TH CÁC KẾT QUẢ QUEN THUỘC CỦA BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ Kết quả này của anh Popeye Nguyễn sưu tầm.. Mình bổ sung một vài ý và kèm theo chứng minh.. Nếu có gì sai sót các bạn inbox cho mìn
Trang 1TH
CÁC KẾT QUẢ QUEN THUỘC CỦA BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Kết quả này của anh Popeye Nguyễn sưu tầm Mình bổ sung một vài ý và kèm theo chứng minh Nếu có gì sai sót các bạn inbox cho mình qua facebook: Vệ Tâm nhé Cám ơn mọi người.
KẾT QUẢ 1:Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d Điều kiện để hàm số có cực trị là b2− 3ac > 0
và phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số có dạng:
y =
2c
3 −2b
2
9a
x + d − bc
9a
hay∆ = 1
9a
9ay − y
00
2.y
0
Trong đó∆ là phương trình đi qua hai điểm cực trị
Chứng minh Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d:
Ta có: y0 = 3ax2+ 2bx + c và y00 = 6ax + 2b
Ta có: y =
3ax + b 9a
(3ax2+ 2bx + c) +(6ac − 2b
2 ) 9a x +
9ad − bc 9a
⇒ 9ay = y
00
2 .y
0 + Ax + B
Ta không cần quan tâm A và B có dạng gì
Nhập T (x) = 9ay − 1
2y
00 y0 thì ta có: nB = T (0)
A = T (1) − T (0)
KẾT QUẢ 2: Đồ thị hàm số y = ax + b
cx + d có TCĐ là x = −d
c và TCN là y = a
c Đối với đồ thị
y = ax
2 + bx + c
dx + e thì ta có TCĐ là x = −e
d và TCX là y = a
dx +
bd − ae
d 2
Chứng minh
Ta thực hiện phép chia ax2+ bx + c cho dx + e:
Ta có: lim
x→∞
f (x) −
a
dx +
bd − ae
d 2
= lim
x→∞
cd2− bde + ac2
d 2 (dx + e)
= 0
Vậy TCX của đồ thị là: y = a
dx +
bd − ae
d 2
** Cách khác:
Giả sử TCX của đồ thị có dạng y = mx + n
Ta tìmm và n bằng cách:
m = lim
x→∞
f (x)
x
n = lim
x→∞ (f (x) − mx)
Trang 2TH
KẾT QUẢ 3: Tích hai khoảng cách từ một điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số y = ax + b
cx + d đến hai tiệm cận của hàm số đó là một số không đổi Cụ thể số đó là
bc − ad
c 2
Chứng minh
Gọi x0 là hoành độ của điểm M thuộc (C) Ta có:
M
x0;ax0+ b
cx0+ d
Tiệm cận đứng x = −d
c và tiệm cận ngang y = a
c Khi đó tích hai khoảng cách đến hai tiệm cận là:
x0+d
c
.
ax0+ b
cx0+ d − a
c
=
cx0+ d
c .
bc − ad c(cx0+ d)
=
bc − ad
c 2
KẾT QUẢ 4: Cho hàm số y = ax + b
cx + d Khi đó điểm M có hoành độ x = ±1
c
p
|bc − ad| −d
c thuộc đồ thị hàm số là điểm mà tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đồ thị hàm số là nhỏ nhất
Chứng minh Gọi M (
x0;ax0+ b
cx 0 + d
là điểm thuộc đồ thị hàm số
Hai tiệm cận lần lượt có phương trình, TCĐ là x = −d
c và TCN là y = a
c Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là:
x 0 +d
c
+
ax 0 + b
cx0+ d − a
c
=
cx 0 + d c
+
bc − ad c(cx0+ d)
≥ 2
s
bc − ad
c 2
(không đổi) Dấu” = ” xảy ra khi
cx 0 + d c
=
bc − ad c(cx0+ d)
⇔ (cx 0 + d)2 = |bc − ad| ⇔ x 0 = ±1
c
√
bc − da − d
c
KẾT QUẢ 5: Cho đồ thị hàm số y = ax + b
cx + d Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Khi
đó sẽ không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại I
Chứng minh
Ta có TCN là y = a
c và TCĐ là x = −d
c ⇒ I
−d
c;
a c
Và f0(x) tại điểm I không tồn tại nên khi đó sẽ không tồn tại tiếp tuyến của hàm số tại đó
KẾT QUẢ 6: Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại x0 của hàm số y = f (x) (hàm bậc ba và trùng phương ) với đồ thị hàm số y = f (x) có nghiệm kép x = x0
Chứng minh
• Hàm bậc 3 Ta có y = ax3+ bx2+ cx + d
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là:
y = (3ax2+ 2bx + c)(x − x0) + (ax30+ bx20+ cx0+ d)
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và hàm số bậc ba là:
ax3+ bx2+ cx + d = (3ax2+ 2bx + c)(x − x 0 ) + (ax30+ bx20+ cx 0 + d)
⇔ a(x − x 0 )(x2+ xx 0 + x20) + b(x − x 0 )(x + x 0 ) + c(x − x 0 ) = (3ax2+ 2bx + c)(x − x 0 )
⇔ (x − x 0 )(−2ax2+ x(ax 0 − b) + bx 0 + ax20) = 0
⇔ (x − x0)(x − x0)(2ax + ax0+ b) = 0 ⇔ (x − x0)2(2ax + ax0+ b) = 0
• Hàm bậc 4 Ta có y = ax4+ bx3+ cx2+ dx + ecác bạn chứng minh tương tự
KẾT QUẢ 7: Cho hàm số y = ax + b
cx + d Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận đồ thị hàm số,
Trang 3TH
M là một điểm bất kì thuộc đồ thị Tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số cắt hai tiệm cận lần lượt tại A và B Khi đó diện tích tam giác IAB không đổi và bằng 2
bc − ad
c 2
Và điểm M có
hoành độ x = ±1
c
p
|ad − bc| − d
c là điểm thỏa mãn điều kiện chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
Chứng minh Gọi M
x0;ax0+ b
cx0+ d
là điểm thuộc đồ thị hàm số Giao của hai tiệm cận là I
−d
c;
a c
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có dạng∆ : y = ad − bc
(cx0+ d) 2 (x − x0) + ax0+ b
cx0+ d Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −d
c nên A
−d
c;
2bc − ad + acx 0
c(cx0+ d)
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang y = a
c nênB
2cx0+ d
c ;
a c
Ta có: −IA =→
0; 2bc − 2da c(cx0+ d)
và −IB =→
2cx0+ 2d
c ; 0
Ta thấy IA⊥IB nên SIAB = 1
2IA.IB =
1 2
2bc − 2ad c(cx0+ d)
.
2cx0+ 2d c
= 2
bc − ad
c 2
Chu vi ∆IAB là:
PIAB = IA + IB + AB = IA + IB + √
IA 2 + IB 2
Ta có IA + IB ≥ 2 √
IA.IB = 2
s
2
bc − ad
c 2
IA2+ IB2≥ 2IA.IB = 4
bc − ad
c 2
⇒√IA 2 + IB 2 ≥ 2
s
bc − ad
c 2
⇒ PIAB ≥ 2
s
2
bc − ad
c 2
+ 2
s
bc − ad
c 2
Dấu” = ” xảy ra khi
2bc − 2ad c(cx0+ d)
=
2cx0+ 2d c
⇔ x = ±1
c
p
|ad − bc| − d
c
KẾT QUẢ 8: Để đồ thị hàm số y = ax4+ bx2+ c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng thì điều kiện là
ac > 0
ab < 0
b2 = 100
9 ac Chứng minh Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là:
ax4+ bx2+ c = 0 (1) ⇔ at2+ bt + c = 0 (2) (t = x2 ≥ 0)
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt dương ⇒
b2− 4ac > 0
−b
a > 0 c
a > 0
⇒
t 1 = −b −√b2− 4ac
2a
t2 = −b +√b 2 − 4ac
2a
Từ đó ta suy ra 4 nghiệm của phương trình (1) lần lượt là:
x1= −
r
−b +√b 2 − 4ac
2a ; x2 = −
r
−b −√b 2 − 4ac
2a ; x3 =
r
−b −√b 2 − 4ac
2a ; x4 =
r
−b +√b 2 − 4ac
2a
Trang 4TH
Điều kiện để 4 điểm lập thành một cấp số cộng là nx1 + x3= 2x2
x2+ x4= 2x3
Ta chỉ cần một trường hợp là x1+ x3 = 2x2
⇔
r
−b −√b 2 − 4ac
r
−b +√b 2 − 4ac
r
−b −√b 2 − 4ac
2a
⇔ b
a = 2
qc
a − 2
√
b 2 − 4ac a
⇔ 8
a
r
c(b2− 4ac)
3b2
a 2 − 12c
a
⇔ 136acb 2 − 9b 4 − 400a 2 c2 = 0
⇔ (9b 2 − 100ac)(b 2 − 4ac) = 0 ⇔ b 2 = 100
9 ac
BÀI TẬP