Dùng Phương tích trong bài toán tứ giác nội tiếp - Thầy Quang Baby

PHƯƠNG TÍCH – HÌNH OXY Dẫn nhập : Trong một số bài toán việc chứng minh một tứ giác nội tiếp khó khăn khi sử dụng phương pháp 2 góc cùng nhìn một cung , 2 góc đối nhau , góc ngoài tứ giá

PHƯƠNG TÍCH – HÌNH OXY

Dẫn nhập : Trong một số bài toán việc chứng minh một tứ giác nội tiếp khó khăn khi sử dụng phương pháp (2 góc cùng nhìn một cung , 2 góc đối nhau , góc ngoài tứ giác nội tiếp ) người ta thường dùng đến phương tích như sau :

Tứ giác CDHM nội tiếp khi : IH.ID = IM.IC

Ngược lại , nếu có IH.ID = IM.IC thì tứ giác CDHM nội tiếp

BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC ) Đường tròn (Q;R) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F,E; BE cắt CF tại H Vẽ HD vuông góc với BC tại D Gọi K là giao điểm của EF và AH I là trung điểm của AH, IC cắt đường tròn (Q) tại M khác C Cho I(1,2), C(0,1), biết S(4,3) thuộc đường thẳng KM Tìm tọa độ điểm B biết nó thuộc đường tròn (x+2)2 + (y+2)2 = 9 và yB nguyên

Đ/S: B(-2,5)

Tính chất : B, K, M thẳng hang

Chứng minh công thức phương tích IE 2 = IM.IC = IH.ID

Tam giác IEM đồng dạng ICE suy ra IE2 = IM.IC

Tương tự IE2 = IH.ID

Do đó IM.IC = IH.ID

DÙNG PHƯƠNG TÍCH XỬ LÝ CÁC BÀI TOÁN TỨ

GIÁC NỘI TIẾP THẦY QUANG BABY : Face Mẫn Ngọc Quang

Chứng minh IE là tiếp tuyến E1 = A2 ; E2 = C2

Lại có C2 + A1 = 900 suy ra E1 + E2 = 900 do đó IEO= 900

Ta chứng minh B, K, M thẳng hàng bằng tiên đề Ơ-clit:

BM IC (M chắn nửa đường tròn)

KMIC ( khó hơn cả)

KMICKMCD nội tiếp  IM.IC = IK.ID (sẽ chứng minh sau đây)

Cần chứng minh IE2 = IK.ID

Đã có IE2 = IM.IC

Cần chứng minh IEK đồng dạng IDE Tứ giác DCEK nội tiếp  D1 = C1 = E1

Bài 2: Cho đường tròn (C1) tâm K dây AB Điểm M thuộc cung lớn AB Vẽ đường tròn (C2) qua M, nhận AB là tiếp tuyến tại A(-1,-2), E(0, 1

2

 ) là trung điểm AB; ME giao (C2) tại N, đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN có tâm I thuộc đường thẳng x+3y-1=0 Viết phương trình đường tròn tâm I

Cách 2: dùng phương tích

Xét E nằm ngoài đường tròn (C2), tính chất phương tích có AE2 = EM.EN lại

có EB = EA  BE2 = EM.EN EB là tiếp tuyến của đường tròn tâm I

Bài 3: Cho (Q,R) đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi, CDAB Các tia BC, BD cắt các tiếp tuyến của (Q) tại A lần lượt ở E, F đường tròn qua

3 điểm Q, D, F và đường tròn đi qua 3 điểm Q, E, C cắt nhau ở G (khác Q) Biết Q(1,2), D(4 17,

5 5 ), K(5,-2) thuộc GA, BQ Tìm A, B

Ta có BQCQCBEFB  DCEF là tứ giác nội tiếp  BC.BE=BD.BF

Gọi M là giao của BA và (QCE)  QCEM là tứ giác nội tiếp

 BQ.BM=BC.BE=BD.BF QDFM là tứ giác nội tiếp M(QDF)

MG G,A,Q,B thẳng hàng

AB qua K(5,-2) và Q(1,2)  AB: x+y-3=0

1 7

( , )

5 5

QD 

 (Q,QA): (x-1)2 + (y-2)2 = 2

Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:

3 0

x y

  

   







Do A nằm giữa K và Q A(2,1)  B(0,3)

Bài 4: (Thpt - Tình Gia) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Trên hai đoạn thẳng AB, AC lần lượt lấy hai điểm E, D sao cho ABD ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB cắt tia CE tại M(1;0) và N(2;1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD tại I(1;2) và K Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK

Đáp số (x-1)2 + (y-1)2 = 1

Theo giả thiết ABD ACE , suy ra BCDE là tứ giác nội tiếp

Gọi H là giao điểm của BD và CE

Do BEH đồng dạng CDH nên HD.HB= HE.HC

Do HBN đồng dạng với HMD nên HD.HB= HM.HN

Do HIE đồng dạng với HCK nên HEHC = HI.HK

Do đó HM.HN = HI.HK suy ra IHN đồng dạng với MHK nên NIH KHM

 NIMK là tứ giác nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNI cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNK, có pt (x-1)2 + (y-1)2 = 1

Cách 2 : Học sinh có thể sử dụng phương tích trong bài toán này

Bài 5: Cho đường tròn tâm I, dây CD cố định, điểm M thuộc tia đối của tia CD Qua

M ta kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn, A thuộc cung lớn nối IM cắt AB tại H biết AB: 2x+y-1=0, điểm N(2, 1

2

 ) thuộc đường thẳng HC, điểm D(0,3) Tìm tọa độ

điểm H

Tính chất: BH là đường phân giác của CHD

Chứng minh:

Ta có MC.MD=MA2, trong tam giác vuông IAM có MA2=MH.MI

 MH.MI = MC.MD

Tứ giác CDIH nội tiếp

Ta đi chứng minh H1 = H2 (do IM vuông góc AC)

Góc D3= C3 = H3= H3* ( D3= C3 do ICD cân tại I, H3= H3* là góc ngoài, C3 = H3 vì cùng chắn cung DI)

Do góc H1+H3=900, H2+H3*=900 nên H1= H2

Tính toán: từ việc AB là phân giác góc DHC ta lấy điểm D’ đối xứng với D qua AB như sau: phương trình (d) qua D vuông góc AB: 1.(x-0) – 2.(y-3)=0 x-2y+6=0 Tìm ra giao điểm (d) và AB: K(4 135 5, )D’(8 115 5, )

Phương trình CH qua N, D’ là -8x+6y+19=0

Vậy tìm ra H=AB giao CH: H(54,32)

Cách 2: phương tích

MA2=MH.MI

MC.MD=MA2

 MH.MI = MC.MD

Tứ giác CDIH nội tiếp

Dùng như trên …

HB là phân giác của góc CHD

Tính toán:

Lấy D’ đối xứng với D qua AB

Viết phương trình CH qua N, D’

THÊM BÀI NỮA :

Bài 6:

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1738323453078960&set=a.17316033970 84299.1073741829.100007039652223&type=3&theater

Bài 7 :

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1736983763212929&set=a.17316033970 84299.1073741829.100007039652223&type=3&theater

Thayquang.edu.vn Page 7