Bất đẳng thức phụ bất đẳng thức và cực trị diễn đàn toán học

Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng.. Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ.. Biết c

Trang 1

23/8/2016 Bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức và cực trị Diễn đàn Toán học

Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Bất đẳng thức và cực trị

Trang 1 / 6

Bắt đầu bởi vietfrog, 25102011 20:51

Quyên góp, Tổng hợp,

Phổ biến

vietfrog

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

Trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ở cấp THPT, ta thường bắt gặp các Bất đẳng thức phụ , các

Bổ đề nhỏ

Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng. Nhưng cũng có khi ta băn khoăn không hiểu vì sao lại sử dụng bất đẳng thức phụ đó và đôi khi ta không biết về nó

Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ

Biết càng nhiều Bất đẳng thức phụ xem như ta có thêm nhiều vũ khí, khi cần có thể đem ra dùng để đối phó với các bài toán Bất đẳng thức

Rất mong được mọi người ủng hộ

* Một số yêu cầu nhỏ:

Các Bất đẳng thức phụ đưa ra phải có hình thức ngắn gọn

Cách chứng minh các Bất đẳng thức phụ đó cần rõ ràng, mạch lạc, càng ngắn gọn càng tốt

Mọi người đưa BĐT phụ lên nếu có thể thì chứng minh luôn

Mọi người có thể post nhiều cách chứng minh bổ đề

Topic ứng dụng các BĐT phụ này sẽ được mở sau khi đã có số lượng BĐT phụ phong phú

Hy vọng mọi người tham gia nhiệt tình để tổng hợp thành một tài liệu hay cho VMF

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25102011 22:25

Đã gửi 25102011 20:51

Phổ biến

vietfrog

BĐT 1:

Chứng minh rằng: Với a, b, c > 0 và abc ≤ 1 thì ta luôn có:

a

b

c

b ≥ a + b + c

Chứng minh

Ta có: abc ≤ 1 ⇒ 1

Theo BĐT AMGM ta có:

2a

c

a

c

3

a2

3

√a2 a = 3a(1)

Tương tự ta cũng có được:

2b

a

c ≥ 3b(2);

2c

b

a ≥ 3c(3)

Đã gửi 25102011 21:06

√

Trang 2

Từ (1); (2); (3) ta có đpcm.

vietfrog

BĐT 2:

Với ab ≥ 1 ta luôn có:

1

1 + a2+ 1

1 + b2≥ 2

1 + ab

Chứng minh Biến đổi tương đương:

1

1 + a2+

1

1 + b2 ≥

2

1 + ab

1 + a2−

1

1 + ab +

1

1 + b2−

1

1 + ab ≥ 0

⇔ (a − b)2(ab − 1) (1 + a2)(1 + b2)(1 + ab)≥ 0

Ta có đpcm.

Đã gửi 25102011 21:11

vietfrog

BĐT 3:

Cho a, b ∈ R; n ∈ N∗. Chứng minh rằng:

a + b

2

n

Chứng minh:

Trước tiên ta xét:

Ta có: f′(x) = nx n − 1 − n(c − x) n − 1 ;f′(x) = 0 ⇔ x = c

2. Lập BBT.

n + (c − x) n≥ 2 c

2

n

Chọn x = a; c = a + b ta có:

2

n

⇔ a n + b n

a + b

2

n

BĐT trên là BĐT tổng quát giúp ta dễ nhớ

Từ BĐT trên ta có thể thay n=2,3,4

Sẽ được một số BĐT phụ khá hữu ích. ( cái mà ta muốn nói đến)

Đã gửi 26102011 00:46

( )

Trang 3

a + b

2

3

; a

4+ b4

a + b

2

4

alex_hoang

BĐT4

Cho các số thức dương a, b.CMR

1

4

Chứng minh

Ta thấy

(a + b) 1

1

√ab = 4

Đã gửi 26102011 02:03

( )

hxthanh

Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức:

Với các số thực dương a i , i =

¯

1, n

a1+ a2+ + a n

n

1

a2+ +

1

là BĐT "Trung bình điều hoà" mà

Đã gửi 26102011 19:34

Ispectorgadget

BĐT trên có tên quốc tế là AMHM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means BĐT 5

Với a,b,c dương ta có: (a + b + c) (ab + bc + ac) ≥ 9abc

Chứng minh

Áp dụng BĐT AMGM cho 2 cái ngoặc ta có:

(a + b + c)(ab + ac + bc) ≥ 3√3abc.3√3 a2b2c2= 9abc

Ta có đpcm

BĐT 6:

Cho a,b,c là số thực dương

Ta luôn có a2+ b2+ c2≥ ab + bc + ac

Chứng minh:

2(a2+ b2+ c2) ≥ (2ab + 2bc + 2ac)

Đã gửi 26102011 19:51

Trang 4

(a − b)2+ (b − c)2+ (a − c)2≥ 0 (luôn đúng)

=> BĐT ban đầu đúng

BĐT 7 Với a,b,c dương ta có:ab

bc

ac

b ≥ a + b + c

Chứng minh BĐT tương đương:

c2 ≥ a + b + c

1

Dễ thấy (1) luôn đúng với BĐT AMGM ( hay chính là BĐT số 6 )

BĐT 8:

Cho a,b,c là số thực dương

Ta luôn có:(a + b + c)2≥ 3(ab + bc + ac)

Chứng minh:

VT=a2+ b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2ac Tới đây sử dụng BĐT 6 ta có

VT ≥ 3(ab + bc + ac)

vietfrog

Vào lúc 26 Tháng 10 2011 18:34, hxthanh đã nói:

Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức:

Với các số thực dương a i , i =

¯

1, n

a1+ a2+ + a n

n

1

a1+

1

a2+ +

1

a n

là BĐT "Trung bình điều hoà" mà

@hxthanh : Thưa thầy, ý bạn Hoàng muốn nói tới BĐT AGHM dạng đó. Ta sẽ xét những BĐT phụ thường dùng, nhiều ứng dụng, không nhất thiết phải là BĐT tổng quát

Vào lúc 26 Tháng 10 2011 18:51, Ispectorgadget đã nói:

BĐT trên có tên quốc tế là AMHM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means

Với a,b,c dương ta có: (a + b + c) (ab + bc + ac) ≥ 9abc

ab

c +

bc

a +

ac

b ≥ a + b + c

2 BĐT này chỉ cần sử dụng BĐT AMGM

@spectorgadget : Bạn nên đánh số thứ tự BĐT nhé. Chứng minh 2 BĐT trên không dài dòng lắm nên bạn có thể chứng minh luôn nhé. Theo mình thì mỗi BĐT và cách chứng minh nó nên để ở 1 post. Cảm ơn bạn đã tham gia!

Đã gửi 26102011 20:12

Trang 5

BĐT 8: bất đẳng thức này khá hay và rất nhiều ứng dụng, mọi người nghĩ ra trường hợp tổng quát hơn nữa nha!

Cho a1, a2, , a n là các số dương; m và k là các số nguyên dương, ta có bất đẳng thức sau:

a m + k1 + a m + k2 + + a m + k n ≥ a m1a k2+ a m2a k3+ + a m n a k1 Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức AMGM cho (m+k) số:

ma m + k1 + ka m + k2 ≥ (m + k)a m1a k2 Làm lại tương tự như vậy rồi cộng lại ta được đpcm.

vietfrog

@Ispectorgadget : Bạn nên trình bày cho đẹp hơn chút, để cho nhưng bạn chưa biết có thể dễ dàng đọc được

Các BĐT phụ được đưa ra đều là những BĐT đơn giản, dễ chứng minh nhưng bạn vẫn nên chứng minh ra nhé

Mình đã chứng minh BĐT 5 và 7 phía trên cho bạn

Mong rằng bạn sẽ tiếp tục đóng góp những BĐT phụ hay

@khánh: Khánh có thể nêu một số dạng đơn giản để dễ áp dụng được không? Nêu ngay dưới bài post của Khánh cũng được

Đã gửi 27102011 00:01

HÀ QUỐC ĐẠT

BĐT9,

Với mọi a,b,c>0 ta có(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8

9(a + b + c)(ab + bc + ca)(1)

Chứng minh:

(a + b)(b + c)(c + a) = (ab + bc + ca)(a + b + c) − abc ≥ (ab + bc + ca)(a + b + c) − 1

9(ab + bc + ca)(a + b + c)

=8

9(ab + bc + ca)(a + b + c)

BĐT10,

Cho ab ≥ 0vàa, b, a + b ≥ − 1 ta có:

√1 + a +√1 + b ≥ 1 +√1 + a + b(2)

Chứng minh:

(2) ⇔ 2 + a + b + 2√(1 + a)(1 + b) ≥ 2 + a + b + 2√1 + a + b

⇔ (1 + a)(1 + b) ≥ 1 + a + b ⇔ ab ≥ 0(đúng)

Đã gửi 27102011 12:19

Ispectorgadget

BĐT 11:

Cho x,y 2 là số thực dương ta có

x2+ y2+ z2≥(x + y + z)

2

Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchyschwarz

x2

1 +

y2

1 +

z2

1 ≥

(x + y + z)2

BĐT 12: cho 2 số x,y thực dương ta có (x + y)2≥ (x + y)2− (x − y)2= 4xy

Đã gửi 27102011 14:55

Trang 6

HÀ QUỐC ĐẠT

BĐT12:

Với mọi a,b,c >0 ta có:

a2b2+ b2c2+ c2a2≥(ab + bc + ca)2

3 ≥ abc(a + b + c)(*) Chứng minh:

(*) ⇔ (ab − bc)2+ (bc − ca)2+ (ca − ab)2≥ 0 Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:37

Đã gửi 27102011 22:54

Ispectorgadget

BĐT 13: Với mọi số a,b thực ta có

a4+ b4≥ a3b + b3a

Chứng minh:

BĐT ⇔ a

3(a − b) − b3(a − b) ≥ 0

⇔ (a − b)2(a2+ b2+ ab) ≥ 0 (luôn đúng)

Suy ra BĐT ban đầu đúng

*Các dạng kháca3+ b3≥ ab(a + b)

a5+ b5≥ a2b2(a + b)

Việc chứng minh hoàn toàn tương tự

BĐT 14:Cho a,b thực dương ta có

√2a − 1

Chứng minh:√2a − 1

2a − 1 + 1

Các dạng khác của BĐT này là

3

√3a − 2

Cách chứng minh tương tự sử dụng AMGM 3 số ta có

3

√3a − 2

3a − 2 + 1 + 1

Bổ đề này áp dụng cho một số bài toán khá thú vị do chủ topic không yêu cầu gửi những bài tập áp dụng nên mình không dám gửi

Mà sao không ai góp thêm vậy Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01112011 20:41

Đã gửi 27102011 23:17

vietfrog

BĐT 15:

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2+ b2+ c2+ 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ac)

Chứng minh

Theo nguyên lý Diricle thì luôn tồn tại 2 trong 3 số :(a − 1); (b − 1); (c − 1)cùng dấu.

Giả sử:

(a − 1)(b − 1) ≥ 0

Đã gửi 31102011 00:47

Trang 7

⇔ ab + 1 ≥ a + b

⇔ 2abc + 2ab + 2c ≥ 2(ab + bc + ca)

Ta chứng minh:

a2+ b2+ c2+ 1 ≥ 2ab + 2c

BĐT trên luôn đúng theo BĐT AMGM.

Ispectorgadget

BĐT 16: BĐT này cũng khá quen thuộc

Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác ta có abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(a + c − b)

Chứng minh

a2≥ a2− (b − c)2= (a − b + c)(a + b − c) Cmtt ta có b2≥ (b − a + c)(b + a − c)

c2≥ (c − a + b)(c + b − a) Nhân lại lấy căn suy ra đpcm dấu bằng xảy ra khi a = b = c

@vietfrog: BĐT 16 vẫn đúng với a, b, c là các số dương.

Đã gửi 01112011 23:46

perfectstrong

Một số bổ đề mà mình gom được khi học bđt:

BĐT 17

∀x : 1

1 + x2 ≥ 1 −x

2

Tổng quát hơn chút,

∀x : 1

1

x

2√k

BĐT 18

1 + a3 1 + b3 1 + c3 ≥ (1 + abc)3

a3+ b3+ c3 m3+ n3+ p3 x3+ y3+ z3 ≥ (amn + bny + cpz)3

Đã gửi 02112011 00:03

Trang 8

Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Tài liệu đề thi THPT → Thi TS ĐH →

[Ebook hay] Tổng hợp kiến thức thi THPT Quốc Gia môn toán (2015 về sau)

Bắt đầu bởi firing, 05052015 ebook, tổng hợp, môn toán

1 Trả lời

1388 Views

Hong Y 10102015

Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Tài liệu đề thi THPT → Tài liệu tham

khảo khác → Tổng hợp tài liệu TOÁN theo chuyên đề

Bắt đầu bởi A4 Productions, 11032015 tài liệu, toán, tai lieu, toan và

1 Trả lời

5188 Views

hshdhccjchjcjh 13082015

Toán thi Học sinh giỏi và Olympic → Số học → Các bài toán và vấn đề về Số học →

TỔNG HỢP CÁC BÀI SỐ HỌC VÀ TỔ HỢP TRONG CÁC KÌ OLYMPIC THI

NĂM 20132014

Bắt đầu bởi namcpnh, 24072014 tổng hợp

5 Trả lời

2336 Views

namcpnh 26072014

Toán Trung học Cơ sở → Hình học → BÌNH CHỌN Hình Học Tổng Hợp Lớp 7

Bắt đầu bởi Linda Johnson, 15072014 hinh hoc, tổng hợp

2 Trả lời

569 Views

Linda Johnson 16072014

BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder Mai Duc Khai

Vào lúc 01 Tháng 11 2011 23:15, Ispectorgadget đã nói:

BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder Chứng minh BĐT 18

Sử dụng BĐT AMGM ta có:

a3

3

√ a3+ b3+ c3 x3+ y3+ z3 m3+ n3+ p3

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với (b; y; n) và (c; z; p) rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Đã gửi 02112011 13:09

Ispectorgadget

BĐT 19:

Với a,b,c là 3 số thực dương ta có

a2

b2

c2

a

b

c

a

Chứng minh:

Áp dụng BĐT CauchySchwarz ta có 3(a2

b2

c2

a2) ≥ (

a

b

c

a)

2

Áp dụng BĐT AMGM ta được (a

2

b2

c2

a2) ≥ 3

3(a2

b2

c2

a2)

2≥ 3(a

b

c

a)

2

Từ đây ta có đpcm Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10112011 23:16

Đã gửi 08112011 14:35

Trang 9

Diễn đàn Toán học → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học → Bất đẳng thức và cực trị

Toán Trung học Cơ sở → Đại số →

∡BAC

<90 độ Bắt đầu bởi kuromeomeo, 31102013 hình học, đại số, tổng hợp

0 Trả lời

275 Views

kuromeomeo 31102013

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	363,43 KB