Chứng minh 3 điểm thẳng hàng qua 2 góc kề bù nhau

Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BAD vuông cân tại B, tam giác CAE vuông cân tại C.. Chứng minh rằng ba điểm D, F, E thẳng hàng.. Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng... Về p

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BAD vuông

cân tại B, tam giác CAE vuông cân tại C Chứng minh rằng ba điểm D, A , E thẳng hàng

Chứng minh

Ta có  BAD vuông cân tại B (gt) BAD 450

 CAE vuông cân tại C CAE 450

45 90 45 180

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có  0

20

B vẽ tia Ax, Cy sao cho  0  0

20 , 130

CAx ACy Gọi D là giao điểm của hai tia Ax, Cy Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A vẽ tam giác BDK cân tại B có  0

50

minh rằng ba điểm A, B, K thẳng hàng

Chứng minh

Từ đó có    0

20

30

30

  (c.g.c)ABDBABDcân tại B

Mặt khác BDK cân tại B (gt) nên   0

50

DBK   BKDBDK  Ta có    0 0 0

100 80 180

Vậy ba điểm A, B, K thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC Qua C vẽ đường

thẳng d song song với AB Trên đường thẳng d lấy điểm F sao cho D và F cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC và CF = BD Chứng minh rằng ba điểm D, F, E thẳng hàng

Chứng minh

Ta có CF = BD (gt)

BD = AD (D là trung điểm của AB )

Xét EAD và ECFcó:

AE = CE ( E là trung điểm của AC )

EADECF ( so le trong và d //AB )

AD = CF

180

Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng

B ài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy

điểm E sao cho BD = CE Goi I là trung điểm của đoạn DE Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng

Chứng minh

Qua D vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M

Ta có DMBACB ( đồng vị và DM // AC )

DBM ACB ( ABCcân tai A )

Nên DMBDBM DBMcân tại DBDMD Mà BD = CE (gt) Do đó MD = CE

Xét IDM và IEC có:

ID = IE ( vì I là trung điểm của DE)

IDM IEC ( so le trong và DM // CE)

MD = CE

 IDM = IEC  DIM IEC

180

 3 điểm B, I, C thẳng hàng

Bài 5 : Cho ABC Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A Vẽ AH vuông góc với BC tại H Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE Chứng minh rằng 3 điểm

M, A, H thẳng hàng

Chứng minh

AB = AD (ABCvuông cân tại A)

BAH NDA( cùng với góc DAN)

Do đó HAB = NDA (cạnh huyền - góc nhọn)

Tương tự: KAE = HCA(cạnh huyền - góc nhọn)  KE = AH

Ta có: DN = KE = AH

KE  AH, DN  AH  KE // DN

 NDM KEM

Xét M DN' và M EK' có

DN = KE

Do đó M DN' = M EK' (g.c.g)  M’D = M’E

M là trung điểm của DE nên M  M’

Vậy 3 điểm A, M, H thẳng hàng

Bài 6 : cho hình vuông ABCD và tam giác đều CED bên trong hình vuông và tam giác đều

BCF bên ngoài hình vuông Chứng minh rằng 3 điểm A, E, F thẳng hàng

Chứng minh

CED

 đều (gt) CD = DE = CE

BCF

 đều (gt) BC = CF = BF

Nên CE = CF

Mặt khác có      0

90

CEF

 vuông cân tại C  CEF 450

Mà

 900

ADC



60

30

ADE 

ADE

 có AD = DE (= CD)

ADE cân tại D

(180 ) : 2 (180 30 ) : 2 75

75 60 45 180

Vậy 3 điểm A, E, F thẳng hàng

Bài 7 : Cho tứ giác ABCD có   0

90

AC Vẽ AM  BC tại M, AN  BD tại N, AK 

CD tại K Chứng minh rằng 3 điểm M, N, K thẳng hàng

Chứng minh

Gọi S là trung điểm của AD Gọi Sx là tia đối của tia SK

NAD

 vuông tại N, NS là đường trung tuyến (gt)  SN = SA = SD

Tương tự SA = SK = SD

SAK

 cân tại S KSD2 ADK

SNK

 cân tại S NSx2SNK

SND

 cân tại S NSA2SND

Nên ASx NSxASN2( NSKSND)2DNK

Mà ASxKSD (đối đỉnh)

Do đó NDK KAD

Chứng minh tương tự MABMNB

Mà MABKAD MNB DNK

180

Vậy 3 điểm M, N, K thẳng hàng

Bài 8 : cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tạ H Gọi K là điểm đối

xứng của điểm E qua BC Chứng minh rằng 3 điểm F, D, K thẳng hàng

Chứng minh

DAB chung

ADBCFB= 900

Do đó ADB ~ CFB(g.g)

 BA BD

Xét BDF và BACcó



DBF chung

BA  BC(vì

Do đó BDF ~ BAC(g.g)  BDFBAC

Chứng minh tương tự ta có CDEBAC

Nên BDFCDE mà     0

( 90 )

Nên  ADFADE

DC là đường trung trực của đoạn thẳng EK (E, K đối xứng qua BC)

DEKcân tại D

Mà DC là đường trung trực nên là đường phân giác

Vậy 3 điểm F, D, K thẳng hàng

Bài 9 : cho tam giác ABC, các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở M Trên các cạnh

Ab, AC lần lượt lấy D, E sao cho BD.BC = BM2, CE.CB = CM2

Chứng minh rằng 3 điểm D, M, E thẳng hàng

Chứng minh

Xét DBM và MBCcó

BM  BC (vì BD.BC = BM

2

)

DBM MBC(BM là tia phân giác ABC)

Do đó DBM ~ MBC (c.g.c)  DMBMCB

Tương tự EMC~ MBC (c.g.c)  EMCMBC

180

Vậy 3 điểm D, M, E thẳng hàng