CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG - THẦY QUANG BABY - TIẾT 5

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG KỸ THUẬT TRÙNG TIA GÓC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1: Cho đường tròn O;R.. Đường phân giác của góc OCB cắt OB tại E.. Kẻ đường phân giác ngoài tại đỉnh B của tam

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG

KỸ THUẬT TRÙNG TIA (GÓC)

BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1:

Cho đường tròn (O;R) Từ điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 2R, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm, OA cắt BC tại H Đường phân giác của góc OCB cắt

OB tại E Kẻ đường phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác OBC, cắt tia CO tại F Chứng minh rằng ba điểm H, E, F thẳng hàng

Lời giải:

 0

1

2 2

    

KHÓA HỌC HÌNH OXY TRÊN SCHOOLBUS.VN – BUỔI 10

(CHỦ NHẬT HÀNG TUẦN LÚC 22H )

AB, AC là các tiếp tuyến của (O)  AOBAOC

Do đó:   0

Ta có: F là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc H của tam giác OBH => HF là tia phân giác của góc OHB

Ta còn có: EO OC

EB  BC ( CE là tia phân giác của góc OCB)

2 2

OH  HB nên EO OH

EB  HB

Từ đó cho ta HE là đường phân giác của tam giác OBH

Vậy ba điểm H, E, F thẳng hàng

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD Vẽ BH vuông góc với AD tại H, CK vuông góc với AE tai K gọi N là giao điểm của BH và CK Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC, ABC ACB

Mà   0

180

Do đó ABD ACE

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

AB = AC (gt), BD = CE (gt), ABD ACE

Do đó: ABDACE c g c( )BADCAE

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC, BM = CM ( M là trung điểm BC, AM (cạnh chung))

Do đó ABM ACM c g c( )BAMCAM

Ta có: DAM BADBAM CAECAM EAM

=> AM là tia phân giác của góc DAE (1)

Xét  0

( 90 )

HAB AHB 

( 90 )

KAC AKC 

 có AB = AC, BAH CAK

Do đó HABKAC (cạnh huyền – góc nhọn) => AH = AK

Xét  0

( 90 )

HAN AHN 

( 90 )

KAN AKN 

 có: AN (cạnh chung), AH = AK

Do đó HAN KAN(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó HAN KAN ANlà tia phân giác của góc DAE (2)

Từ (1) và (2) có hai tia AM,AN trùng nhau

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng

Bài 3:

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Vẽ CI vuông góc với OA tại I Gọi M là trung điểm BC

Chứng minh rằng ba điểm M, I, F thẳng hàng

Lời giải:

OB = OC (= R) => tam giác OBC cân tại O

Tam giác OBC cân tại O, OM là đường trung tuyến

=> OM là đường cao, đường phân giác

Nên   1

2

BAC MOC BOC

 

Ta có:     0

90

Nên ACF OCM

Tứ giác OMIC có :   0

90

OMC OIC nên nội tiếp

Tứ giác AFIC có :   0

AFC  AIC 90 nên nội tiếp

AIF ACF

 

Do vậy AIF OIM

=> Hai tia IM, IF trùng nhau

Vậy ba điểm M, I, F thẳng hàng

Bài 4:

Cô hình vuông ABCD Trên tia đối của tia CB lấy E, trên tia đối của tia DA lấy F sao cho À =

BE Vẽ EH BFtại H Trên tia đối của tia EH lấy điểm K sao cho EK = BF

Chứng minh rằng ba điểm A, C, K thẳng hàng

Lời giải:

Vẽ KM  AB tại M

Gọi N là giao điểm của EF và KM

Tứ giác ABEF có:

BE // AF, BE = AF nên là hình bình hành

Mà BAF900 Do đó tứ giác ABEF là hình chữ nhật





0

0

F 90

90

BE

BEN



 

Tứ giác BMNE có    0

90

 Tứ giác BMNE là hình chữ nhật

  0

90

MNE 

  0

90

ENK 

Xét tam giác EBF  0

EF 90

B  và tam giác NEK  0

90

EBF NEK (cùng phụ với goác BEH)

Do đó EBF NEK(cạnh huyền – góc nhọn) => BE = EN, EF = NK

Hình chữ nhật BMNE có BE = EN

 Tứ giác BMNE là hình vuông

 MB = MN

Mặt khác AB = NK (= EF) Ta có MA = MB + AB = MN + NK = M

Tam giác MAK vuông tại M có MA = MK

 tam giác MAK vuông cân tại M

 MAK 450 (1)

Mặt khác  0

45

Từ (1), (2) có hai tia Ac, AK trùng nhau

Vậy ba điểm A, C, K thẳng hàng