GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ A... Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức o sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn... CÁC BÀI TOÁN LUYỆN
Trang 1GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A TÓM TẮT GIÁO KHOA
o o {
* o f(x) = ab
* o o (*)
+) Nếu a > 1 thì (*) {
+) Nếu 0 < a < 1 thì (*) {
Chú ý: o có nghĩa {
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số
Phương pháp
o o {
Phương trình mũ cơ bản: o (0 < a ≠1)
* o x = ab
, (0 < a ≠ 1)
* lg x = b x = 10b , ln x = b x = eb
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1 o o o
Trang 22 o o o o
Lời giải
1 Điều kiện: x > 0
Phương trình cho trở thành: o o đưa phương trình này về phương trình dạng 4x2
+ 5x – 125 = 0 x = 5 hoặc x =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 5 hoặc x =
2 Điều kiện: x > 0 Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số o
Phuương trình cho tương đương: o
o ( ) o x = 1
Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 1
Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức o
sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn
Ví dụ 2: Giải phương trình: o o √
Lời giải
Điều kiện: 0 < x ≠ 2
Cách 1: Phương trình cho viết lại: o o
Hay o tức
Giải phương trình này ta được: x = 1, x = , x = 3
Trang 3Cách 2: Phương trình cho viết lại: o o
Hay o ) = 0 tức |x – 2| (
) = 1 (*) Nếu 0 < x < 2 thì |x – 2| = - (x – 2) = 2- x Khi đó phương trình (*) viết lại:
-x2 + 2x = x2 – 3x + 3 x = 1 hoặc x =
Nếu x > 2 thì |x – 2| = x – 2 Khi đó phương trình (*) viết lại:
x2 – 2x = x2 – 3x + 3 x = 3
Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm x = 1, x = , x = 3
Ví dụ 3: Giải phương trình: o o √ √
Lời giải
o o (√ √ ) 2 (*)
Với x ∈ [- ; ] phươn trình * viết lại
o o (√ √ )
8 – x2 = 4(√ √ ) (**)
Đặt t = √ √ , phươn trình ** trở thành (t – 2)2(t2 + 4t + 8) = 0
Phươn trình này có n hiệm t = 2 hay √ √ = 2
Bình phươn vế và rút gọn ta được: x = 0
Chú ý: Từ (**) ( √ ) ( √ )
√
√
Trang 4 x = 0 hoặc
√ √
=> x = 0
Ví dụ 4: Giải phươn trình: √ √ √
Lời giải
Điều kiện: {
-1 < x < 1 (*)
Để ý: √ √ √ = √ √
Phươn trình cho √ √ √ √
√ √ 1 – x = 100 x = -99 (**)
Từ * và ** suy ra phươn trình vô n hiệm
Ví dụ 5:
Giải phươn trình: o o o √ o ]
Lời giải
Điều kiện:
Phươn trình cho o o o o ]
6 o o o o
Trang 5 o o o + o - 2 o o =0
o o o o o o
( o o o o ) = 0 điều kiện: x > 0)
Có 2 TH xảy ra:
(1) o o <=> o o
x = |3x – 4| x = 3x – 4 hoặc x = -(3x – 4)
x = 1 hoặc x = 2
(2) o o = 0 <=> o o = o x = 9x2 – 25x + 16 = 0 x =
Vậy, phươn trình cho có n hiệm: x =1, x = 2, x =
Lời bình:
Khác với bài trên, bài toán này lắm sai lầm mà n ười giải vấp phải
o o ; o o là các phép biến đổi khôn tươn đươn , đôi chút o √ √ là không thể
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình:
1 o o o 2 o o + 1
3 o o 4 o o √
5 o o o o 6 o ] o
Trang 67 o o o
8 (√ √ ) o
9 o o o o
Bài 2: Giải các phương trình:
1 o o o 2 o o o o
3 o o o , √ 4 lg(6.5x – 25.20x) – lg 25 = x
5 (x – 1) o o o
6 lg (x2 – 7x + 6) = lg (x -1) + 1
7 o o √ 8 o
9 o o 10
11 o √ o o
12 o o o
Bài 3: Giải các phương trình:
1 o o 2 ln3
x – 3ln2 x – 4ln x + 12 = 0
3 1 + o o
4 o o o
Bài 4: Giải các phương trình:
1 o o 2 1 + o o
Trang 73 o o 4 ( )
Bài 5: Giải các phương trình:
1 o o o
√
2 o
o
3 o o
o o o √
4 1 + o
o
5 o o o
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:
1 Điều kiện: x > 0
Phương trình đã ccho tương đương với: o o o
o o o o = 11 o x = 64 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm
2 Điều kiện: x >
Phương trình đã cho viết lại:
o + 1 tức là o ] o ] Với o 2x + 1 = 32 = 9 x = 4
Trang 8Với o 2x + 1 = 3-1 = x =
Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm x = hoặc x = 4 3 Điều kiện: < x ≠ 0 Phương trình cho viết lại: 2 o o tức là: o o {
{
ặ
x = -1 Vậy, phương trình cho có nghiệm x = -1 4 Điều kiện: {
=>
Phương trình đã cho trở thành: o o
o |x – 1|(2x – 1) = 3 (*)
, phương trình (*) - (x- 1)(2x -1) = 3 phương trình này vô nghiệm với ∀x ∈ ( ;
> 1, phương trình (*) (x – 1)(2x -1) = 3, giải phương trình này ta được nghiệm x = 2 thỏa mãn bài toán Vậy phương trình có nghiệm x = 2 5 x > 1 Pt o o o o o o o ( o )
o o o o o = 3 o o
Trang 9 o o o x = 16
6 o ]
o (x +2)(x – 2) = 16
7 Điều kiện: x > 2
Phương trình o o
x2 – 3x + 2 = 6 x2 – 3x – 4 = 0 x = -1 hoặc x = 4
Đối chiếu điều kiện, ta có: x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho
8 Điều kiện: -1 ≤ x < 0
Phương trình 2 trường hợp:
(1) √ √ √ √ √
x = 0
(2) o
x = √
Đối chiếu điều kiện, suy ra x = √ là nghiệm của phương trình đã cho
9 o o o o x = 3
Bài 2:
1 Điều kiện: x > 0
Phương trình cho o o o o o o
o = o o o x = 3 thỏa mãn điều kiện
Chú ý: o o vì x > 0 nên o o
Trang 102 Điều kiện: x > 0
Phương trình cho o o o o
( o o <=> o o x = 16
3 Phương trình cho o o o √
o o = o √ o = o √
o o √ √ x = =
√
4 Điều kiện: 6.5x – 25.20x > 0 4x <
x < o
x < o √
Phương trình cho
= 6.5x -25.20x = 25.10x 25.4x + 25.2x – 6 = 0 <=> 25.(2x)2 + 25.2x – 6 = 0
2x = hoặc 2x = < 0
x = o o √
5 Phương trình cho o o o
x = 0; x = 2
6 Điều kiện: {
x > 0 Khi đó, phương trình cho tương đương:
x2 – 17x + 16 = 0
x = 1 và x = 16
Trang 11Kết hợp điều kiện, suy ra x = 16 là nghiệm của phương trình đã cho
7 Điều kiện: {
Phương trình cho o o (2x2 – 3x + 1)2 = 9
(2x2 -3x -2)(2x2 – 3x + 4) = 0 x = 2
8 Phương trình {
{ x = 4
9 Điều kiện: {
x > -3 Phương trình cho o o
o √ o
o √ √ = √
16(x +3) = x2 – 2x +1 = 0 x = 1 thỏa điều kiện
10 Điều kiện: {
{
≠ 1 (*)
Phương trình cho lg x2 – lg(6x – 5) = 0 lg
x2 – 6x + 5 = 0 x = 1 hoặc x = 5
So với điều kiện (*) => x = 5 là nghiệm của phương trình
Chú ý: Nếu không có điều kiện (*), việc biến đổi phương trình cho
lg x2 – lg (6x – 5) = 0 lg
= 0 là không nên Vì sao vậy??
Trang 1211 (x + 3)|x – 1| = 4x 2 hệ phương trình
(1) {
x = 3
(2) {
x = 2√
Vậy phương trình có 2 nghiệm: 2√ và 3
12 Điều kiện: x ∈ (-∞; -4) ∪ (-3;-2) ∪ (-1; +∞)
Phươn trình o o
(x2 + 5x)(x2 + 5x +10) = 0
x = 0; x = -5
Bài 3:
1 o o o o ] (*) Đặt t = o khi đó phươn trình
(*) => t(1 + t) = 2 ,=> t2 + t -2 = 0 t = -2 hoặc t = 1
=> o 2x + 1 = 2-2 2x = < 0 (1)
o 2x + 1 = 2 x = 0 (2)
Từ (1), (2) ta có nghiệm của phươn trình à x
2 Điều kiện: x > 0
Đặt t = ln x
Phươn trình viết lại: t3 – 3t2 – 4t + 12 = 0 (t + 2)(t – 2)(t – 3) = 0
t = -2 ln x = -2 x = e-2
Trang 13t = 2 ln x = 2 x = e2
t = 3 ln x = 3 x = e3
3 Điều kiện: { { (*)
Để ý: o
(3) 1 + o o 1 + o
o {
o
Hai hệ phươn trình:
(1) { o o x +2 = x = (2) { o o x + 2 = 52 x = 23 Thỏa mãn điều kiện (*)
4 Ta có: o o
o o , o o
Điều kiện: {
{
Phươn trình o o o
o o ] => x = 1 - √ hoặc x = 2
Bài 4:
Trang 141 Điều kiện: {
x < -5 hoặc x > 5 (*)
Phươn trình cho o
o |x – 5| = 1
x = 6 hoặc x = 4 (**)
Từ * , ** suy ra phươn trình có n hiệm x = 6
Lời bình:
Phươn trình cho o o o
o o o o
o x =6
Thoạt nhìn thấy bài giải rất hợp í và cho đáp án đún ; cách iải này khá nguy hiểm
vì nó thu hẹp miền xác định Kết quả đún chỉ là 1 sự may mắn ngẫu nhiên
2 Điều kiện: {
{ ặ
x > 1 hoặc x < -7 (*)
Phươn trình cho 1 + o
o
o
o o
=
{
hoặc {
x = -13 (**) Kết hợp (*) và (**) thì x = -13 là nghiệm phươn trình
Trang 15Lời bình:
Việc áp dụng công thức o o o làm miền xác định được mở rộng
ra, tuy nhiên tron trường hợp trên không làm thayddooir miền xác định Tuy nhiên nếu áp dụng o o sẽ làm co hẹp miền xác định của phươn trình
3 Điều kiện: { {
Phương trình cho o o
o {
2 hệ pt
(1) {
{ { √
=> x = 3 + √
(2) {
{ {
=> x = 3
Vậy nghiệm của phươn trình à: x = 3 + √ và x = 3
Lời bình:
Cũn như bài trên, n uyên nhân sai ầm của bài này nếu áp dụng o
o , sự co hẹp của miền xác định đã àm mất nghiệm x = 3
4 Điều kiện: o o o
1 3x +2 20 x 6
Phươn trình cho lg (x2 – x + 10) – 1 – lg 4 = lg2( o o
Trang 16 lg
= o
lg
= lg
{
{
{
{ ặ x = 1 hoặc x = 6
So với điều kiện, chỉ có nghiệm x = 1 là thỏa mãn
Lời bình:
Nếu tron bài toán trên, khôn tìm điều kiện phươn trình có n hĩa, vô tình nhận thêm nghiễm = 6, với x= 6 thì o o nên x = 6 là nghiệm ngoại lai của phươn trình
Bài 5:
1 o o x2 – 1 = (7 – x)2 x = -17, x = 3
2 o o (x – 5)2 = 1
x = 6 thỏa mãn điều kiện x > 5
3 Điều kiện: và x 0
Phươn trình cho tươn đươn :
o o o o
[ o ] o o ] o
(1) o 2x +1 = 2-1
Trang 17(2) o o 5 – 2x = (2x +1)2
(3) 5 – 2x = 20
x = , x = ; x = ±2
4 1 + o o (x – 7)|x - 1|=6(x – 1) => x = 13
5 o o o
4|x + 2| = (4 – x).(x +6)