Toán Nâng Cao Tự Luận Và Trắc Nghiệm Đại Số Giải Tích 11 (NXB Đại Học Quốc Gia 2006) Lê Hồng Đức, 256 Trang

Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết Ịiui trắc nghiệm chắc chắn sè chưa phù hợp với hiện trạng giáo due cùa nước ta hài nhiêu lí lo, từ dó dan tới việc không dd

Toán nông cao

Tự LUẬN & TRẮC NGHIỆM

ĐẠI ỉó «GIẢI TÍCH i l

MỞ Đ Ẩ U

từ những nước cỏ nên giáo (hu tiên tiến trớn thê giới hời những ưu (liếm như tính khái lì (/nan, tính han (/nút và tính kinh tể.

Trong thời gian không xa, theo (hu trương (ủa BGD&DT các trường (lọi

lì ọc, cao (lăng và trung học (huyên nghiệp sè (huyên sang hình thức tuyên sinh hằng plĩỉrơng pháp trắc nghiệm Va (lê ( ỏ (lược thời gian (huân bị tốt nhất, các hùi kiêm tra kiến thức trong chương trình THCS ve) TỊỊPT cùng sè

có phân trắc nghiệm (lê các em học sinh làm quen.

Tuy nhiên, việc biên soạn các câu hỏi trắc nghiệm cần tuân thủ một sô

thống kê Ngoài ra, một dề thi môn toán dược chấm hoàn toàn dựa trên kết (Ịiui trắc nghiệm chắc chắn sè chưa phù hợp với hiện trạng giáo due cùa nước ta hài nhiêu lí (lo, từ dó dan tới việc không ddm hảo dược tính khách quan trong việc (tánh giá kết quả học tập của học sinh Để khắc phục nhược diêm này Nhỏm Cự Môn chúng tỏi dề xuất lurớỉìg thực hiện như sau:

1 Với mồi dề thi hoặc dề kiểm tra vần tuân tliít dúng cấu trúc chung và

diem trắc nghiệm không quá 3.5 (Item.

2 Trong những câu hỏi cỏ phần trác nghiệm sè dược hiểu là ' trắc

nghiệm và tự luận" Ở dây, thông thường các em học sinh sè phai

lựa chọn một trong hôn dúp số vù cần biết rằng sổ điểm a của câu hỏi này dược chìa lủm dôi:

diểm cồn lại.

Dây chính là yếu tô dê dâm háo tính khách quan bởi:

1 Với những học sinh chi mồ mẫm dap án hoậc nhận dược nỏ thông

qua những yếu to xung quanh sè chì nhận dược tôi da — dient với xúc suất 25%.

2 Với những học sinh hiến dược nội dung cáu hỏi từ dỏ dinh hướng dược các phép thử bằng tay hoặc hằng máy tính f.x - 570MS chắc chắn sẽ nhún dược — điểm.

2

3 Với nhữììg học sinh khá hơn biển hiện hằng việc hiểu dược nội dung

câu hói và cỏ thể thực hiện dược một phẩn câu hỏi này dưới dạng tự luân sè nhân dươc khoảng a + - = — diêm.

4 Cuối ( ùng với nlìtTng học sinh biết cách thực hiện cáu hỏi dưới dạng

tự luận sè nhận dược a diểm.

3

Dựa trên tư tưởng này, Nhỏm Cự Môn dưới sự phụ trách của Lê Hồng

Đức xin trân trọng giới thiệu tới hạn dọc hộ sách:

TOÁN NÂNG CAO T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM THPT

Bộ sách này sể cung cấp cho hạn đọc một ngán hàng hài tập tự luận và

trắc nghiệm môn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự của chương trình

Toán PTTH hởi vé hình thức hạn đọc sẽ nhận thấy rằng hộ sách này chỉnh là

những cuốn sách giải hài tập của hộ sách Học và Ôn tập Toán (được viết

theo lớp 10,11,12) do NXB Đại học Quốc gia Hù Nội ấn hành.

Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lê Hồng Đức phụ trách

Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà NộiĐiện thoại: (04) 7196671 hoậc 0893046689

E-mail: cumon(5)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(a)yalioo.coin

N H Ó M C ự M Ô N - LÊ HỔ NG ĐỨC

4

Một dãy số thường dược xác dinh bàng một trong các cách:

Cách 2: Dây số xác dinh hỏi một công thức truy hồi, tức lủ:

■ Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

■ Cho cồng thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

Cách 3: Dãy sô xúc dinh hởi một mệnh dề mô tư các số họng liên tiếp của nó.

3 DÃY SỐ ĐƠN DIỆU

Định nghĩa I (Dãy sô túng): Dãy số (u j dược gọi lủ tưng nếu Vn e N*, un < Un+|

Định nghía 2 (Dây số giam): Dây số ịu j dược gọi là giảm nếu Vn 6 N*,un> Un, ị.

II PHƯƠNG PHẤP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VẢ BẢI TẬP

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bàl táp 1 Cho dãy số (u„) với u„ = — —

b Tìm xem — là số hạng thứ mấy của dãy sổ ?

1-Bài tập 2 Cho dãy 5ÌỐ (u„) với u„ n -1

1 1' ——

n +112; 2n; 2n + 1

6

□ U,.

2n-b Tim xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

c Tim xem 1 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

Bài tập 4 Cho dãy sò (un) xác định như sau:

a Tim u4, ux

PHI ONG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bướr 2: (Bước íỊỉty nạp): Gia sử số hạng uk thoả mãn tính chất K Ta di

chửng minh sò hạng ukt| củng thoá mãn tính chất K

BÀI TẬP T ự LUẬNBài tập 6 Cho dãy sô (un) với un = 13" ~ 1 Chứng minh ràng mọi số hạng

của dãy sỏ này đểu chia hết cho 12

Bài tập 7 Cho dãy số (un) xác dịnh như sau:

Uị = u2 = 1u = 2 u (1_2 + un_t, n > 3Chứng minh rằng mọi sỏ hạng của dãy số này đều là sỏ le

Bài tập 8 Cho dãy số(u„) với u„ = 7 "'.Chứng minh rằng u,, > 2n + 5 Vnc N

7

inưtTm: i: uav so - l a p so com: - l a p so nnan

Bài tập 9 Cho dãy sô (un) xác dinh như sau:

u, = 1, u2 = 2,u„ = u„-2+ 2un_1, n > 3 '

Chứng minh rằng un < , Vn e N \

v> /Bài tập 10 * Cho dãy số (un) xác định như sau:

Hướng dần: Vì r là nghiệm kép của phương trình X2 - cx ” d = 0 nên c = 2r và

d = - r \ do đó un có dạng un = 2ru„ _ ị - ru„ - 2

Bàỉ tập 11 * Cho dãy số (u„) xác định như sau:

Uị = a, u2 = b

“ n = c.un_,+d.un 2, n > 3Chứng minh rằng u„ = e,^" + e2r2n với e,, e2 là các hằng số phụ thuộc a, b

và r,, r2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình X2 - cx - d = 0

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách I : Sử dụng biến đổi dại số đế thu gọn và đơn giản biểu thức của un Cúch 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:

công thức cho un

8

|u n = 2un_ị, n > 2

Xác định công thức tính un theo n

□ u„ = 2'w l □ un = 22n~' □ u b= 4"*' □ u„ = 4'" 1.Bài tập 13 Cho dãy số (un) xác định như sau:

h ~ ị -

[ u „ = V 2 + U n - l - n S 2Xác định công thức tính un theo n

u, =5

Xác định công thức tính u„ theo n

a u« = p r • a u n = p r • □ u„ = - - □ u„ =

Bài tập 16 Cho dãy số (u„) xác định như sau:

u, = 1

3

n >2' n - l

Xác định công thức tính u„ theo n

Bài toán 4: Xét tính đơn điệu của một dãy số (u„).

PHƯONt; PIIẢPCHtỉNCỈ

Ta có thê lựa chọn một trong các cách sau:

Củcìì I : Thực hiện theo các hước:

Bước I : " Lập hiệu I ỉ = u„ +1 - UIP từ dó xác dinh dấu của H

■ Nếu H > 0 với Vn c N thì dãy số (u„) tăng

■ Nếu H < 0 với Vn e N thì dày sô (u„) giam

Cách 2: Nếu u„ > 0 với Vn e N" ta có thể thực hiện theo các bước:

Uu

■ Nếu p > 1 với V n e N thì dày sổ (u„) tảng

■ Nếu p < 1 với Vn € N thì dãy sỏ (un) giảm

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bài tập 17 Xét tính đơn điệu cùa các dãy số (u„), biết u„ =

4"

Bài tập 18 Xét tính đơn diệu cúa các dãy sổ (u„), biết u„ = n + sin n

Bài tập 19 Xct tính dơn diệu của các dãy số (u„), biết u„ =

Bài tập 20 Xét tính dơn điệu cùa các dãy sỏ (u„), biết u„

\n3

□ Không tăng, không giám

1 - n

Bài tâp 21 Xét tính dơn điêu cúa các dãy số (u„), biết u„ =

Bài tập 23 Xét tính đơn diệu của dãy số (u„), biết:

|u , = 2u„ = 2u„ I - 1, n > 2

10

Bài tập 24 Xét tính dơn điệu cùa dãy số ( u j , biết:

Bài táp 25 Xét tính đơn diệu của dãy số (un), biết:

a Xét tính đơn điệu của các dày số (un)

b Xét tính dơn diệu của các dày số (S„)

Xét tính đơn diệu của dãy số (un)

Xét tính dơn diệu của dãy số (P„)

■ Nếu 3M e R : un < M, Vn G N* thì (un) bị chặn trên

■ Nêu 3m € R : un > m, Vn e N* thì (un) bị chặn dưới

■ Nếu 3m, M G R : m < un < M, Vn G N thì (u„) bị chặn

Chú ý: Dựa trẽn kết quá:

■ Mọi dãy số ( u n) giảm luôn bị chận trên bởi Uị.

■ Mọi dãy số (un) tâng luôn bị chận dưới bới U|

11

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bài tập 28 Dãy sô' (u„), biết u„ =

□ Không bị chặn trên và dưới

Bài tâp 30.- Dãy sô (u„), biết u„ = n là:

Bài tập 33 Cho dãy sô' (u„) xác định như sau:

u, = 2

u ,,+ 8

un = 111 n >2

2

a Chứng minh rằng (u„) bị chận trên bởi 8

b Chứng minh rằng (u„) tăng Suy ra (u„) bị chặn

Bài tập 34 Cho dãy sô' (u„) xác dịnh như sau:

k = V 2,un =V 2 + Un - |.n ^ 2

a Tìm công thức biểu diễn u„ theo n

a Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bới 1.5.

b Chứng minh rằng (un) bị chận dưới bới 1

III HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố

Bài táp 35 Cho dãy số (u„) xác định như sau:

Bài tập 4 6 sò hạng dáu của dãy là 1; 3; 7; 15: 31: 63 Và u., = 511.

Bài tập 5 Ta có u , = 9; u„ = 549 và không tồn tại số hạng có giá trị hàng 11 Bài tập 6 Ta có:

u,= 1 3 - 1 = 12 => u, : 12

Giả sứ uk : 12, tức là (13k - 1) : 12

Ta di chứng minh Uu i : 12, thật vậy:

uk ) l = 13k t' - 1 = 13k t l - 13k + 13k- 1 = 12 13k + (13k - 1)

suy ra uk, I : 12 bời 12 13k : 12 và (13k - 1) : 12

Vậy, mọi sỏ hạng cùa dãy số (u„) đều chia hốt cho 12

Bài tập 7 Ta có u, = 3 là sô lẻ.

Giả sử công thức đúng với uk lẻ, suy ra uk I lé

Ta di chứng minh uk, I lẻ, thật vậy:

uk 1 1 = 2uk _, + uk là tổng của một số chẩn và một sô lè, nèn uk, I lé Vậy, mọi sô hạng của dãy số này dểu là sô lé

13

Bài tập 10 Bạn đọc làm theo hướng dẫn.

Bài tập 11 Tương tự bài 10.

1 1 I 1 5n2 fl3 ns„ = U| + Ui 4- + u„ = 4- = — -'

Bai táp 18 Ta cổ(un) tang bàng cách lập hiệu:

II = u„ t I u„ = |(n + 1 ) 4 - sin (n 4- 1)] - (n 4- sin n)

= (1 siivn) 4- siiT(n 4 1) > 0.

Bài tâp 19 Không tang, khổng giám

Bài tập 20 l a có(u„) giam bàng cách lập tí sổ hoặc lập hiệu

Bài lập 21 Ta có (u j giâm bầng cách lập tí sỏ lập ti số

Bài tâp 22 Khôn« tang, khỏng giảm

Bài tâp 23 Ta cồ (u„) tăng và có thể trình bày theo hai cách sau:

0/(7/ /: Xét hiệu:

H = u„ I - II, = (2u„ - D - u„ = u„ - l

Ta sẽ đi chứng minh u„ > 1, Vn G N bang quy nạp -

Do dó 11 > 0, lừ dó suv ra dãy (u„) lăng

Xét ti sỏ:

Vậy, dãy (u„) tàng

Bùi tập 24 'Ta có(u„) tàng bằng cách lập hiệu H = u„,, - u„.

Bài tập 25 'l a có (II„) tăng bàng cách lập hiệu H = u„ t I - u„ rồi sứ dụng phương pháp chứng minh quy nạp.

Bài tãp 26 Ta có (u„) giám, (S„) tàng và s„ =

n + 1

15

Ch ươn ti I: IXtv sỏ - Cấp sỏ cónn Cân só nhãn

Bài tạp 27 Ta có (u„) tăng (Pn) giảm và p„ = n + 2

2(n + 1)

Bài tập 28 Viết lại u„ dưới dạng:

u„ = 1 n - — 1

n

> 0 => (u„) bị chặn dtrới bới 0.

Ta thây ngay giá trị của u„ có thế lớn bao nhiêu tuỳ ý, do dó (u„) không bị chặn trên

Vậy, dãy (u„) chi bị chặn dưới

Bài tập 29 Ta có 0 < u„ < — suy ra dãy (u„) bị chặn.

Bài táp 30 Ta có -Ị- < u„ < 1 suv ra dãy (u„) bi chân

C H Ư D E 2

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đ ỊN H NGHĨA

ỉuỳ ỷ, tồn tại sỏ tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì I un - u I < 8

Như vậy:

lim un = u <=> Ve > O, 3N e N : ị un — u I < e với n > N

n -* r

Định lí 1 (Diều kiệĩì cần dê dày sổ cỏ giới hạn): Nếu một dãy sô có giới hạn

thì nó bị chạn.

Định l í 2: (Định lí Vuiơstrat - Điêu kiện dù dê dãy sỏ cố giới hạn):

Định lí 3 : (Tinh duy nhất cua giới hạn )\ Nêu một dãy số có giới hạn thì giới

Định lí 6: (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ha dây sdy^x (bn) và (cn) sao cho a,, < bn < cn

Vn > N,h Nug N 'và lim an = limc.n = A thì lim bM = A

3 limq" = 0, với Iq 1 < 1

17

um m ii LỊ ưav so - l a p Sõ yoniLr u»p M> HMn

tại số tự nhiên N sưo cho với mọi n > N thì un > M.

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI rẬP

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bài toán 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn.

PHƯƠNG PHÁP CIIƯNG

■ ]

sứ dụng dinh lí Vaiơstrat, cụ thể:

■ Một dãy sỏ tâng và bị cnặn trên thì có giới hạn

■ Một dãy sô giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

PHƯƠNG PHÁP CHƯNG

Ta lựa chọn một trong hai cách:

những dãy số mà ta dã biết giới hạn

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆMBài tập 7 Tính các giới hạn sau:

Chưưrni 1: Dàv so - Cap số côm: - Ciíp số nhân

Bài tập 4 Bằng việc chứng minh (un) đơn điệu tăng và bị chặn trên bới 2 (cụ

thể un < 2 — - ) chúng taỶếi luận được dãy số có gi* ri hạn

Theo bất đảng thức Bernoulli ( 1 + a)n > 1 + na, do dó:

Vậy, dãy (u„) có giới hạn

Bài tập 6 Với các kết quả dã biét trong những bài tập trước la có (un) đơn

điệu tăng và bị chặn trên bởi 2 do dó nó có giới hạn

2 * " 2 4—2

2n -1n2 y = lim 1 = 1.n /

CHU ĐE 3CẤP SỐ CỘNG

Câu hỏi thường dirợc đặt ra là:

" Cho ha sô'li' h, < lập thành (úp sỏ CỘỈÌỈỊ, chĩhìg minh tính chất K "

khi dó, ta thực hiện theo các bước sau:

a + c = 2bhoặc biểu thức tương dương a - b ~ b - c = - (a ~ c)

24

BÀI TẬP TỤ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆMBài láp I Cho ba số a b, c lập thành một cấp sô cộng Chứng minh rằng:

a2 + 8bc = (2b + c)-\

Bài táp 2 Cho (a„) là môt cấp số cộng Chứng minh rằng:

a a, + a„ = ak + a„ k, I, với k = 1.2 n.

b (q r)a,, + (r - p)a„ + (p - q)a, = 0

a /a _ I + / a 7*1 4 7*7với a, > 0 , 1 = l ,n

Bài tập 3 Cho (an) là một cáp sò cộng Hỏi các dãy sỏ sau có phải là cấp sỏ cộng không ?

— , với p là sô thưc tuỳ ý

Ị Bài toán 2: Chứng minh ha sỏ lập thành một cấp số cộng

PHƯƠNG PHÁP CIIUNG

Đè chứng minh ba sô a, b, c lập thành cấp sỏ cộng, ta di chứng minh:

a + c = 2b hoặc a b = b ~ c

BÀI TẬP T ự LUẬNBài tập 5 Cho ba số a \ b2, c2 lập thành một cấp sô cộng có công sai khác 0.Chứng minh ràng ba số —-— , —— , —— cũng lập thành một cấp sỏ cộng

'b + c c + a a + bBài tập 6 Cho ba số dương a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng ininh

ráng ba sỏ ~J= Ỵ=r, — J= , -~ỴZ - Y= cũng lập thanh m M câp số cộng

vb + VC V c + v a v a + v b

25

I Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số để ba số lập thành một cấp số cộng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Đế ba số a, b, c lập thành cáp số cộng, điều kiện là:

a + c = 2b, bài toán được chuyển về việc giải phương trình.

Chú ý: Với bài toán "Tìm điều kiện cùa tham số (tể phưcmg trình cổ ( úc

có 3 nghiệm phân biệt x„ x2, X , Chứng minh rằng 3 nghiệm đó lập thành cấp

số cộng khi và chỉ khi 2a’ - 9ab + 27c = 0.

Bài tập 10 Xác định m đê các phương trình sau có các nghiệm lập thành một cấp sỏ cộng:

Bài toán 4: Tìm các phần từ của một cấp số cộng (u„).

PHƯƠNG PHÁP CHƯNG

Thông thường bài toán được chuyên về xác định U| và công sai d.

BẢI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tap 11 Cho cấp sô' cộng (un) thoả mãn u, - u, + u< = 10 và u4 + uf, = 26 Tìm sỏ hạng đâu tiên và công sai

□ u, = 1 và d = 3 □ u, = -1 và d = -3.

□ u, = -1 và d = 3 □ U| = l v à d = -3

hạng đáu tiên và công sai

Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng của một cấp số cộng

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 15 Tính tổng sau;

III HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố

Bài tập 1 Sử dụng điều kiện 2b = a + c

Bài tập 9 Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ ta thực hiện như sau:

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm nhân biệt thành cấp sô

v i m w i i i I ịVCTT >%» - VUI* > 1 * VIUIU - Viiu M> nnan

Bài tập 10.

a Sử dụng phương pháp diều kiện cần và đủ ta thực hiện như sau:

■ u là số hạng đầu tiên.

■ q là còng bội

Dậc biệt khi q = 1 thì (u„) là dãy sỏ trong đó tất cả các sô hạng đểu bàng nhau

2 C Á C T ÍN H C H Ấ T

■ Sô’ hạng thứ n được cho bới cóng thức u„ = U|.q"

* u„, u„ +1, u„ 1 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp sô nhân (u„) ncu:

khi đó, ta thực hiên theo các bước sau:

X mn.jp ■ L/HT >\> - v.rtM MI UHIU - c,ap so nnan

Bài tập 2 Cho cấp số nhân (an) Có thể (a„) cũng lập thành một cấp sỏ cộng

□ Không là cấp sô nhân

Bàỉ tập 4 Cho (an) là một cấp số nhân với cóng bội q * 1 và a, * 0 Hỏi các

dãy số sau có phải là cấp số nhân không ?

a (an + p), với p là số thực tuỳ ý

Để ba sô' a, b, c lập thành cấp sô' nhân, điều kiện là:

ac = b2, bài toán dược chuyên về việc giải phương trình

32

BÀI TẬ p T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Thông thường bài toán được chuyển về xác định u, và công bội q

BÀI TẬP T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 11 Tim số hạng dáu tiên và công bội cùa cắp sô nhân (un) thoà mãn

Bài tập 12 Cho cấp số nhân (un) thoả mãn u4 - u2 = 12 và u4 - u, = 24

a Tim sô hạng dáu tiên .à c ô n g bội.

m ư ợ n lĩ I: UIV s» - l ỊỊfi NO coni; - c a o so nnan

b Tính tổng sô' của 10 số hạng đầu tiên

Bài tập 15 Cho ba sỏ' khác nhau lập thành một cấp sô cộng, bình phương của

các sô' ấy lập thành một cấp số nhân Ttm ba số' đó

Bài toán 5: Tính tổng.

PHƯƠNG PHÁP CHUN«

Thông thường bài toán được chuyển vể tính tổn;, cùa một cấp sô' nhân

BÀI TẬP TỤ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM Bài tập 16 Tính tổng sau:

+ 100.3W

1

□ ^ (199.3"" + 1)( 199.3""+ 1)

III HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP s ố

Bài tập 1 Với ba số a, b, c lập thành một cấp sô nhân ta được b’ = ac.

Bài tập 5 Với ba sô' a, b, c lập thành một cấp sỏ' nhân ta dược b2 = ac.

Khi đó:

( -v/ab + bc + ca )2 = ạb + bc + ca = ab + bc + b2 = b(a + b + c)

- V b '( a + b + c)= Vb2.b (a + b + c )= Vãbc(a + b + c)

co ba số Vabc , Vab + bc + ca , a + b + c lập thành một cấp sò nhân

Bài tập 6 Biến đổi biêu thức:

(a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2 co a2c2 + b4 = 2ab2c co (ac - b2)2 = 0

co b2 = ac co ba sô a, b, c lập thành một cấp số nhân

Bài tập 7 X = 2, X = -8.

Bài tập 8 Ta |ần lượt sử dụng các giả thiết:

a Các số 5x - y, 2x + 3y, X + 2y lập thành một cấp số cộng, suy ra:

b Các số (y + 1 )2, xy + 1, (x - l)2 lập thành một cấp số nhân, suy ra:

(y + l)2(x - l)2 = (xy + l)2 co (y + i)(x - i) = ±(xy + 1)

■ Với (y + l)(x - 1) = (xy + 1), ta dược:

(y + l)(2x - 2) = (2xy + 2) co (y + 1 )(5y - 2) = (5y2 + 2)

<=>3y-4 = 0<=>y = — =o X = —

Với (y + 1 )(x - 1 ) = - (xy + 1 ), ta dược:

(y + 1 )(2x - 2) = - (2xy + 2) co (y + l)(5y - 2) = - (5y2 + 2)

3

Bài tập 9 Để ba số X + a, X + b, X + c lập thành một cấp số nhân điều kiện là:

a - 2b + c * 0(x + a)(x + c) = (x + b)2 co (a - 2b + c)x = b2 - ac co •

Bài tâp 12 u, = 2 và q = 2; s = 2046; S’ = 4680

Bài táp 13 Uị = 1 và q = 3 hoặc Uị = 243 và q = —

Bài táp 14 Gọi q * 0 là công bội của cấp số nhân (un), ta có:

I u 2 + u 4 =10

Ị U ! + u,' + us =-21 <=>

u,.q(l + q2) = 10 u,.(l + q 2 + q4 ) = -21

CHƯƠNG II

G l d l HẠN CỦA HẰM s ố

CHỦ ĐỂ 1ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 ĐINH NGHĨA

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xúc dinh trên một khoảng K, có thê trừ ở

một diểm Xịị € K.

Sô I dược gọi lủ giới hạn của hàm số f(x) khi X tiến tới X(, khi với mọi sô

dưctng e tu V V tồn tai một sô dương ssao cho Ix - X0I < ô thì lf(x) - /I < z h

lim f(x) = / <=> Ve > 0, 3Ỏ > 0 : I X — xf, I < ỗ ta có I f(x) - / 1 <6

Định nghĩa 2: (Định nghĩa giới hạn của hàm sô hằng giới hạn của dãy số) :

lim f(x) = / <=> Với mọi dãy {xn} —> x<) ta có f(xn) ——■ —► /

lim —— = - , với lim g(x) * 0.

« -«« g(x) lim g(x)

fix) <g(x) <h(x) và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L.

2 Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x0 thì lim f(x) = f(x,i)

lim f(x) = a o V e> 0 ,38 > 0 :0<X - x,,<5 thì |f(x )-a | <8.

Đ ịn h l í 4 :Điểu kiện cần và đủ để lim f(x)= alà lim f(x)= lim f(x)=a.

Đ ịn h l í 6: ( N guyên lí kẹp giữa): C h o ha liàm g(x) h(x) sa o

f lx ) < g (x ) < h(x)và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L.

6 GIỚI HẠN VÔ c ự c

Đ ịn h n g h ĩa 6 : T a c ó :

• lim f(x) = co <=> Vc > 0, 3Ỗ > 0: IX - x j < ồ ta có I f(x) I > c.

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬP

Ta thực hiện theo các bước sau: