnthời;

+ Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìmđược giá trị chính xác)…

II Các giải pháp của sáng kiến.

Khi phát hiện những khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, tôi đã thựchiện một số giải pháp như sau :

II.1 Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững.

- Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm đượcbản chất các khái niệm, định nghĩa, định lý đó

- Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa,định lý

- Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải

II.2 Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp.

- Kĩ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết bàitoán

- Tư duy: Phân tích, so sánh, tổng hợp

- Phương pháp: Phương pháp giải toán

II.3 Đổi mới phương pháp dạy học.

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với từng đơn vị kiến thức,từng đối tượng học sinh: vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề…

- Sử dụng phương tiện dạy học: bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điệntử…

II.4 Đổi mới kiểm tra, đánh giá.

- Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan ở nhiềumức độ nhận thức

- Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh

II.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải.

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải theo chủ đề: bài toán tính tíchphân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tíchphân hàm vô tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm

số lượng giác…); Bài toán tính diện tích (Diện tích hình phẳng giới hạnbởi 4 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 3 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 2 đồthị, hình phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị); Bài toán tính thể tích khối tròn xoay(quay quanh Ox, quay quanh Oy)

- Mỗi dạng bài tập đưa ra phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tậptương tự, bài tập nâng cao.

- Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái quát (phát triển)bài toán

CHƯƠNG II NHỮNG SAI LẦM MÀ HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI

1 Sai lầm khi biến đổi, vận dụng định nghĩa tích phân.

1.1 Ví dụ 1: Tính tích phân I = 2 2

0

1dx(x 1)



1.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :

I= 2 2

0

1dx(x 1)



0 0

x 1(x 1)

a

f (x)d(x)

 chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] Khi hàm số liêntục thì ta mới có thể vận dụng các phương pháp đã học để tính tích phân trên.Còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại

1

1

dx x x

1.2.1 Học sinh trình bày như sau

I =

2 2

để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = x0

4 2

1 5 dx

4(x- 4)

1 3

1dxcos x

3 x 2 1

3 -1

-x e + x

dxx

0 0

3.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :

(sin x cos x)dx (sin x cos x) 1 1 2

= (sinx- cosx)

3π 4 0

- (sinx- cosx)

π 3π 4 = 2 2- 1

vậy khi tính tích phân đối với hàm số dạng 2 2

0

1y

(x x ) a



  ta dùngphương pháp đổi biến số đặt đặt: x- x0 = a tant hoặc x- x0 = a cot t Còn tích

phân của hàm số dạng 2 2

0

1y

a (x x )



  thì đặt x- x0 = a sint hoặc x- x0 =acost

dxI

2 0

8 0

không tìm được chính xác giá trị của

t Do đó giáo viên cần lưu ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số

có chứa a2 x2 thì thường đặt x = asint (x = acost) hoặc gặp tích phân củahàm số có chứa a2+ x2 thì đặt x = atant (x = atant) nhưng cần chú ý đến cậncủa tích phân đó Nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làmđược theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương phápkhác Chẳng hạn với bài toán này thì ta có thể đổi biến số theo cách đặt thôngthường bằng cách đặt u a2 x2

Học sinh đã trình bày như sau: Đặt t = tan 2x thì dx 2dt2

1 t



 ; 2

5.3.2 Phân tích sai lầm:

Đặt t = tan 2x , x [0; ] Tại x =  thì tan 2x không có nghĩa Diáo viêncần lưu ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số thì khi đặt t = u(x) thìu(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]

2 0

xdx

1 e 2

1

ln xdxx

7 Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng.

7.1 Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 – 1; x

7.1.2 Nguyên nhân của sai lầm :

Công thức tính diện tích giới hạn bởi hàm số y = f(x), trục hoành và hai

8 Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích

8.1 Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y x;

y = x – 6 và trục hoành

8.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

- Phép biến đổi x 6 x = (6 – x)2 là không tương đương

- Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x;

y = x – 6 (miền AOB) Trong khi miền cần tính là miền AOC

B O

9 Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

9.1 Ví dụ 12: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ;

x = 2 quay quanh trục Oy Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

9.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :

9.1.2 Nguyên nhân của sai lầm:

Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau :

0 0

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một sốbài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trongcác đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của

các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và

đã giải được một lượng lớn bài tập đó

2 Kết quả thực nghiệm:

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011-2012

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệmtính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giảiquyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn củaGiả thuyết khoa học

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT số 2 Văn Bàn.+ Lớp 12A4 ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến

+ Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến

Thực nghiệm được tiến hành trong bài phụ đạo, ôn tập về tích phân.Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra Sau đây lànội dung đề kiểm tra:

Đề kiểm tra khảo sát 45 phút

(x

dx

1 3

Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên Đềkiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm

và đối chứng Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ

bộ về chất lượng làm bài của học sinh

Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so vớitrình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa đượctrình độ của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chínhxác về mức độ nắm kiến thức của học sinh Cả bốn ý trong đề kiểm tra đềukhông nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụngkiến thức đã được học về tích phân

PHẦN III : KẾT LUAN.

Năm học 2012 – 2013 tôi được phân công giảng dạy ba lớp 12C3, 12C4 và12C5 và năm học này đề tài nghiên cứu của tôi sẽ được áp dụng, kiểm nghiệmqua thực tế Học sinh cũng gặp phải những khó khăn nhất định trong việc giảicác dạng toán tích phân đã nêu

Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I =

Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khilàm các bài tập tích phân, sau đó tôi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng

Kết quả thu được như sau :

Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

Chẳng hạn :

Kết quả thu được như sau :

Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tínhthể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Trích

đề thi đại học khối B năm 2007 )

Kết quả thu được như sau :

Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải được

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sựhình thành kĩ năng

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân

3 Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giảiquyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân

4 Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyếtcác vấn đề liên quan đến Tích phân

5 Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạyhọc tích cực

6 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệuquả của những biện pháp sư phạm được đề xuất

Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT vớinội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn

về bài toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Tôi thấy học sinh khá,

giỏi rất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinhchưa hề nghĩ đến

Sáng kiến kinh nghiệm này đã phân tích được một số khó khăn, sailầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán liên quan đến tích phân.Với lượng kiến thức nhất định về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng họcsinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm mắc phải khi giải toán Từ

đó rút ra những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho mình

Bản thân tôi là giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực

tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu đề tài này Khi áp dụng đề tài vào giảngdạy tôi thu được kết quả đáng khích lệ, các em không chỉ tự tin hơn khi giảicác bài toán liên quan đến tích phân mà còn có phần hứng thú với loại toánnày Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thểkhông tránh khỏi sai sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồngnghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập Kínhmong hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có nhiềugóp ý, bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi hơntrong đơn vị

Sơn Hà, ngày 30 tháng 12 năm 2014

Người viết

Nguyễn Quý