Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1 Biến đổi vế này thành vế kia.. 2 Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG 1 Dạng 1 Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + =
A
B
C
D
Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì + =
Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA ABuuur uuur uuur− =
(hoặc OA OB BAuuur uuur uuur− =
)hay uuur uuur uuurAB OB OA= −
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔IA IBuur uur r+ =0
Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0
BÀI TẬP
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR :
→
AC +
→
BD =
→
AD +
→
BC
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
a/
→
DO
+
→
AO
=
→
AB
b/
→
OD +
→
OC =
→
BC
c/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC +
→
OD = 0
r d/
→
MA +
→
MC =
→
MB +
→
MD (với M là 1 điểm tùy ý)
AB
uuur
BC
uuur
AC
uuur
AB
uuur
AD
uuur
AC
uuur
Trang 2Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB.CMR :
→
OD +
→
OC =
→
AD +
→
BC
Bài 4 Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
' AA ,
→
' BB ,
→
' CC
CMR :
→
' AA
+
→
' BB +
→
' CC =
→
' BA +
→
' CB +
→
' AC
Bài 5 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C
qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:
Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :
c) + + = d) + + = + + ( M tùy ý )
Dạng 2 .Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + =
⇒ uuur uuur+ = uuur
+ Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì + =
⇒ uuur uuur+ = uuur
A
B
C
D
+ Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
' '
OA OC
OB
OA + + = + +
OAuuur OBuuur OCuuur ODuuur OEuuur OFuuur 0r OAuuur OCuuur OEuuur 0r
ABuuur AOuuur AFuuur ADuuur MAuuuur MCuuur MEuuur MBuuur MDuuuur MFuuur
AB
uuur
BC
uuur
AC
uuur
AB
uuur
AD
uuur
AC
uuur
Trang 3OB OA ABuuur uuur uuur− =
(hoặc OA OB BAuuur uuur uuur− =
)hay uuur uuur uuurAB OB OA= − ⇒ AB = OB OA−
uuur uuur uuur
Sử dụng tính chất hai véctơ :
+ Nếu hai véc tơ ,br
cùng hướng thì | +br
| = | |+|br
|
+ Nếu hai véc tơ ↑↓b
r
và |br
| ≥ | | thì | +br
|=|br
|−| |
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính
→
AD
−
→
AB
b/ Dựng u
r
=
→
CA
−
→
AB Tính u
r
Bài 2 Cho ∆ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC
a/ Tính
→
→
−AC
AB
b/ Tính
→
BA
−
→
BI
Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính
→
→
−AC
AB
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt = ; =
Tính ; ; ; theo và
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính
→
→
+AD AB
theo a
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính
→
→
+AD
AB
b/ Dựng u
r
=
→
→
+AC AB
Tính u
r
Dạng 3 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :
a r a r a r a r
AOuuur ar BOuuur br
ABuuur BCuuur CDuuur DAuuur ar br
Trang 4Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt
;
r uuur r uuur
Hãy phân tích các vectơ
AI AG DE DC
uur uuur uuur uuur
theo hai vectơ u vr r,
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC Hãy phân tích
vectơ uuuurAM
theo hai vectơ
,
u AB v ACr uuur r uuur= =
Dạng 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Cơ sở:
+ A, B, C thẳng hàng ⇔ AB
uuur cùng phương uuurAC
⇔∃ 0≠k ∈¡ : uuurAB k AC= uuur + Nếu uuurAB kCD= uuur
và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC
sao AK=
1
3
AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0
BC MA+ = uuur uuur r
, uuur uuurAB NA− −3uuur rAC=0
Chứng minh MN//AC
BÀI TẬP
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
→
AB + 3
→
AC = 5 CMR : B, C, D thẳng hàng
Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho
→
MB
= 3
→
MC
;
→
NA +3
→
NC
=0
r
và
→
PA +
→
PB = 0 r
a/ Tính
→
PM
,
→
PN theo
→
AB
và
→
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua
C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Dạng 5 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
Cơ sở:
+ uuur rAB= ⇔ ≡0 A B
+ Cho điểm A và ar
Có duy nhất M sao cho : uuuur rAM =a
+
;
AB= AC⇔ ≡B C AD BD= ⇔ ≡A B
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí của G biết uuurAG=2GDuuur
Trang 5
Ví dụ 2 Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IAuur+2IBuur r=0
Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC = 2
→
EF
b/ CMR :
→
OA
+
→
OB +
→
OC +
→
OD = 0 r
c/ CMR :
→
MA
+
→
MB +
→
MC +
→
MD = 4
→
MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
→
−
MA +
→
−
MB +
→
−
MC +
→
−
MD
nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1
điểm tùy ý
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG +
→
CH +
→
DE = 0 r
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB +
→
MC +
→
MD =
→
ME +
→
MF +
→
MG +
→
MH
c/ CMR :
→
→
+AC AB
+
→
AD
= 4
→
AG (với G là trung điểm FH)
Bài 3: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H CMR :
→
AD +
→
BE +
→
CF = 3
→
GH
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC +
→
OD = 0
r b/
→
EA +
→
EB + 2
→
EC = 3
→
AB c/
→
EB + 2
→
EA + 4
→
ED
=
→
EC
Bài 5: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao
cho
→
AN
= 2
1 →
NC Gọi K là trung điểm của MN
a/ CMR :
→
AK = 4
1
→
AB + 6
1 → AC
b/ CMR :
→
KD = 4
1
→
AB + 3
1 → AC
Bài 6: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
→
AD = 2
→
DB ,
→
CE = 3
→
EA Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
Trang 6a/
→
AM
= 3
1
→
AB + 8
1 → AC b/
→
MI = 6
1
→
AB + 8
3 → AC
CÁC ĐỀ TỔNG HỢP
Đề 1:
Câu1: Cho tứ giác ABCD I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, IJ Chứng
minh: a) AC−DB= AD−CB b) CA+CB+CD =4CK.
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Tìm điểm M thoả: MA+2MB+MC+MD=3MO.
Câu3: Cho tam giác ABC trọng tâm G, D và E là hai điểm thoả:AD 2= AC,
AB AE
5
2
=
.
Phân tích các vectơ DE, DG theo các vectơ AB, AC, Suy ra ba điểm D, E G thẳng hàng.
Đề 2:
Câu1: Cho tứ giác ABCD I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, IJ Chứng
minh: a) AB+DC = AC+DB b) AC+ AB+AD=4AK.
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Tìm điểm M thoả: MA+MB+2MC+MD=3MO.
Câu3: Cho tam giác ABC trọng tâm G, D và E là hai điểm thoả:BD 2= BC,
BA BE
5
2
=
.
Phân tích các vectơ DE, DG theo các vectơ BA, BC, Suy ra ba điểm D, E G thẳng hàng.
Câu 4: Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác
1/ Chứng minh với mọi M ta có: MA MB MCuuuur+uuuur+uuuur= 3 MGuuuur
2/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho | MA MB MCuuuur+uuuur+uuuur| |= MB MCuuuur−uuuur|
3/ Gọi E là trung điểm của BG Biểu thị BE
uuur
theo hai véctơ AB
uuur
và AC
uuuur