CHƯƠNG III véc tơ TRONG KHÔNG GIAN QUAN hệ VUÔNG góc TRONG KHÔNG GIAN

Sự đồng phẳng của ba véc tơ  Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nố

CHƯƠNG III: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa và các phép toán

 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về véc tơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng

 Ghi nhớ:

 Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC ACuuur uuur uuur+ =

 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

AB AD AC+ =

uuur uuur uuur

 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:

AB AD AA+ + ′=AC′

uuur uuur uuuur uuur

 Hệ thức trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng

AB và một điểm O tùy ý, ta có: IA IB 0; OA OB 2OIuur uur r uuur uuur+ = + = uur

 Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm tam giác ABC và một điểm O tùy ý, ta có: GA GB GC 0; OA OB OC 3OGuuur uuur uuur r uuur uuur uuur+ + = + + = uuur

 Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm tứ diện ABCD và một điểm O tùy ý, ta có:

GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OGuuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur+ + + = + + + = uuur

 Điều kiện hai véc tơ cùng phương: ar và br cùng phương (a 0r r≠ ) khi và chỉ khi !k∃ ∈¡ : b kar = r

 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k, O tùy ý, ta có:

OA kOB

1 k

−

−

uuur uuur uuuur uuur uuuur

2 Sự đồng phẳng của ba véc tơ

 Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó

 Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ: Cho ba véc tơ a, b, cr r r trong đó ar và br không cùng phương Khi đó, a, b, cr r rđồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất hai số thực m và n sao cho c ma nbr= r+ r

 Cho ba véc tơ a, b, cr r r không đồng phẳng, xrtùy ý Khi đó, tồn tại duy nhất ba

số thực m, n, p sao cho x ma nb pcr= r+ r+ r

3 Tích vô hướng của hai véc tơ

 Góc giữa hai véc tơ trong không gian:

AB u, AC v= = ⇒ u, v =BAC 0° ≤BAC 180≤ °

uuur r uuur r r r

 Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian:

 Cho u, v 0r r r≠ Khi đó, u.vr r = u v cos u, vr r ( )r r

 Với u 0r r= hoặc v 0r r= Quy ước u.v 0r r=

 Với u vr ⊥ ⇔r u.v 0r r=

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VÉC TƠ

Dựa vào quy tắc các phép toán về véc tơ và các hệ thức véc tơ.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I

là trung điểm của EF

a) Chứng minh rằng IA IB IC ID 0uur uur uur uur r+ + + =

b) Chứng minh rằng MA MB MC MD 4MIuuuur uuur uuur uuuur+ + + = uuur

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho MA MB MC MDuuuur uuur uuur uuuur+ + + nhỏ nhất

Bài 2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối đồng quy tại trung điểm của chúng (điểm đồng quy

đó được gọi là trọng tâm của tứ diện)

Bài 3. Cho tứ diện ABCD Gọi A , B , C , D′ ′ ′ ′ lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k 1≠ ) Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD, A B C D′ ′ ′ ′ có cùng trọng tâm.

VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA VÉC TƠ ĐỒNG PHẲNG

PHÂN TÍCH MỘT VÉC TƠ THEO BA VÉC TƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG

Để chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:

 Chứng minh các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

 Dưa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: “Nếu

có m, n là các số thực sao cho c ma nbr= r+ r thì ba véc tơ a, b, cr r r đồng phẳng”

Để phân tích một véc tơ xr theo ba véc tơ không đồng phẳng a, b, cr r r, ta đi tìm bộ ba số m, n, p sao cho x ma nb pcr = r+ r+ r

Bài 1. Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MSuuur= −2MAuuuur và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho 2NB NCuuur uuur= Chứng minh rằng ba véc tơ AB, MN, SCuuur uuuur uur đồng phẳng

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của

NG và JH

a) Chứng minh ba véc tơ MN, FH, PQuuuur uuur uuur đồng phẳng

b) Chứng minh ba véc tơ IL, JK, AHuur uur uuur đồng phẳng

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE

a) Chứng minh rằng ba véc tơ uur uur uuur, GI, HK

AJ đồng phẳng

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho FM CN 1

FA = CE =3 Các đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và

Q Chứng minh ba véc tơ MN, PQ, CFuuuur uuur uur đồng phẳng

Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A B C D′ ′ ′ ′ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD , G và G′′ lần lượt là trọng tâm các tứ diện A D MN′ ′ và BCC D′ ′ Chứng minh rằng đường thẳng GG′P(ABB A′ ′) .

Bài 5. Cho ba véc tơ a, b, cr r r không đồng phẳng và véc tơ dr

a) Cho d ma nbr= r+ r với m, n khác 0 Chứng minh rằng các bộ ba véc tơ sau đồng phẳng

i b, c, dr r r

ii a, c, dr r r b) Cho d ma nb pcr= r+ r+ rvới m, n, p 0≠ Chứng minh các bộ ba véc tơ sau không đồng phẳng

i a, b, dr r r

ii b, c, dr r r

iii a, c, dr r r

Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C′ ′ ′ có uuuur r uuur r uuur rAA′ =a, AB b, AC c= = Hãy phân tích các véc tơ B C, BCuuur uuur′ ′ theo ba véc tơ a, b, cr r r

Bài 7. Cho tứ diện OABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Phân tích véc tơ OGuuur theo ba véc tơ OA, OB, OCuuur uuur uuur

b) Gọi D là trọng tâm tứ diện OABC Phân tích véc tơ ODuuur theo ba véc tơ

OA, OB, OCuuur uuur uuur

Bài 8. Cho hình hộp OABC.DEF Gọi I là tâm hình hộp.G

a) Phân tích véc tơ BIuur theo ba véc tơ FE, FG, FIuur uuur uur

b) Phân tích véc tơ OIuur và AGuuur theo OA, OC, ODuuur uuur uuur

Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.EFGH Phân tích véc tơ AE, AGuuur uuur theo ba véc tơ AC,uuur uuur uuur, AH

AF

VẤN ĐỀ 3: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A B C D′ ′ ′ ′

a) Xác định góc giữa các cặp véc tơ: ABuuur và A Cuuuur′ ′, ABuuur và A Duuuur′ ′, AC′uuur và BDuuur b) Tính các tích vô hướng của các cặp véc tơ ở phần a)

Bài 2. Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB BD⊥ Gọi P và Q lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho

PA kPB, QC kQD, k 1= = ≠

uuur uuur uuur uuur

Chứng minh rằng AB PQuuur uuur⊥

II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1 Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Véc tơ a 0r r≠ gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng d

2 Góc giữa hai đường thẳng

 a a, b b′P ′P ⇒( )a, b¶ =( )a , b·′ ′

 Giả sử ur là véc tơ chỉ phương của a, vr là véc tơ chỉ phương của b,

( )u, br r =α Khi đó: ¶( ) 0 90

a, b

° ≤ ≤ °





nÕu nÕu

 Nếu a bP hoặc a b≡ thì ¶( )a, b = °0

3 Hai đường thẳng vuông góc

 a ⊥ ⇔b ( )a, b¶ = °90

 Giả sử u, vr r lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a,b Khi đó:

a ⊥ ⇔b u.v 0r r=

 Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng

90°.

 Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của chúng vuông góc với nhau.

 Sử dụng tính chất của hình phẳng (như định lí Pi –

ta – go).

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC= = và

ASB BSC CSA= = Chứng minh rằng SA⊥BC, SB CA, SC AB⊥ ⊥

Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

a) Chứng minh AO vuông góc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa AC và BM

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c= = = = = = a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với hai cạnh đó

b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với

AB a, AD 2a= = , SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh

AD( M A, D≠ ) Mặt phẳng (P) qua M song song với (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông

b) Đặt AM x= Tính diện tích của MNPQ theo a, x

Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A B C D′ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằng AC B D , AB⊥ ′ ′ ′⊥CD , AD′ ′⊥CB′

III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1 Định nghĩa

d⊥ P ⇔ ⊥ ∀ ⊂d a, a P

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a, b P , a b

d a, d b

⇒ ⊥



3 Tính chất

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó



a b

P a





P

 ⊥



P

( )

a P

b a

 ⊥



P



( )

a b

a b

a, b P

≠



⇒

P , Q a

≠

( )

a P

a, P b

⊄

4 Định lí ba đường vuông góc

Cho a ⊥ ( )P , b⊂( )P , a′ là hình chiếu của a trên (P) Khi đó,

b a⊥ ⇔ ⊥b a′

5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Nếu d⊥( )P thì góc giữa d với (P) bằng 90°

 Nếu d ⊥ P thì góc giữa d với (P) chính là góc giữa d với d′ với d′ là hình chiếu của d trên (P)

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt qua 90°

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT

PHẲNG

VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Để chứng minh d⊥( )P , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)

 Chứng minh d⊥( )Q và ( ) ( )P P Q .

 Chứng minh d aP và a⊥( )P .

Để chứng minh d a⊥ , ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d⊥( )P và (P) chứa a

 Sử dụng định lí ba đường vuông góc

 Sử dụng các phương pháp đã biết ở phần trước

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O SA⊥( ABCD)

Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD

a) Chứng minh BC⊥(SAB , CD) ⊥(SAD , BD) ⊥(SAC)

b) Chứng minh AH SC, AK SC⊥ ⊥ Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng thuộc một mặt phẳng

c) Chứng minh HK vuông góc với mặt phẳng (SAC) Từ đó suy ra HK vuông góc với AI

Bài 2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, SA⊥(ABC) a) Chứng minh BC⊥(SAB)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác |SAB Chứng minh AH SC⊥

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi tâm O,

SA SC, SB SD= =

a) Chứng minh SO⊥(ABCD)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC Chứng minh rằng

IJ⊥ SBD

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh BC⊥( AID)

b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID Chứng minh AH⊥( BCD)

Bài 5. Cho tứ điện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi

H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) BC⊥(OAH)

b) H là trực tâm tam giác ABC.

c) 1 2 1 2 12 1 2

OH = OA +OB +OC

d) Tam giác ABC nhọn

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của SIJ∆ và chứng minh SI⊥(SCD , SJ) ⊥(SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH⊥AC c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM SA⊥ Tính AM theo a

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC a 2= Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD

a) Chứng minh SH⊥( ABCD)

b) Chứng minh AC SK, CK SD⊥ ⊥

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với

AB a, BC a 3= = , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D và

SD a 5=

a) Chứng minh SA⊥( ABCD) và tính SA

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là hình chiếu của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với (HIJ) Chứng minh rằng AK⊥(SBC) , AL⊥(SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

Bài 9. Cho MAB∆ vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′

a) Chứng minh CC′ ⊥(MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm của BCD

Bài 10 Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng

AB CD⊥ ⇔AC −AD =BC −BD

VẤN ĐỀ 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI

MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Tìm hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc chứa) với hai đường thẳng ấy.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với

AB BC a= = , AD 2a= , SA⊥( ABCD , SA 2a) = Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB Đặt

AM x 0 x a= ≤ ≤

a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P) Thiết diện đó là hình gi?

b) Tính diện tích thiết diện theo a, x

Bài 2. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA⊥( ABC) và

SA 2a= Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này

Bài 3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,

AB a, SA= ⊥ ABC và SA a 3= M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt

AM x 0 x a= < < Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P)

b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất

Bài 4. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥( ABC) và

SA a= Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

a) (P) qua S và vuông góc với BC

b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC

c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥( ABCD)

và SA a 2= Vẽ đường cao AH của tam giác SAB

a) Chứng minh rằng SH 2

SB = 3 b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện?

VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta cần:

 Tìm giao điểm O của d với (P).

 Chọn điểm A d∈ và dựng điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) Khi đó, góc cần tìm chính là ·AOH

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O,

SO⊥ ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điêm của các cạnh SA và BC Biết góc giữa đường thẳng MN với (ABCD) bằng 60°

a) Tính MN và SO

b) Tính góc giữa MN với mặt phẳng (SBD)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA⊥ ABCD và SA a 6= Tính góc giữa:

a) SC và (ABCD)

b) SC và (SAB)

c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA⊥( ABCD) Cạnh SC a= hợp với đáy một góc α và hợp với mặt bên một góc β a) Tính SA

b) Chứng minh rằng AB a cos= (α β+ ) cos(α β− )

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân,

·

AB AC a, BAC= = =α Biết SA, SB, SC đều hợp với đáy một góc α a) Chứng minh rằng hình chiếu S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp

C

∆ΑΒ

b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′có đáy là tam giác đều cạnh a,

′ ⊥

AA và đường chéo BC′ hợp với mặt bên ABB A′ ′ một góc 30° a) Tính AA ′

b) Tính khoảng cách của trung điểm M của AC đến ( BA C′ ′)

IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1 Góc giữa hai mặt phẳng

P , Q a, b

⊥



⊥



 Giả sử ( ) ( )P ∩ Q =c Từ I c∈ dựng

( )

a P , a c

P , Q a, b

b Q , b c



 Chú ý: 0≤( ( ) ( )·P , Q ) ≤ °90

2 Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P) S′ là diện tích hình chiếu ( )H′ của (H) trên (Q) và góc giữa (P) và (Q) là ϕ Khi đó, S′ =S cosϕ

3 Hai mặt phẳng vuông góc

 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°

 Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trên mặt phẳng này có chứa một đường thẳng nào đó vuông góc với mặt phẳng kia

4 Tính chất



( ) ( ) ( ) ( )

a P , a c





( ) ( )





( ) ( ) ( )

a A, a Q

⊥









VẤN ĐỀ 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Tìm hai đường thẳng a, b sao cho a⊥( )P , b⊥( )Q Khi đó, góc cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng a và b