CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG Nội dung phương pháp : Qua một điểm A ta chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc song song với một đường thẳng cho trước.. Hướng đi : Chứng minh AK vu
Trang 1CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
Nội dung phương pháp : Qua một điểm A ta chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc (song song) với một đường thẳng cho trước
Trường hợp 1 : Muốn chứng minh A,B,C thẳng hang , ta tìm các chứng minh AB vuông góc
d và AC vuông góc d
Trường hợp 2 : Muốn chứng minh D,E,F thẳng hàng , ta tìm cách chứng minh DE , DF song
song với d’
Bài 1:
Cho tam giác nhon ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Đường tròn đường kính BH cắt BC ở K (K khác B) Chứng minh răng 3 điểm A,H , K thẳng hàng
Gợi ý: Từ đường tròn đường kính HB giúp có được KH BC
Mặt khác có H là trực tâm của tam giác ABC nên AH BC
Lời giải:
THẦY QUANG BABY
Trang 2Hướng đi : Chứng minh AK vuông góc BC , HK vuông góc BC
+)Đường tròn đường kính BH cắt BC ở K
KBH
vuông tại K
KH BC
+)Tam giác ABC có BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại H(gt)
H là trực tâm của tam giác ABC
AH BC
Ta có AH BC KH, BC
Vậy 3 điểm A, H, K thẳng hàng
Bài 2:
Cho hình vuông ABCD I là điểm trên cạnh BC, vẽ BE vuông góc với DI tại E, BE cắt CD ở F Gọi K là giao điểm của AE và BD Chứng minh rằng 3 điêm F, I, K thẳng hàng
Gợi ý: Dễ thấy các tứ giác nội tiếp IEFC, BECD nên có được tứ giác BKIF nội tiếp, do vậy
90
DKI BCI IK BD Hơn nữa có I là trực tâm của tam giác BDF nên IFBD
Lời giải:
Hướng đi : Chứng minh FI và IK vuông góc với BD
Trang 3+)Chứng minh IK vuông góc BD : Tứ giác IEFC nội tiếp EIF ECF
Tứ giác BECD có 0
90
Tứ giác BECD nội tiếp
Ta có EIF KBE( ECF)
Tứ giác BKIE nội tiếp 0
90
+) Chứng minh FI vuông góc BD :
Tam giác BDF có DE, BC là hai đường cao cắt nhau tại I => I là trực tâm của tam giác BDF =>
FI là đường cao của tam giác BDE FI BD
Ta có IK BD FI, BD
Vậy F, I, K thẳng hàng
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông can tại A, đường trung tuyến BM Trên cạnh BC lấy điểm B sao cho
BD = 2DC Đường thẳng qua M vuông góc với BD cắt đường thẳng qua B vuông góc với MD ở E.Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng
Lời giải:
Hướng đi : Chứng minh AD vuông góc BM , và DE vuông góc BM
+)Chứng minh AD vuông góc DM :
Trang 4Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F
Xét tam giác BCF có CF // AD 2
AF
AB BD CD
Ta có AB = AC ,
2
AC
AM MC , Do đó AM = AF
Do đó ABM ACE c g c( ): AB = AC, 0
AF( 90 )
BAM C , AM = AF
90
ABM ACF ABM ACF
ABM BAD ACF AFC
Do đó BM AD
+)Chứng minh DE vuông góc BM :
Tam giác BME có BD, MD là hai đường cao cắt nhau tại D
(BDME MD, BE)D là trực tâm của tam giác BME
BM DE
Kết luận : Ta có ADBM DE, BM
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng
Bài 4:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R) Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm) K là điểm bất kỳ trên cung BC Tiếp tuyến tại K cắt AB, AC lần lượt tại M, N
BC cắt OM, ON lần lượt ở P, Q Gọi I là giao điểm của MQ và NP
Chứng minh rằng O, I, K thẳng hàng
Lời giải:
Trang 5Hướng đi : Chứng minh OI và OK vuông góc với MN :
+)OK vuông góc MN đã có :
+)OI vuông góc MN (Qua việc chứng minh I là trực tâm tam giác MNO)
MB, MK là cá tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)
OM là tia phân giác của góc KOB
2
MOK BOK
Tương tự 1
2
KON KOC
MON MOK KON BOC MBQ BOC s BC
tứ giác MBOQ nội tiếp
90
MQ ON
Tương tự NPOM Do đó I là trực tâm của tam giác OMN
OI là đường cao của tam giác OMN
OI MN
Vậy O, I, K thẳng hàng
CHÚ Ý : CÁC BÀI TOÁN NÀY ĐÃ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG BUỔI HỌC HÌNH TRÊN
SCHOOLBUS.VN (TÊN BUỔI HỌC : CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG TIÊN ĐỀ OCLIT)
Trang 6BÀI TOÁN OXY ÁP DỤNG – TƯ DUY TÍCH CỰC ĐỂ NẮM TRỌN PHƯƠNG PHÁP
Bài 1 : Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (Q,R) đường kính BC cắt AB , AC lần
lượt tại F,E BE cắt CF tại H vẽ HD vuông góc với BC tại D Gọi K là giao điểm của EF và AH
I là trung điểm của AH , IC cắt đường tròn (Q) tại M khác C Biết rằng AK vuông góc với
đường thẳng (d) : x – 2y + 10 = 0 Điểm S(5,4) thuộc đường thẳng BC Đường tròn (Q) có phương trình : (x +1)2 + (y – 1)2 = 5 Tìm tọa độ điểm B,C
ĐS : B(1,2) , C(-3,0) và ngược lại
Bài 2 : Trên đường tròn (E) đường kính AB Lấy điểm C sao cho AC < BC Tiếp tuyến tại A
của (E) cắt BC tại D Vẽ EH vuông góc với AC tại I DH cắt AC tại K , IK cắt EH tại M Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (E) cắt nhau tại N Cho điểm A thuộc đường tròn
(x2) (y3) , Phương trình đường thẳng điểm K(2,3) thuộc đường thẳng MN , Biết MN 5 vuông góc với đường thẳng : ( ) :d x2y 5 0.Biết điểm B(0,1) Viết phương trình (E)
DS : A(1,1) hoặc A(3,5) hs tự viết phương trình đường tròn
Bài 3 : Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) Đường tròn (Q,R) đường kính BC cắt AB , AC lần
lượt tại F,E BE cắt CF tại H vẽ HD vuông góc với BC tại D Gọi K là giao điểm của EF và AH
I là trung điểm của AH , IC cắt đường tròn (Q) tại M khác C Cho I(1,2) , C(0,-1) , Biết S(4,3) thuộc đường thẳng KM Tìm điểm B biết nó thuộc đường tròn (x+2)2 + (y-2)2 = 9 yB nguyên
ĐS : B(-2,5)
Trang 7
HÌNH THAM KHẢO CÁC BÀI TOÁN :
Bài 1 :
Bài 2 - Bài 3 :
